Meetkunde is pragtig omdat, in teenstelling met algebra, waar dit nie altyd duidelik is wat jy dink en hoekom nie, dit sigbaarheid aan die voorwerp gee. Hierdie wonderlike wêreld van verskillende liggame is versier met gereelde veelvlakke.
Algemene inligting oor gereelde veelvlakke
Volgens baie het gereelde veelvlakke, of soos hulle ook Platoniese vastestowwe genoem word, unieke eienskappe. Verskeie wetenskaplike hipoteses word met hierdie voorwerpe geassosieer. Wanneer jy hierdie meetkundige liggame begin bestudeer, verstaan jy dat jy feitlik niks van so 'n konsep soos gereelde veelvlakke weet nie. Die aanbieding van hierdie voorwerpe by die skool is nie altyd interessant nie, so baie onthou nie eers wat hulle genoem word nie. Die meeste mense onthou net die kubus. Nie een van die liggame in meetkunde is so perfek soos gewone veelvlakke nie. Al die name van hierdie geometriese liggame het uit Antieke Griekeland ontstaan. Hulle beteken die aantal vlakke: vierkantig - vierkantig, heksaëder - seskantig, oktaëder - oktaëder, dodekaëder - twaalfsydig, ikosaëder - twintigsydig. Al hierdie geometriese liggamehet 'n belangrike plek in Plato se konsep van die heelal ingeneem. Vier van hulle het die elemente of entiteite verpersoonlik: die tetraëder - vuur, die ikosaëder - water, die kubus - aarde, die oktaëder - lug. Die dodekaëder het alles wat bestaan vergest alt. Dit is as die hoof beskou, want dit was 'n simbool van die heelal.
Veralgemening van die konsep van 'n veelvlak
'n Veelvlak is 'n versameling van 'n eindige aantal veelhoeke soos:
- elkeen van die sye van enige van die veelhoeke is terselfdertyd die sy van slegs een ander veelhoek aan dieselfde kant;
- vanaf elk van die veelhoeke kan jy by die ander uitkom deur langs die veelhoeke langs dit te beweeg.
Die veelhoeke waaruit 'n veelvlak bestaan, is sy vlakke, en hulle sye is rande. Die hoekpunte van die veelvlakke is die hoekpunte van die veelhoeke. As die konsep van 'n veelhoek as plat geslote gebroke lyne verstaan word, dan kom 'n mens by een definisie van 'n veelvlak uit. In die geval wanneer hierdie konsep 'n deel van die vlak beteken wat deur gebroke lyne beperk word, moet 'n oppervlak wat uit veelhoekige stukke bestaan, verstaan word. 'n Konvekse veelvlak is 'n liggaam wat aan die een kant van 'n vlak langs sy gesig lê.
Nog 'n definisie van 'n veelvlak en sy elemente
'n Veelvlak is 'n oppervlak wat uit veelhoeke bestaan wat 'n geometriese liggaam beperk. Hulle is:
- nie-konveks;
- konveks (korrek en verkeerd).
'n Gereelde veelvlak is 'n konvekse veelvlak met maksimum simmetrie. Elemente van gereelde veelvlakke:
- tetraëder: 6 rande, 4 vlakke, 5 hoekpunte;
- hexaëder (kubus): 12, 6, 8;
- dodekaëder: 30, 12, 20;
- oktaëder: 12, 8, 6;
- icosaëder: 30, 20, 12.
Euler se stelling
Dit vestig 'n verband tussen die aantal rande, hoekpunte en vlakke wat topologies gelykstaande is aan 'n sfeer. Deur die aantal hoekpunte en vlakke (B + D) van verskeie reëlmatige veelvlakke by te tel en dit met die aantal rande te vergelyk, kan een patroon vasgestel word: die som van die aantal vlakke en hoekpunte is gelyk aan die aantal rande (P) wat vermeerder is met 2. Jy kan 'n eenvoudige formule aflei:
B + D=R + 2
Hierdie formule is waar vir alle konvekse veelvlakke.
