Driehoek, vierkant, seshoek – hierdie figure is byna almal bekend. Maar nie almal weet wat 'n gereelde veelhoek is nie. Maar dit is almal dieselfde geometriese vorms. 'n Gereelde veelhoek is een wat gelyke hoeke en sye het. Daar is baie sulke figure, maar hulle het almal dieselfde eienskappe, en dieselfde formules geld vir hulle.
Eienskappe van gereelde veelhoeke
Enige reëlmatige veelhoek, of dit nou 'n vierkant of 'n agthoek is, kan in 'n sirkel ingeskryf word. Hierdie basiese eienskap word dikwels gebruik wanneer 'n figuur gebou word. Daarbenewens kan 'n sirkel ook in 'n veelhoek ingeskryf word. In hierdie geval sal die aantal kontakpunte gelyk wees aan die aantal sye. Dit is belangrik dat 'n sirkel wat in 'n gereelde veelhoek ingeskryf is, 'n gemeenskaplike middelpunt daarmee sal hê. Hierdie meetkundige figure is onderworpe aan dieselfde stellings. Enige kantvan 'n reëlmatige n-hoek is verwant aan die radius R van die sirkel daaromheen omskryf. Daarom kan dit met die volgende formule bereken word: a=2R ∙ sin180°. Deur die radius van die sirkel kan jy nie net die sye vind nie, maar ook die omtrek van die veelhoek.
Hoe om die aantal sye van 'n gereelde veelhoek te vind
Enige reëlmatige n-gon bestaan uit 'n sekere aantal segmente gelyk aan mekaar, wat, wanneer verbind, 'n geslote lyn vorm. In hierdie geval het al die hoeke van die gevormde figuur dieselfde waarde. Veelhoeke word verdeel in eenvoudig en kompleks. Die eerste groep sluit 'n driehoek en 'n vierkant in. Komplekse veelhoeke het meer kante. Hulle sluit ook stervormige figure in. Vir komplekse gereelde veelhoeke word die sye gevind deur hulle in 'n sirkel te skryf. Kom ons gee 'n bewys. Teken 'n reëlmatige veelhoek met 'n arbitrêre aantal sye n. Beskryf 'n sirkel daaromheen. Spesifiseer die radius R. Stel jou nou voor dat een of ander n-gon gegee word. As die punte van sy hoeke op 'n sirkel lê en gelyk aan mekaar is, kan die sye gevind word deur die formule: a=2R ∙ sinα: 2.
Vind die aantal sye van 'n ingeskrewe reëlmatige driehoek
'n Gelyksydige driehoek is 'n reëlmatige veelhoek. Dieselfde formules geld daarvoor as vir die vierkant en die n-gon. 'n Driehoek sal as korrek beskou word as dit dieselfde lengte sye het. In hierdie geval is die hoeke 60⁰. Konstrueer 'n driehoek met gegewe sylengte a. Om sy mediaan en hoogte te ken,jy kan die waarde van sy kante vind. Om dit te doen, sal ons die metode gebruik om deur die formule a \u003d x: cosα te vind, waar x die mediaan of hoogte is. Aangesien alle sye van die driehoek gelyk is, kry ons a=b=c. Dan sal die volgende stelling waar wees a=b=c=x: cosα. Net so kan jy die waarde van die sye in 'n gelykbenige driehoek vind, maar x sal die gegewe hoogte wees. Terselfdertyd moet dit streng op die basis van die figuur geprojekteer word. As ons dus die hoogte x ken, vind ons die sy a van 'n gelykbenige driehoek deur die formule a \u003d b \u003d x: cosα te gebruik. Nadat jy die waarde van a gevind het, kan jy die lengte van die basis c bereken. Kom ons pas die Pythagoras-stelling toe. Ons sal kyk vir die waarde van die helfte van die basis c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Dan c=2xtanα. Hier is 'n eenvoudige manier om die aantal sye van enige ingeskrewe veelhoek te vind.
