Die bestudering van die teorie van waarskynlikheid begin met die oplossing van probleme van optelling en vermenigvuldiging van waarskynlikhede. Dit is die moeite werd om dadelik te noem dat wanneer 'n student hierdie kennisveld bemeester, 'n probleem kan teëkom: as fisiese of chemiese prosesse visueel voorgestel en empiries verstaan kan word, dan is die vlak van wiskundige abstraksie baie hoog, en begrip kom hier slegs met ondervinding.
Die speletjie is egter die kers werd, want die formules - beide oorweeg in hierdie artikel en meer komplekse - word vandag oral gebruik en kan baie nuttig wees in die werk.
Oorsprong
Vreemd genoeg was die stukrag vir die ontwikkeling van hierdie afdeling van wiskunde … dobbel. Inderdaad, dobbelstene, muntgooi, poker, roulette is tipiese voorbeelde wat optelling en vermenigvuldiging van waarskynlikhede gebruik. Op die voorbeeld van take in enige handboek kan dit duidelik gesien word. Mense het daarin belang gestel om te leer hoe om hul kanse om te wen te vergroot, en ek moet sê, sommige het daarin geslaag.
Byvoorbeeld, reeds in die 21ste eeu, een persoon wie se naam ons nie sal bekend maak nie,hierdie kennis wat oor die eeue opgehoop is, gebruik om die casino letterlik te "skoonmaak", en etlike tienmiljoene dollars by roulette gewen.
Ten spyte van die verhoogde belangstelling in die vak, was dit egter eers in die 20ste eeu dat 'n teoretiese raamwerk ontwikkel is wat die "teorwer" 'n volwaardige komponent van wiskunde gemaak het. Vandag, in byna enige wetenskap, kan jy berekeninge vind met behulp van waarskynlikheidsmetodes.
Toepaslikheid
'n Belangrike punt wanneer formules van optelling en vermenigvuldiging van waarskynlikhede gebruik word, voorwaardelike waarskynlikheid is die bevredigbaarheid van die sentrale limietstelling. Andersins, alhoewel dit dalk nie deur die student besef word nie, sal alle berekeninge, maak nie saak hoe aanneemlik dit mag lyk nie, verkeerd wees.
Ja, die hoogs gemotiveerde leerder is in die versoeking om nuwe kennis by elke geleentheid te gebruik. Maar in hierdie geval moet 'n mens 'n bietjie stadiger maak en die omvang van toepaslikheid streng uiteensit.
Waarskynlikheidsteorie handel oor ewekansige gebeure, wat in empiriese terme die resultate van eksperimente is: ons kan 'n sessydige dobbelsteen gooi, 'n kaart uit 'n pak trek, die aantal gebrekkige dele in 'n bondel voorspel. In sommige vrae is dit egter kategories onmoontlik om formules uit hierdie afdeling van wiskunde te gebruik. Ons sal die kenmerke van die oorweging van die waarskynlikhede van 'n gebeurtenis, die stellings van optelling en vermenigvuldiging van gebeurtenisse aan die einde van die artikel bespreek, maar kom ons gaan nou na voorbeelde.
Basiese konsepte
'n Ewekansige gebeurtenis beteken een of ander proses of resultaat wat dalk of nie mag verskyn nieas gevolg van die eksperiment. Ons gooi byvoorbeeld 'n toebroodjie – dit kan botter op of botter af val. Enige van die twee uitkomste sal ewekansig wees, en ons weet nie vooraf watter van hulle sal plaasvind nie.
Wanneer ons optelling en vermenigvuldiging van waarskynlikhede bestudeer, het ons nog twee konsepte nodig.
Gesamentlike gebeurtenisse is daardie gebeurtenisse waarvan die voorkoms van een nie die voorkoms van die ander uitsluit nie. Kom ons sê twee mense skiet op dieselfde tyd na 'n teiken. As een van hulle 'n suksesvolle skoot afvuur, sal dit nie die ander se vermoë om te slaan of mis te raak nie.
Inkonsekwent sal sulke gebeure wees, waarvan die voorkoms gelyktydig onmoontlik is. Deur byvoorbeeld net een bal uit die boks te trek, kan jy nie beide blou en rooi op een slag kry nie.
