Polyhedra het selfs in antieke tye die aandag van wiskundiges en wetenskaplikes getrek. Die Egiptenare het die piramides gebou. En die Grieke het "gewone veelvlakke" bestudeer. Hulle word soms Platoniese vastestowwe genoem. "Tradisionele veelvlakke" bestaan uit plat vlakke, reguit kante en hoekpunte. Maar die hoofvraag was nog altyd aan watter reëls hierdie afsonderlike dele moet voldoen, asook aan watter bykomende globale voorwaardes voldoen moet word sodat 'n voorwerp as 'n veelvlak kan kwalifiseer. Die antwoord op hierdie vraag sal in die artikel aangebied word.
Probleme in definisie
Waaruit bestaan hierdie figuur? 'n Veelvlak is 'n geslote soliede vorm wat plat vlakke en reguit rande het. Daarom kan die eerste probleem van sy definisie presies die kante van die figuur genoem word. Nie alle gesigte wat in vlakke lê is altyd 'n teken van 'n veelvlak nie. Kom ons neem die "driehoekige silinder" as 'n voorbeeld. Waaruit bestaan dit? Deel van sy oppervlak drie in paresnyende vertikale vlakke kan nie as veelhoeke beskou word nie. Die rede is dat dit geen hoekpunte het nie. Die oppervlak van so 'n figuur word gevorm op grond van drie strale wat op een punt ontmoet.
Nog een probleem - vliegtuie. In die geval van die "driehoekige silinder" lê dit in hul onbeperkte dele. 'n Figuur word as konveks beskou as die lynstuk wat enige twee punte in die versameling verbind ook daarin is. Kom ons bied een van hul belangrike eienskappe aan. Vir konvekse versamelings is dit dat die stel punte wat gemeen is aan die versameling dieselfde is. Daar is 'n ander soort syfers. Dit is nie-konvekse 2D-veelvlakke wat óf kepe óf gate het.
Vorms wat nie veelvlakke is nie
'n Plat stel punte kan anders wees (byvoorbeeld nie-konveks) en nie aan die gewone definisie van 'n veelvlak voldoen nie. Selfs daardeur word dit beperk deur gedeeltes van lyne. Die lyne van 'n konvekse veelvlak bestaan uit konvekse figure. Hierdie benadering tot die definisie sluit egter 'n figuur uit wat tot oneindig gaan. 'n Voorbeeld hiervan is drie strale wat nie op dieselfde punt ontmoet nie. Maar terselfdertyd is hulle verbind met die hoekpunte van 'n ander figuur. Tradisioneel was dit belangrik vir 'n veelvlak dat dit uit plat oppervlaktes bestaan. Maar met verloop van tyd het die konsep uitgebrei, wat gelei het tot 'n aansienlike verbetering in die verstaan van die oorspronklike "smal" klas van veelvlakke, sowel as die ontstaan van 'n nuwe, breër definisie.
Korrek
Kom ons stel nog een definisie bekend. 'n Gereelde veelvlak is een waarin elke gesig 'n kongruente reëlmaat iskonvekse veelhoeke, en alle hoekpunte is "dieselfde". Dit beteken dat elke hoekpunt dieselfde aantal reëlmatige veelhoeke het. Gebruik hierdie definisie. So jy kan vyf gereelde veelvlakke vind.
Eerste stappe na Euler se stelling vir veelvlakke
Die Grieke het geweet van die veelhoek, wat vandag die pentagram genoem word. Hierdie veelhoek kan gereeld genoem word omdat al sy sye ewe lank is. Daar is ook nog 'n belangrike nota. Die hoek tussen twee opeenvolgende sye is altyd dieselfde. Wanneer dit egter in 'n vlak geteken word, definieer dit nie 'n konvekse stel nie, en die sye van die veelvlak sny mekaar. Dit was egter nie altyd die geval nie. Wiskundiges het lankal die idee van "nie-konvekse" gereelde veelvlakke oorweeg. Die pentagram was een van hulle. "Sterveelhoeke" is ook toegelaat. Verskeie nuwe voorbeelde van "gereelde veelvlakke" is ontdek. Nou word hulle Kepler-Poinsot-veelvlakke genoem. Later het G. S. M. Coxeter en Branko Grünbaum die reëls uitgebrei en ander "gereelde veelvlakke" ontdek.
