Een van die vertakkings van wiskunde waarmee skoolkinders die grootste probleme hanteer, is trigonometrie. Geen wonder nie: om hierdie kennisarea vrylik te bemeester, benodig jy ruimtelike denke, die vermoë om sinus, cosinus, raaklyne, kotangente te vind deur formules te gebruik, uitdrukkings te vereenvoudig en die getal pi in berekeninge te kan gebruik. Daarbenewens moet jy trigonometrie kan toepas wanneer jy stellings bewys, en dit vereis óf 'n ontwikkelde wiskundige geheue óf die vermoë om komplekse logiese kettings af te lei.
The Origins of Trigonometry
Inleiding tot hierdie wetenskap moet begin met die definisie van die sinus, cosinus en tangens van 'n hoek, maar eers moet jy uitvind wat trigonometrie in die algemeen doen.
Geskiedkundig was reghoekige driehoeke die hoofdoel van navorsing in hierdie afdeling van wiskundige wetenskap. Die teenwoordigheid van 'n hoek van 90 grade maak dit moontlik om verskeie bewerkings uit te voer wat twee toelaatsye en een hoek of twee hoeke en een kant om die waardes van alle parameters van die betrokke figuur te bepaal. In die verlede het mense hierdie patroon raakgesien en dit aktief begin gebruik in die bou van geboue, navigasie, sterrekunde en selfs kuns.
Begin
Aanvanklik het mense uitsluitlik op die voorbeeld van reghoekige driehoeke oor die verhouding van hoeke en sye gepraat. Toe is spesiale formules ontdek, wat dit moontlik gemaak het om die gebruiksgrense in die alledaagse lewe van hierdie afdeling van wiskunde uit te brei.
Die studie van trigonometrie by die skool vandag begin met reghoekige driehoeke, waarna die kennis wat opgedoen word deur studente gebruik word in fisika en die oplos van abstrakte trigonometriese vergelykings, waarmee werk op hoërskool begin.
Sferiese trigonometrie
Later, toe die wetenskap die volgende vlak van ontwikkeling bereik het, het formules met sinus, cosinus, raaklyn, kotangens begin gebruik word in sferiese meetkunde, waar ander reëls geld, en die som van die hoeke in 'n driehoek is altyd meer as 180 grade. Hierdie afdeling word nie op skool bestudeer nie, maar dit is nodig om te weet van die bestaan daarvan, ten minste omdat die aarde se oppervlak, en die oppervlak van enige ander planeet, konveks is, wat beteken dat enige merk van die oppervlak "boogvormig" sal wees " in driedimensionele ruimte.
Neem 'n aardbol en 'n draad. Heg die draad aan enige twee punte op die aardbol sodat dit styf is. Let op - dit het die vorm van 'n boog gekry. Dit handel oor sulke vormssferiese meetkunde wat in geodesie, sterrekunde en ander teoretiese en toegepaste velde gebruik word.
Regte driehoek
Nadat ons 'n bietjie geleer het oor die maniere om trigonometrie te gebruik, kom ons keer terug na basiese trigonometrie om verder te verstaan wat sinus, cosinus, tangens is, watter berekeninge met hul hulp uitgevoer kan word en watter formules om te gebruik.
Eerstens moet jy die konsepte verstaan wat met 'n reghoekige driehoek verband hou. Eerstens, die skuinssy is die kant teenoor die 90 grade hoek. Sy is die langste. Ons onthou dat volgens die Pythagoras-stelling, die numeriese waarde daarvan gelyk is aan die wortel van die som van die vierkante van die ander twee sye.
Byvoorbeeld, as twee sye onderskeidelik 3 en 4 sentimeter is, sal die lengte van die skuinssy 5 sentimeter wees. Terloops, die antieke Egiptenare het omtrent vier en 'n half duisend jaar gelede hiervan geweet.
Die twee oorblywende sye wat 'n regte hoek vorm, word bene genoem. Daarbenewens moet ons onthou dat die som van die hoeke in 'n driehoek in 'n reghoekige koördinaatstelsel 180 grade is.
Definisie
Laastens, met 'n goeie begrip van die meetkundige basis, kan ons na die definisie van die sinus, cosinus en tangens van 'n hoek draai.