Benaming
Die konsep van waarskynlikheid word aangedui deur die Latynse hoofletter P. Volgende tussen hakies is argumente wat sommige gebeurtenisse aandui.
In die formules van die optellingstelling, voorwaardelike waarskynlikheid, vermenigvuldigingstelling, sal jy uitdrukkings tussen hakies sien, byvoorbeeld: A+B, AB of A|B. Hulle sal op verskeie maniere bereken word, ons sal nou na hulle wend.
Addition
Kom ons kyk na gevalle waar optel- en vermenigvuldigingsformules gebruik word.
Vir onversoenbare gebeurtenisse is die eenvoudigste optelformule relevant: die waarskynlikheid van enige van die ewekansige uitkomste sal gelyk wees aan die som van die waarskynlikhede van elk van hierdie uitkomste.
Sê nou daar is 'n boks met 2 blou, 3 rooi en 5 geel ballonne. Daar is altesaam 10 items in die boks. Wat is die persentasie van die waarheid van die stelling dat ons 'n blou of rooi bal sal teken? Dit sal gelyk wees aan 2/10 + 3/10, d.w.s. vyftig persent.
In die geval van onversoenbare gebeurtenisse, word die formule meer ingewikkeld, aangesien 'n bykomende term bygevoeg word. Ons sal in een paragraaf daarna terugkeer, nadat ons nog een formule oorweeg het.
Vermenigvuldiging
Optelling en vermenigvuldiging van waarskynlikhede van onafhanklike gebeurtenisse word in verskillende gevalle gebruik. As ons, volgens die toestand van die eksperiment, tevrede is met een van die twee moontlike uitkomste, sal ons die som bereken; as ons twee sekere uitkomste een na die ander wil kry, sal ons 'n ander formule gebruik.
Om terug te keer na die voorbeeld van die vorige afdeling, ons wil eers die blou bal teken en dan die rooi een. Die eerste getal wat ons ken is 2/10. Wat gebeur volgende? Daar is 9 balle oor, daar is nog dieselfde aantal rooies - drie stukke. Volgens die berekeninge kry jy 3/9 of 1/3. Maar wat om nou met twee nommers te doen? Die korrekte antwoord is om te vermenigvuldig om 2/30 te kry.
Gesamentlike geleenthede
Nou kan ons die somformule vir gesamentlike geleenthede hersien. Hoekom wyk ons van die onderwerp af? Om te leer hoe waarskynlikhede vermenigvuldig word. Nou sal hierdie kennis handig te pas kom.
Ons weet reeds wat die eerste twee terme sal wees (dieselfde as in die optelformule wat vroeër oorweeg is), nou moet ons aftrekdie produk van waarskynlikhede wat ons pas geleer het om te bereken. Vir duidelikheid, skryf ons die formule: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Dit blyk dat beide optelling en vermenigvuldiging van waarskynlikhede in een uitdrukking gebruik word.
Kom ons sê ons moet een van die twee probleme oplos om krediet te kry. Ons kan die eerste een oplos met 'n waarskynlikheid van 0.3, en die tweede - 0.6. Oplossing: 0.3 + 0.6 - 0.18=0.72. Let daarop dat die opsomming van die getalle hier nie genoeg sal wees nie.
Voorwaardelike Waarskynlikheid
Laastens is daar die konsep van voorwaardelike waarskynlikheid, waarvan die argumente tussen hakies aangedui word en deur 'n vertikale streep geskei word. Die inskrywing P(A|B) lees soos volg: “waarskynlikheid van gebeurtenis A gegewe gebeurtenis B”.
Kom ons kyk na 'n voorbeeld: 'n vriend gee vir jou 'n toestel, laat dit 'n foon wees. Dit kan stukkend (20%) of goed (80%) wees. Jy is in staat om enige toestel wat in jou hande val te herstel met 'n waarskynlikheid van 0.4 of jy is nie in staat om dit te doen nie (0.6). Ten slotte, as die toestel in 'n werkende toestand is, kan jy die regte persoon bereik met 'n waarskynlikheid van 0.7.
