Sekondes, raaklyne – dit alles kon honderde kere in meetkundelesse gehoor word. Maar die gradeplegtigheid van die skool is verby, jare gaan verby, en al hierdie kennis word vergeet. Wat moet onthou word?
Essence
Die term "tangent to a circle" is waarskynlik aan almal bekend. Maar dit is onwaarskynlik dat almal vinnig die definisie daarvan sal kan formuleer. Intussen is 'n raaklyn so 'n reguit lyn wat in dieselfde vlak lê met 'n sirkel wat dit slegs op een punt sny. Daar kan 'n groot verskeidenheid van hulle wees, maar hulle het almal dieselfde eienskappe, wat hieronder bespreek sal word. Soos jy dalk kan raai, is die kontakpunt die plek waar die sirkel en die lyn sny. In elke geval is dit een, maar as daar meer is, sal dit 'n sekant wees.
Geskiedenis van ontdekking en studie
Die konsep van 'n raaklyn het in die oudheid verskyn. Die konstruksie van hierdie reguit lyne, eers na 'n sirkel, en dan na ellipse, parabole en hiperbole met behulp van 'n liniaal en 'n kompas, is uitgevoer selfs in die aanvanklike stadiums van die ontwikkeling van meetkunde. Natuurlik het die geskiedenis nie die naam van die ontdekker bewaar nie, maardit is duidelik dat mense selfs in daardie tyd redelik bewus was van die eienskappe van die raaklyn aan die sirkel.
In moderne tye het belangstelling in hierdie verskynsel weer opgevlam – 'n nuwe rondte van bestudering van hierdie konsep het begin, gekombineer met die ontdekking van nuwe kurwes. Dus, Galileo het die konsep van 'n sikloïed bekendgestel, en Fermat en Descartes het 'n raaklyn daaraan gebou. Wat die kringe betref, blyk dit dat daar geen geheime vir die oumense in hierdie area oor is nie.
Properties
Die radius wat na die snypunt getrek word, sal loodreg op die lyn wees. Dit is
die belangrikste, maar nie die enigste eienskap wat 'n raaklyn aan 'n sirkel het nie. Nog 'n belangrike kenmerk sluit reeds twee reguit lyne in. Dus, deur een punt wat buite die sirkel lê, kan twee raaklyne getrek word, terwyl hul segmente gelyk sal wees. Daar is nog 'n stelling oor hierdie onderwerp, maar dit word selde gedek in die raamwerk van 'n standaard skoolkursus, hoewel dit uiters gerieflik is om sommige probleme op te los. Dit klink so. Vanaf een punt wat buite die sirkel geleë is, word 'n raaklyn en 'n sekant daarheen getrek. Segmente AB, AC en AD word gevorm. A is die snypunt van lyne, B is die kontakpunt, C en D is die snypunte. In hierdie geval sal die volgende gelykheid geldig wees: die lengte van die raaklyn aan die sirkel, kwadraat, sal gelyk wees aan die produk van segmente AC en AD.
Uit bogenoemde is daar 'n belangrike gevolg. Vir elke punt van die sirkel kan jy 'n raaklyn bou, maar net een. Die bewys hiervan is redelik eenvoudig: deur teoreties 'n loodlyn vanaf die radius daarop te laat val, vind ons uit dat die gevormdedriehoek kan nie bestaan nie. En dit beteken dat die raaklyn die enigste een is.
Gebou
Onder ander probleme in meetkunde, is daar 'n spesiale kategorie, as 'n reël, nie
geliefd deur leerlinge en studente. Om take uit hierdie kategorie op te los, benodig jy net 'n kompas en 'n liniaal. Dit is boutake. Daar is ook metodes om 'n raaklyn te konstrueer.
Dus, gegewe 'n sirkel en 'n punt wat buite sy grense lê. En dit is nodig om 'n raaklyn deur hulle te trek. Hoe om dit te doen? Eerstens moet jy 'n segment tussen die middel van die sirkel O en 'n gegewe punt teken. Gebruik dan 'n kompas en verdeel dit in die helfte. Om dit te doen, moet jy die radius stel - 'n bietjie meer as die helfte van die afstand tussen die middel van die oorspronklike sirkel en die gegewe punt. Daarna moet jy twee kruisboë bou. Boonop hoef die radius van die kompas nie verander te word nie, en die middelpunt van elke deel van die sirkel sal onderskeidelik die beginpunt en O wees. Die kruisings van die boë moet verbind word, wat die segment in die helfte sal verdeel. Stel 'n radius op die kompas gelyk aan hierdie afstand. Trek dan nog 'n sirkel met die middel by die snypunt. Beide die beginpunt en O sal daarop lê. In hierdie geval sal daar nog twee snypunte wees met die sirkel wat in die probleem gegee word. Hulle sal die raakpunte vir die aanvanklik gegewe punt wees.
Interessant
Dit was die konstruksie van raaklyne aan die sirkel wat gelei het tot die geboorte van
differensiaalrekening. Die eerste werk oor hierdie onderwerp wasuitgegee deur die beroemde Duitse wiskundige Leibniz. Hy het voorsiening gemaak vir die moontlikheid om maksima, minima en raaklyne te vind, ongeag breuk- en irrasionele waardes. Wel, nou word dit ook vir baie ander berekeninge gebruik.