Die sinus van 'n hoek is die verhouding van die teenoorgestelde been (dit is die sy teenoor die verlangde hoek) tot die skuinssy. Die cosinus van 'n hoek is die verhouding van die aangrensende been tot die skuinssy.
Onthou dat nie sinus of cosinus groter as een kan wees nie! Hoekom?Omdat die skuinssy by verstek die langste sy van 'n reghoekige driehoek is. Maak nie saak hoe lank die been is nie, dit sal korter as die skuinssy wees, wat beteken dat hul verhouding altyd minder as een sal wees. Dus, as jy 'n sinus of cosinus kry met 'n waarde groter as 1 in die antwoord op die probleem, soek 'n fout in berekeninge of redenasie. Hierdie antwoord is duidelik verkeerd.
Laastens, die raaklyn van 'n hoek is die verhouding van die teenoorgestelde sy tot die aangrensende sy. Dieselfde resultaat sal die deling van die sinus deur die cosinus gee. Kyk: volgens die formule deel ons die lengte van die sy deur die skuinssy, waarna ons deur die lengte van die tweede sy deel en met die skuinssy vermenigvuldig. Dus kry ons dieselfde verhouding as in die definisie van die raaklyn.
Kotangens, onderskeidelik, is die verhouding van die kant langs die hoek tot die teenoorgestelde kant. Ons kry dieselfde resultaat deur die eenheid deur die raaklyn te deel.
Dus, ons het die definisies van wat sinus, cosinus, tangens en cotangens is oorweeg, en ons kan met formules omgaan.
Eenvoudige formules
In trigonometrie kan 'n mens nie sonder formules klaarkom nie - hoe om sinus, cosinus, raaklyn, kotangens daarsonder te vind? Maar dit is presies wat vereis word wanneer probleme opgelos word.
Die eerste formule wat jy moet weet wanneer jy begin om trigonometrie te bestudeer, sê dat die som van die vierkante van die sinus en cosinus van 'n hoek gelyk is aan een. Hierdie formule is 'n direkte gevolg van die Pythagoras-stelling, maar dit spaar tyd as jy die waarde van die hoek moet uitvind, nie die sy nie.
Baie studente kan nie die tweede formule onthou nie, ook baiegewild in die oplossing van skoolprobleme: die som van een en die kwadraat van die raaklyn van 'n hoek is gelyk aan een gedeel deur die kwadraat van die cosinus van die hoek. Kyk nader: dit is immers dieselfde stelling as in die eerste formule, net beide kante van die identiteit is gedeel deur die vierkant van die cosinus. Dit blyk dat 'n eenvoudige wiskundige bewerking die trigonometriese formule heeltemal onherkenbaar maak. Onthou: om te weet wat 'n sinus, cosinus, raaklyn en kotangens is, die omskakelingsreëls en 'n paar basiese formules, kan jy enige tyd onafhanklik die vereiste meer komplekse formules op 'n stuk papier aflei.
Dubbelhoekformules en byvoeging van argumente
Nog twee formules om te leer hou verband met die sinus- en cosinuswaardes vir die som en verskil van hoeke. Hulle word in die onderstaande figuur getoon. Let asseblief daarop dat in die eerste geval die sinus en cosinus beide kere vermenigvuldig word, en in die tweede geval word die paarsgewyse produk van die sinus en cosinus bygevoeg.
Daar is ook formules wat met dubbelhoekargumente geassosieer word. Hulle is heeltemal afgelei van die voriges - as 'n oefening, probeer om hulle self te kry, neem die hoek van alfa gelyk aan die hoek van beta.
Ten slotte, let op dat die dubbelhoekformules omgeskakel kan word om die graad van sinus, cosinus, raaklyn alfa te verminder.
stellings
Die twee hoofstellings in basiese trigonometrie is die sinusstelling en die kosinusstelling. Met behulp van hierdie stellings kan jy maklik verstaan hoe om die sinus, cosinus en tangens te vind, en dus die oppervlakte van die figuur, en die grootteelke kant, ens.