Bereken die sye van 'n vierkant wat in 'n sirkel ingeskryf is
Soos enige ander ingeskrewe reëlmatige veelhoek, het 'n vierkant gelyke sye en hoeke. Dieselfde formules geld daarvoor as vir die driehoek. Jy kan die sye van 'n vierkant bereken deur die waarde van die diagonaal te gebruik. Kom ons kyk na hierdie metode in meer detail. Dit is bekend dat die diagonaal die hoek halveer. Aanvanklik was die waarde daarvan 90 grade. Dus, na deling, word twee reghoekige driehoeke gevorm. Hul basishoeke sal 45 grade wees. Gevolglik sal elke sy van die vierkant gelyk wees, dit wil sê: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, waar e die diagonaal van die vierkant is, of die basis van die regte driehoek wat na deling gevorm word. Dit is nie die enigste manier nievind die sye van 'n vierkant. Kom ons skryf hierdie figuur in 'n sirkel. As ons die radius van hierdie sirkel R ken, vind ons die sy van die vierkant. Ons sal dit soos volg bereken a4=R√2. Die radiusse van reëlmatige veelhoeke word bereken deur die formule R=a: 2tg (360o: 2n), waar a die sylengte is.
Hoe om die omtrek van 'n n-hoek te bereken
Die omtrek van 'n n-hoek is die som van al sy sye. Dit is maklik om dit te bereken. Om dit te doen, moet jy die waardes van alle kante ken. Vir sommige tipes veelhoeke is daar spesiale formules. Hulle laat jou toe om die omtrek baie vinniger te vind. Dit is bekend dat enige reëlmatige veelhoek gelyke sye het. Daarom, om sy omtrek te bereken, is dit genoeg om ten minste een van hulle te ken. Die formule sal afhang van die aantal sye van die figuur. Oor die algemeen lyk dit so: P \u003d an, waar a die waarde van die sy is, en n die aantal hoeke is. Byvoorbeeld, om die omtrek van 'n gereelde agthoek met 'n sy van 3 cm te vind, moet jy dit vermenigvuldig met 8, dit wil sê P=3 ∙ 8=24 cm. Vir 'n seshoek met 'n sy van 5 cm, bereken ons soos volg: P=5 ∙ 6=30 cm. En so vir elke veelhoek.
Vind die omtrek van 'n parallelogram, 'n vierkant en 'n ruit
Afhangende van hoeveel sye 'n gereelde veelhoek het, word die omtrek daarvan bereken. Dit maak die taak baie makliker. Inderdaad, anders as ander figure, is dit in hierdie geval nie nodig om na al sy kante te soek nie, net een is genoeg. Volgens dieselfde beginsel vind ons die omtrek byvierhoeke, dit wil sê 'n vierkant en 'n ruit. Ten spyte van die feit dat dit verskillende figure is, is die formule vir hulle dieselfde P=4a, waar a die sy is. Kom ons neem 'n voorbeeld. As die sy van 'n ruit of vierkant 6 cm is, dan vind ons die omtrek soos volg: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. 'n Parallellogram het net teenoorstaande sye. Daarom word die omtrek daarvan met 'n ander metode gevind. Dus, ons moet die lengte a en die breedte b van die figuur ken. Dan pas ons die formule P=(a + c) ∙ 2. 'n Parallellogram, waarin alle sye en hoeke tussen hulle gelyk is, word 'n ruit genoem.
Vind die omtrek van 'n gelyksydige en reghoekige driehoek
Die omtrek van 'n reëlmatige gelyksydige driehoek kan gevind word deur die formule P=3a, waar a die lengte van die sy is. As dit onbekend is, kan dit deur die mediaan gevind word. In 'n reghoekige driehoek is slegs twee sye gelyk. Die basis kan gevind word deur die Pythagoras-stelling. Nadat die waardes van al drie sye bekend geword het, bereken ons die omtrek. Dit kan gevind word deur die formule P \u003d a + b + c toe te pas, waar a en b gelyke sye is, en c die basis is. Onthou dat in 'n gelykbenige driehoek a \u003d b \u003d a, dus a + b \u003d 2a, dan P \u003d 2a + c. Byvoorbeeld, die sy van 'n gelykbenige driehoek is 4 cm, vind sy basis en omtrek. Ons bereken die waarde van die skuinssy deur die Pythagoras-stelling c=√a2 + v2=√16+16=√32=5.65 cm. Nou bereken ons omtrek Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13.65 cm.