Dit is maklik om te sien hoe voorwaardelike waarskynlikheid in hierdie geval werk: jy kan nie na 'n persoon deurdring as die foon stukkend is nie, en as dit goed is, hoef jy dit nie reg te maak nie. Dus, om enige resultate op die "tweede vlak" te kry, moet jy weet watter gebeurtenis op die eerste een uitgevoer is.
Berekeninge
Kom ons kyk na voorbeelde van die oplossing van probleme met optelling en vermenigvuldiging van waarskynlikhede, deur die data van die vorige paragraaf te gebruik.
Eers, kom ons vind die waarskynlikheid dat jyherstel die toestel wat aan jou gegee is. Om dit te doen, moet dit eerstens foutief wees, en tweedens moet jy die herstel hanteer. Dit is 'n tipiese vermenigvuldigingsprobleem: ons kry 0.20.4=0.08.
Wat is die waarskynlikheid dat jy dadelik na die regte persoon sal deurdring? Makliker as eenvoudig: 0,80,7=0,56. In hierdie geval het jy gevind dat die foon werk en suksesvol 'n oproep gemaak.
Ten slotte, oorweeg hierdie scenario: jy het 'n stukkende foon ontvang, dit reggemaak, dan die nommer geskakel, en die persoon aan die oorkant het die foon geantwoord. Hier word die vermenigvuldiging van drie komponente reeds vereis: 0, 20, 40, 7=0, 056.
En wat as jy twee nie-werkende fone op een slag het? Hoe waarskynlik is dit dat jy ten minste een van hulle sal regmaak? Dit is 'n probleem van optelling en vermenigvuldiging van waarskynlikhede, aangesien gesamentlike gebeurtenisse gebruik word. Oplossing: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Versigtig gebruik
Soos genoem aan die begin van die artikel, moet die gebruik van waarskynlikheidsteorie doelbewus en bewustelik wees.
Hoe groter die reeks eksperimente, hoe nader kom die teoreties voorspelde waarde die praktiese een. Ons gooi byvoorbeeld 'n muntstuk. Teoreties, met die wete oor die bestaan van formules vir optelling en vermenigvuldiging van waarskynlikhede, kan ons voorspel hoeveel keer koppe en sterte sal uitval as ons die eksperiment 10 keer uitvoer. Ons het 'n eksperiment gedoen enToevallig was die verhouding van die gedaalde sye 3 tot 7. Maar as jy 'n reeks van 100, 1000 of meer pogings uitvoer, blyk dit dat die verspreidingsgrafiek al hoe nader aan die teoretiese een kom: 44 tot 56, 482 tot 518 ensovoorts.
Stel jou nou voor dat hierdie eksperiment nie met 'n muntstuk uitgevoer word nie, maar met die produksie van een of ander nuwe chemiese stof, waarvan die waarskynlikheid ons nie weet nie. Ons sou 10 eksperimente uitvoer en, as ons nie 'n suksesvolle resultaat kry nie, kan ons veralgemeen: "die stof kan nie verkry word nie." Maar wie weet, as ons die elfde poging aangewend het, sou ons die doel bereik het of nie?
So as jy die onbekende, die onontginde ryk binnegaan, is die waarskynlikheidsteorie dalk nie van toepassing nie. Elke daaropvolgende poging in hierdie geval kan suksesvol wees en veralgemenings soos "X bestaan nie" of "X is onmoontlik" sal voortydig wees.
Slotwoord
Ons het dus na twee tipes optel, vermenigvuldiging en voorwaardelike waarskynlikhede gekyk. Met verdere studie van hierdie area is dit nodig om te leer om situasies te onderskei wanneer elke spesifieke formule gebruik word. Daarbenewens moet jy verstaan of waarskynlikheidsmetodes oor die algemeen van toepassing is om jou probleem op te los.
As jy oefen, sal jy na 'n rukkie begin om al die vereiste bewerkings uitsluitlik in jou gedagtes uit te voer. Vir diegene wat lief is vir kaartspeletjies, kan hierdie vaardigheid oorweeg worduiters waardevol - jy sal jou kanse om te wen aansienlik verhoog, net deur die waarskynlikheid te bereken dat 'n spesifieke kaart of pak uitval. Die verworwe kennis kan egter maklik in ander aktiwiteite toegepas word.
