Die area van 'n afgeknotte keël. Formule en probleem voorbeeld

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2023-12-17 05:14

Die syfers van omwenteling in meetkunde word spesiale aandag gegee wanneer hul kenmerke en eienskappe bestudeer word. Een van hulle is 'n afgeknotte keël. Hierdie artikel poog om die vraag te beantwoord watter formule gebruik kan word om die oppervlakte van 'n afgeknotte keël te bereken.

Van watter figuur praat ons?

Voordat die area van 'n afgeknotte keël beskryf word, is dit nodig om 'n presiese meetkundige definisie van hierdie figuur te gee. Afgekap is so 'n keël, wat verkry word as gevolg van die afsny van die hoekpunt van 'n gewone keël met 'n vliegtuig. In hierdie definisie moet 'n aantal nuanses beklemtoon word. Eerstens moet die snitvlak parallel aan die vlak van die basis van die keël wees. Tweedens moet die oorspronklike figuur 'n sirkelvormige keël wees. Natuurlik kan dit 'n elliptiese, hiperboliese en ander tipe figuur wees, maar in hierdie artikel sal ons ons beperk tot die oorweging van slegs 'n sirkelvormige keël. Laasgenoemde word in die figuur hieronder getoon.

Dit is maklik om te raai dat dit nie net met behulp van 'n snit deur 'n vliegtuig verkry kan word nie, maar ook met behulp van 'n rotasie-operasie. VirOm dit te doen, moet jy 'n trapesium neem wat twee regte hoeke het en dit om die sy wat aan hierdie regte hoeke is, draai. As gevolg hiervan sal die basisse van die trapesium die radiusse van die basisse van die afgeknotte keël word, en die laterale skuins kant van die trapesium sal die keëlvormige oppervlak beskryf.

Vormontwikkeling

In die lig van die oppervlakte van 'n afgeknotte keël, is dit nuttig om die ontwikkeling daarvan, dit wil sê die beeld van die oppervlak van 'n driedimensionele figuur, op 'n vlak te bring. Hieronder is 'n skandering van die bestudeerde figuur met arbitrêre parameters.

Dit kan gesien word dat die area van die figuur deur drie komponente gevorm word: twee sirkels en een afgekapte sirkelvormige segment. Natuurlik, om die vereiste area te bepaal, is dit nodig om die oppervlaktes van al die genoemde figure bymekaar te tel. Kom ons los hierdie probleem in die volgende paragraaf op.

Afgekapte keëlarea

Om dit makliker te maak om die volgende redenasie te verstaan, stel ons die volgende notasie bekend:

• r1, r2 - radiusse van die groot en klein basisse onderskeidelik;
• h - figuur hoogte;
• g - generatrix van die keël (die lengte van die skuins sy van die trapesium).

Die oppervlakte van die basisse van 'n afgeknotte keël is maklik om te bereken. Kom ons skryf die ooreenstemmende uitdrukkings:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

Die oppervlakte van 'n deel van 'n sirkelvormige segment is ietwat moeiliker om te bepaal. As ons ons voorstel dat die middelpunt van hierdie sirkelvormige sektor nie uitgesny is nie, dan sal sy radius gelyk wees aan die waarde G. Dit is nie moeilik om dit te bereken as ons die ooreenstemmendesoortgelyke reghoekige keëldriehoeke. Dit is gelyk aan:

G=r₁g/(r₁-r₂).

Dan sal die oppervlakte van die hele sirkelsektor, wat op radius G gebou is en wat staatmaak op 'n boog van lengte 2pir₁, gelyk wees aan:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

Kom ons bepaal nou die oppervlakte van die klein sirkelsektor S₂, wat van S₁ afgetrek moet word. Dit is gelyk aan:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

Die oppervlakte van die koniese afgekapte oppervlak S_bis gelyk aan die verskil tussen S₁ en S ₂. Ons kry:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

Ondanks 'n paar omslagtige berekeninge, het ons 'n redelik eenvoudige uitdrukking gekry vir die oppervlakte van die sy-oppervlak van die figuur.

Deur die oppervlaktes van die basisse en S_b by te voeg, kom ons by die formule vir die oppervlakte van 'n afgeknotte keël:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

Dus, om die waarde van S van die bestudeerde figuur te bereken, moet jy sy drie lineêre parameters ken.

Voorbeeldprobleem

Sirkelvormige reguit keëlmet 'n radius van 10 cm en 'n hoogte van 15 cm is deur 'n vliegtuig afgesny sodat 'n gereelde afgeknotte keël verkry is. Met die wete dat die afstand tussen die basisse van die afgekapte figuur 10 cm is, is dit nodig om die oppervlakte daarvan te vind.

Om die formule vir die oppervlakte van 'n afgeknotte keël te gebruik, moet jy drie van sy parameters vind. Een wat ons ken:

r₁=10 cm.

Die ander twee is maklik om te bereken as ons soortgelyke reghoekige driehoeke in ag neem, wat verkry word as gevolg van die aksiale snit van die keël. As ons die toestand van die probleem in ag neem, kry ons:

r₂=105/15=3,33 cm.

Uiteindelik sal die gids van die afgeknotte keël g wees:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12,02 cm.

Nou kan jy die waardes r₁, r₂ en g in die formule vir S:

vervang

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851,93 cm} 2.

Die verlangde oppervlakte van die figuur is ongeveer 852 cm².