Die sinusstelling stel dat as gevolg van die deling van die lengte van elk van die sye van 'n driehoek deur die waarde van die teenoorgestelde hoek, ons dieselfde getal kry. Boonop sal hierdie getal gelyk wees aan twee radiusse van die omskrewe sirkel, dit wil sê die sirkel wat alle punte van die gegewe driehoek bevat.
Die cosinusstelling veralgemeen die Pythagoras-stelling en projekteer dit op enige driehoeke. Dit blyk dat van die som van die vierkante van die twee sye, hul produk aftrek, vermenigvuldig met die dubbele cosinus van die hoek langs hulle - die resulterende waarde sal gelyk wees aan die vierkant van die derde sy. Dus, die Pythagoras-stelling blyk 'n spesiale geval van die cosinusstelling te wees.
Foute weens onoplettendheid
Selfs om te weet wat sinus, cosinus en tangens is, is dit maklik om 'n fout te maak as gevolg van afwesigheid of 'n fout in die eenvoudigste berekeninge. Om sulke foute te vermy, kom ons kyk na die gewildstes.
Moet eerstens nie gewone breuke na desimale omskakel voordat jy die finale resultaat kry nie – jy kan die antwoord as 'n gewone breuk laat, tensy anders vermeld in die voorwaarde. So 'n transformasie kan nie 'n fout genoem word nie, maar daar moet onthou word dat daar in elke stadium van die taak nuwe wortels kan verskyn, wat volgens die skrywer se idee verminder moet word. In hierdie geval sal jy tyd mors op onnodige wiskundige bewerkings. Dit is veral waar vir waardes soos die wortel van drie of twee, omdat dit by elke stap in take voorkom. Dieselfde geld vir afronding."Lelike" nommers.
Let nou daarop dat die cosinusstelling van toepassing is op enige driehoek, maar nie die Pythagoras-stelling nie! As jy per ongeluk vergeet om twee keer die produk van die sye vermenigvuldig met die cosinus van die hoek tussen hulle af te trek, sal jy nie net 'n heeltemal verkeerde resultaat kry nie, maar ook 'n volledige misverstand van die onderwerp demonstreer. Dit is erger as 'n sorgelose fout.
Derdens, moenie die waardes vir hoeke van 30 en 60 grade vir sinus, cosinus, raaklyne, kotangente verwar nie. Onthou hierdie waardes, want die sinus van 30 grade is gelyk aan die cosinus van 60, en omgekeerd. Dit is maklik om hulle te meng, en jy sal onvermydelik 'n foutiewe resultaat kry.
Aansoek
Baie studente is nie haastig om trigonometrie te begin studeer nie, want hulle verstaan nie die toegepaste betekenis daarvan nie. Wat is sinus, cosinus, tangens vir 'n ingenieur of sterrekundige? Dit is konsepte waardeur jy die afstand na verre sterre kan bereken, die val van 'n meteoriet kan voorspel, 'n navorsingsondersoek na 'n ander planeet kan stuur. Sonder hulle is dit onmoontlik om 'n gebou te bou, 'n motor te ontwerp, die las op die oppervlak of die trajek van 'n voorwerp te bereken. En dit is net die mees ooglopende voorbeelde! Trigonometrie in een of ander vorm word immers oral gebruik, van musiek tot medisyne.
Ten slot
So, jy weet wat sinus, cosinus, tangens is. Jy kan dit in berekeninge gebruik en skoolprobleme suksesvol oplos.
Die hele punttrigonometrie word verminder tot die feit dat dit volgens die bekende parameters van die driehoek nodig is om die onbekendes te bereken. Daar is altesaam ses parameters: die lengtes van drie sye en die groottes van drie hoeke. Die hele verskil in die take lê daarin dat verskillende invoerdata gegee word.
Hoe om die sinus, cosinus, raaklyn te vind gebaseer op die bekende lengtes van die bene of die skuinssy, weet jy nou. Aangesien hierdie terme niks meer as 'n verhouding beteken nie, en 'n verhouding 'n breuk is, is die hoofdoel van die trigonometriese probleem om die wortels van 'n gewone vergelyking of 'n stelsel van vergelykings te vind. En hier sal die gewone skoolwiskunde jou help.