Basiese definisies
Die konsep van 'n gereelde veelvlak kan nie in een sin beskryf word nie. Dit is meer betekenisvol en omvangryk. Vir 'n liggaam om as sodanig erken te word, moet dit aan 'n aantal definisies voldoen. Dus, 'n meetkundige liggaam sal 'n gereelde veelvlak wees as die volgende voorwaardes nagekom word:
- dit is konveks;
- dieselfde aantal rande konvergeer by elk van sy hoekpunte;
- al sy vlakke is reëlmatige veelhoeke, gelyk aan mekaar;
- al sy tweehoekige hoeke is gelyk.
Eienskappe van gereelde veelvlakke
Daar is 5 verskillende tipes gereelde veelvlakke:
- Kubus (heksaëder) - dit het 'n plat hoek aan die bokant is 90°. Dit het 'n 3-sydige hoek. Die som van die plat hoeke aan die bokant is 270°.
- Tetraëder - plat hoek aan die bokant - 60°. Dit het 'n 3-sydige hoek. Die som van plat hoeke aan die bokant is 180°.
- Oktaëder - plat hoekpunt - 60°. Dit het 'n 4-kant hoek. Die som van plat hoeke aan die bokant is 240°.
- Dodekaëder - plat hoek by toppunt 108°. Dit het 'n 3-sydige hoek. Die som van plat hoeke aan die bokant is 324°.
- Icosahedron - dit het 'n plat hoek aan die bokant - 60°. Dit het 'n 5-sydige hoek. Die som van plat hoeke aan die bokant is 300°.
Gebied van gereelde veelvlakke
Die oppervlakte van hierdie geometriese liggame (S) word bereken as die oppervlakte van 'n reëlmatige veelhoek vermenigvuldig met die aantal sy vlakke (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Die volume van 'n gereelde veelvlak
Hierdie waarde word bereken deur die volume van 'n reëlmatige piramide, aan die basis waarvan daar 'n reëlmatige veelhoek is, te vermenigvuldig met die aantal vlakke, en die hoogte daarvan is die radius van die ingeskrewe sfeer (r):
V=1: 3rS
Volumes van gereelde veelvlakke
Soos enige ander geometriese liggaam, het gereelde veelvlakke verskillende volumes. Hieronder is die formules waarmee jy dit kan bereken:
- tetraëder: α x 3√2: 12;
- oktaëder: α x 3√2: 3;
- ikosaëder; α x 3;
- heksaëder (kubus): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaëder: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elemente van gereelde veelvlakke
Heksaëder en oktaëder is dubbele geometriese liggame. Met ander woorde, hulle kan van mekaar verkry word as die swaartepunt van die gesig van die een as die hoekpunt van die ander geneem word, en omgekeerd. Die ikosaëder en dodekaëder is ook tweeledig. Slegs die tetraëder is dubbel aan homself. Volgens die Euclid-metode kan jy 'n dodekaëder van 'n seskant kry deur "dakke" op die vlakke van 'n kubus te bou. Die hoekpunte van 'n tetraëder sal enige 4 hoekpunte van 'n kubus wees wat nie in pare langs 'n rand langs mekaar is nie. Van die heksaëder (kubus) kan jy ander gereelde veelvlakke kry. Ten spyte van die feit dat daar ontelbare gereelde veelhoeke is, is daar net 5 gereelde veelvlakke.
Radius van gereelde veelhoeke
Daar is 3 konsentriese sfere wat met elk van hierdie geometriese liggame geassosieer word:
- beskryf, wat deur sy pieke gaan;
- geskryf, raak aan elkeen van sy gesigte in die middel daarvan;
- mediaan, raak aan alle kante in die middel.
Die radius van die sfeer wat beskryf word, word deur die volgende formule bereken:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Die radius van 'n ingeskrewe sfeer word bereken deur die formule:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
waar θ die tweehoekige hoek tussen aangrensende vlakke is.