Hoe om die hoeke van 'n gereelde veelhoek te vind
Gereelde veelhoekkom elke dag in ons lewens voor, byvoorbeeld 'n gewone vierkant, driehoek, agthoek. Dit wil voorkom asof daar niks makliker is as om hierdie figuur self te bou nie. Maar dit is net met die eerste oogopslag. Om enige n-gon te konstrueer, moet jy die waarde van sy hoeke ken. Maar hoe vind jy hulle? Selfs wetenskaplikes van die oudheid het probeer om gereelde veelhoeke te bou. Hulle het geraai om hulle in sirkels te pas. En dan is die nodige punte daarop gemerk, verbind deur reguit lyne. Vir eenvoudige syfers is die konstruksieprobleem opgelos. Formules en stellings is verkry. Euclides was byvoorbeeld in sy bekende werk "The Beginning" besig met die oplossing van probleme vir 3-, 4-, 5-, 6- en 15-gons. Hy het maniere gevind om hulle te bou en hoeke te vind. Kom ons kyk hoe om dit te doen vir 'n 15-gon. Eerstens moet jy die som van sy interne hoeke bereken. Dit is nodig om die formule S=180⁰(n-2) te gebruik. Dus, ons kry 'n 15-gon, wat beteken dat die getal n 15 is. Ons vervang die data wat ons ken in die formule en kry S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Ons het die som van alle binnehoeke van 'n 15-gon gevind. Nou moet ons die waarde van elkeen van hulle kry. Daar is altesaam 15 hoeke. Ons doen die berekening 2340⁰: 15=156⁰. Dit beteken dat elke inwendige hoek 156⁰ is, nou met 'n liniaal en 'n kompas, kan jy 'n gewone 15-gon bou. Maar wat van meer komplekse n-gons? Vir eeue het wetenskaplikes gesukkel om hierdie probleem op te los. Dit is eers in die 18de eeu deur Carl Friedrich Gauss gevind. Hy kon 'n 65537-gon bou. Sedertdien word die probleem amptelik as heeltemal opgelos beskou.
Berekening van hoeke van n-gonein radiale
Natuurlik is daar verskeie maniere om die hoeke van veelhoeke te vind. Meestal word hulle in grade bereken. Maar jy kan hulle ook in radiale uitdruk. Hoe om dit te doen? Dit is nodig om soos volg voort te gaan. Eerstens vind ons die aantal sye van 'n gereelde veelhoek uit en trek dan 2 daarvan af. So, ons kry die waarde: n - 2. Vermenigvuldig die gevind verskil met die getal n ("pi"=3, 14). Nou bly dit net om die resulterende produk te deel deur die aantal hoeke in die n-gon. Oorweeg hierdie berekeninge deur die voorbeeld van dieselfde vyftiensydige gebruik te gebruik. Dus, die getal n is 15. Pas die formule S=p(n - 2) toe: n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Dit, natuurlik, is nie die enigste manier om hoek in radiale te bereken nie. Jy kan eenvoudig die grootte van die hoek in grade deur die getal 57, 3 deel. Soveel grade is immers gelykstaande aan een radiaal.
Bereken die waarde van hoeke in grade
Behalwe grade en radiale, kan jy probeer om die waarde van die hoeke van 'n gereelde veelhoek in grade te vind. Dit word op die volgende manier gedoen. Trek 2 af van die totale aantal hoeke, deel die gevolglike verskil deur die aantal sye van 'n reëlmatige veelhoek. Ons vermenigvuldig die gevind resultaat met 200. Terloops, so 'n maateenheid van hoeke soos haelkorrels word feitlik nie gebruik nie.
Berekening van eksterne hoeke van n-gone
Vir enige gereelde veelhoek, behalwe vir die interne een, kan jy ook die eksterne hoek bereken. Die waarde daarvan word op dieselfde manier gevind as vir ander figure. Dus, om die buitehoek van 'n gereelde veelhoek te vind, benodig jyken die betekenis van die innerlike. Verder weet ons dat die som van hierdie twee hoeke altyd 180 grade is. Daarom doen ons die berekeninge soos volg: 180⁰ minus die waarde van die interne hoek. Ons vind die verskil. Dit sal gelyk wees aan die waarde van die hoek aangrensend daaraan. Byvoorbeeld, die binnehoek van 'n vierkant is 90 grade, dus sal die buitenste hoek 180⁰ - 90⁰=90⁰ wees. Soos ons kan sien, is dit nie moeilik om dit te vind nie. Die eksterne hoek kan 'n waarde van onderskeidelik +180⁰ tot -180⁰ neem.