Boonop hou die raaklyn aan die sirkel verband met die meetkundige betekenis van die raaklyn. Dit is waar sy naam vandaan kom. Uit Latyn vertaal beteken tangens "tangens". Hierdie konsep word dus nie net met meetkunde en differensiaalrekening verbind nie, maar ook met trigonometrie.
Twee kringe
Nie altyd 'n raaklyn raak net een vorm nie. As 'n groot aantal reguit lyne na een sirkel getrek kan word, hoekom dan nie andersom nie? Kan. Maar die taak in hierdie geval is ernstig ingewikkeld, want die raaklyn aan twee sirkels mag nie deur enige punte gaan nie, en die relatiewe posisie van al hierdie figure kan baie
wees
anders.
tipes en variëteite
Wanneer dit by twee sirkels en een of meer lyne kom, al is dit bekend dat dit raaklyne is, word dit nie dadelik duidelik hoe al hierdie figure in verhouding tot mekaar geleë is nie. Op grond hiervan is daar verskeie variëteite. So, sirkels kan een of twee gemeenskaplike punte hê of glad nie hê nie. In die eerste geval sal hulle sny, en in die tweede sal hulle raak. En hier is daar twee variëteite. As een sirkel as 't ware in die tweede ingebed is, dan word die aanraking intern genoem, indien nie, dan ekstern. wedersydse verstaandie ligging van die figure is moontlik nie net op grond van die tekening nie, maar ook met inligting oor die som van hul radiusse en die afstand tussen hul middelpunte. As hierdie twee hoeveelhede gelyk is, dan raak die sirkels. As die eerste een groter is, sny hulle mekaar, en as dit kleiner is, het hulle nie gemeenskaplike punte nie.
Dieselfde met reguit lyne. Vir enige twee kringe wat nie gemeenskaplike punte het nie, kan jy
konstrueer vier raaklyne. Twee van hulle sal tussen die figure sny, hulle word intern genoem. 'n Paar ander is ekstern.
As ons praat van kringe wat een gemeenskaplike punt het, dan is die taak baie vereenvoudig. Die feit is dat vir enige onderlinge reëling in hierdie geval, hulle slegs een raaklyn sal hê. En dit sal deur die punt van hulle kruising gaan. So die konstruksie van die moeilikheid sal nie veroorsaak nie.
As die figure twee snypunte het, kan 'n reguit lyn vir hulle gekonstrueer word, wat aan die sirkel raak, beide een en die tweede, maar slegs die buitenste een. Die oplossing vir hierdie probleem is soortgelyk aan wat hieronder bespreek sal word.
Probleemoplossing
Beide interne en eksterne raaklyne aan twee sirkels is nie so maklik om te konstrueer nie, alhoewel hierdie probleem opgelos kan word. Die feit is dat 'n hulpfiguur hiervoor gebruik word, so dink self aan hierdie metode
nogal problematies. Dus, gegee twee sirkels met verskillende radiusse en middelpunte O1 en O2. Vir hulle moet jy twee pare raaklyne bou.
In die eerste plek, naby die middel van die grotersirkels moet bykomstig gebou word. In hierdie geval moet die verskil tussen die radiusse van die twee aanvanklike figure op die kompas vasgestel word. Tangente na die hulpsirkel word vanaf die middel van die kleiner sirkel gebou. Daarna, vanaf O1 en O2, word loodregte na hierdie lyne getrek totdat hulle met die oorspronklike figure sny. Soos volg uit die hoofeienskap van die raaklyn, word die verlangde punte op beide sirkels gevind. Probleem opgelos, ten minste die eerste deel daarvan.
Om interne raaklyne te konstrueer, sal jy prakties moet oplos
'n soortgelyke taak. Weereens is 'n hulpsyfer nodig, maar hierdie keer sal sy radius gelyk wees aan die som van die oorspronklikes. Tangente word daaraan gekonstrueer vanaf die middel van een van die gegewe sirkels. Die verdere verloop van die oplossing kan uit die vorige voorbeeld verstaan word.
Tangent na 'n kring of selfs twee of meer is nie so 'n moeilike taak nie. Natuurlik het wiskundiges lankal nie meer sulke probleme handmatig opgelos nie en vertrou die berekeninge op spesiale programme. Maar moenie dink dat dit nou nie nodig is om dit self te kan doen nie, want om 'n taak vir 'n rekenaar korrek te formuleer, moet jy baie doen en verstaan. Ongelukkig is daar vrese dat konstruksietake na die finale oorgang na die toetsvorm van kennisbeheer al hoe meer probleme vir studente sal veroorsaak.
Wat die vind van gemeenskaplike raaklyne vir meer sirkels betref, dit is nie altyd moontlik nie, selfs al lê hulle in dieselfde vlak. Maar in sommige gevalle kan jy so 'n reguit lyn vind.
Lewensvoorbeelde
'n Algemene raaklyn aan twee sirkels word dikwels in die praktyk teëgekom, hoewel dit nie altyd opvallend is nie. Vervoerbande, blokstelsels, katroltransmissiebande, draadspanning in 'n naaimasjien, en selfs net 'n fietsketting - dit alles is voorbeelde uit die lewe. Moet dus nie dink dat meetkundige probleme net in teorie bly nie: in ingenieurswese, fisika, konstruksie en baie ander gebiede vind hulle praktiese toepassings.