Die radius van die mediaan-sfeer kan met die volgende formule bereken word:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
waar h waarde=4, 6, 6, 10 of 10. Die verhouding van omskrewe en ingeskrewe radiusse is simmetries met betrekking tot p en q. Ditbereken deur die formule:
R/r=tg π/p x tg π/q
Simmetrie van veelvlakke
Die simmetrie van gereelde veelvlakke veroorsaak die belangrikste belangstelling in hierdie geometriese liggame. Dit word verstaan as so 'n beweging van die liggaam in die ruimte, wat dieselfde aantal hoekpunte, vlakke en kante laat. Met ander woorde, onder die effek van 'n simmetrie-transformasie, behou 'n rand, hoekpunt, gesig óf sy oorspronklike posisie óf skuif na die oorspronklike posisie van 'n ander rand, hoekpunt of gesig.
Elemente van simmetrie van gereelde veelvlakke is kenmerkend van alle soorte sulke geometriese liggame. Hier praat ons van 'n identiese transformasie wat enige van die punte in sy oorspronklike posisie laat. Dus, wanneer jy 'n veelhoekige prisma draai, kan jy verskeie simmetrieë kry. Enige van hulle kan as 'n produk van refleksies voorgestel word. 'n Simmetrie wat die produk van 'n ewe aantal refleksies is, word 'n reguit lyn genoem. As dit die produk van 'n onewe aantal refleksies is, word dit inverse genoem. Dus, alle rotasies om 'n lyn is direkte simmetrie. Enige refleksie van 'n veelvlak is 'n inverse simmetrie.
Om die simmetrie-elemente van gereelde veelvlakke beter te verstaan, kan ons die voorbeeld van 'n tetraëder neem. Enige reguit lyn wat deur een van die hoekpunte en die middelpunt van hierdie meetkundige figuur gaan, sal ook deur die middel van die gesig daarteenoor gaan. Elk van die 120°- en 240°-draaie om die lyn is meervoud.simmetrie van die tetraëder. Aangesien dit 4 hoekpunte en 4 vlakke het, is daar net agt direkte simmetrieë. Enige van die lyne wat deur die middel van die rand en die middel van hierdie liggaam gaan, gaan deur die middel van sy teenoorgestelde rand. Enige 180° rotasie, wat 'n halwe draai genoem word, om 'n reguit lyn is 'n simmetrie. Aangesien die tetraëder drie pare rande het, is daar nog drie direkte simmetrieë. Op grond van die voorafgaande kan ons tot die gevolgtrekking kom dat die totale aantal direkte simmetrieë, insluitend die identiese transformasie, twaalf sal bereik. Die tetraëder het geen ander direkte simmetrieë nie, maar dit het wel 12 inverse simmetrieë. Daarom word die tetraëder gekenmerk deur 'n totaal van 24 simmetrieë. Vir duidelikheid kan jy 'n model van 'n gewone tetraëder van karton bou en seker maak dat hierdie geometriese liggaam werklik net 24 simmetrieë het.
Die dodekaëder en die ikosaëder is die naaste aan die sfeer van die liggaam. Die ikosaëder het die grootste aantal vlakke, die grootste tweehoekige hoek, en kan die styfste teen 'n ingeskrewe sfeer gedruk word. Die dodekaëder het die kleinste hoekafwyking, die grootste soliede hoek by die hoekpunt. Hy kan sy beskryfde sfeer tot die maksimum vul.
Sweep van veelvlakke
Gereelde ongewikkelde veelvlakke, wat ons almal in die kinderjare aanmekaar vasgeplak het, het baie konsepte. As daar 'n versameling veelhoeke is, waarvan elke sy met slegs een kant van die veelvlak geïdentifiseer word, moet die identifikasie van die sye aan twee voorwaardes voldoen:
- van elke veelhoek, kan jy oor veelhoeke gaan wat hetgeïdentifiseerde kant;
- geïdentifiseerde sye moet dieselfde lengte hê.
Dit is die stel veelhoeke wat aan hierdie voorwaardes voldoen wat die ontwikkeling van die veelvlak genoem word. Elkeen van hierdie liggame het verskeie van hulle. So, byvoorbeeld, 'n kubus het 11 van hulle.