Polyhedral formule
Die sistematiese studie van hierdie syfers het relatief vroeg in die geskiedenis van wiskunde begin. Leonhard Euler was die eerste wat opgemerk het dat 'n formule wat die aantal hoekpunte, vlakke en rande in verband bring, geld vir konvekse 3D-veelvlakke.
Sy lyk so:
V + F - E=2, waar V die aantal polihedrale hoekpunte is, F die aantal rande van die veelvlakke is, en E die aantal vlakke is.
Leonhard Euler is Switserswiskundige wat as een van die grootste en produktiefste wetenskaplikes van alle tye beskou word. Hy was die grootste deel van sy lewe blind, maar die verlies van sy sig het hom 'n rede gegee om nog meer produktief te word. Daar is verskeie formules na hom vernoem, en die een waarna ons sopas gekyk het, word soms die Euler-veelvlakke-formule genoem.
Daar is een verduideliking. Euler se formule werk egter net vir veelvlakke wat sekere reëls volg. Hulle lê in die feit dat die vorm geen gate moet hê nie. En dit is onaanvaarbaar dat dit homself kruis. 'n Veelvlak kan ook nie bestaan uit twee dele wat saamgevoeg is nie, soos twee kubusse met dieselfde hoekpunt. Euler het die resultaat van sy navorsing genoem in 'n brief aan Christian Goldbach in 1750. Later het hy twee referate gepubliseer waarin hy beskryf het hoe hy probeer het om bewyse van sy nuwe ontdekking te vind. Trouens, daar is vorme wat 'n ander antwoord op V + F - E gee. Die antwoord op die som F + V - E=X word die Euler-kenmerk genoem. Sy het 'n ander aspek. Sommige vorms kan selfs 'n Euler-eienskap hê wat negatief is
Grafiekteorie
Daar word soms beweer dat Descartes vroeër Euler se stelling afgelei het. Alhoewel hierdie wetenskaplike feite oor driedimensionele veelvlakke ontdek het wat hom in staat sou stel om die gewenste formule af te lei, het hy nie hierdie bykomende stap geneem nie. Vandag word Euler gekrediteer met die "vader" van grafiekteorie. Hy het die probleem van die Konigsberg-brug opgelos deur sy idees te gebruik. Maar die wetenskaplike het nie na die veelvlak in konteks gekyk niegrafiek teorie. Euler het probeer om 'n bewys te gee van 'n formule gebaseer op die ontbinding van 'n veelvlak in eenvoudiger dele. Hierdie poging skiet tekort aan moderne standaarde vir bewys. Alhoewel Euler nie die eerste korrekte regverdiging vir sy formule gegee het nie, kan 'n mens nie vermoedens bewys wat nie gemaak is nie. Die resultate, wat later gestaaf is, maak dit egter moontlik om op die oomblik Euler se stelling ook te gebruik. Die eerste bewys is verkry deur die wiskundige Adrian Marie Legendre.
Bewys van Euler se formule
Euler het eers die veelvlakke formule as 'n stelling oor veelvlakke geformuleer. Vandag word dit dikwels in die meer algemene konteks van gekoppelde grafieke behandel. Byvoorbeeld, as strukture wat bestaan uit punte en lynsegmente wat hulle verbind, wat in dieselfde deel is. Augustin Louis Cauchy was die eerste persoon wat hierdie belangrike verband gevind het. Dit het gedien as 'n bewys van Euler se stelling. Hy het in wese opgemerk dat die grafiek van 'n konvekse veelvlak (of wat vandag so genoem word) topologies homeomorf is tot 'n sfeer, 'n vlak gekoppelde grafiek het. Wat dit is? 'n Planêre grafiek is een wat in die vlak geteken is op so 'n manier dat sy rande mekaar ontmoet of slegs by 'n hoekpunt sny. Dit is waar die verband tussen Euler se stelling en grafieke gevind is.
Een aanduiding van die belangrikheid van die resultaat is dat David Epstein in staat was om sewentien verskillende bewyse te versamel. Daar is baie maniere om Euler se veelvlakkige formule te regverdig. In 'n sekere sin is die mees voor die hand liggende bewyse metodes wat wiskundige induksie gebruik. Die resultaat kan bewys wordteken dit langs die aantal rande, vlakke of hoekpunte van die grafiek.
Bewys van Rademacher en Toeplitz
Besonder aantreklik is die volgende bewys van Rademacher en Toeplitz, gebaseer op die benadering van Von Staudt. Om Euler se stelling te regverdig, veronderstel dat G 'n gekoppelde grafiek is wat in 'n vlak ingebed is. As dit skemas het, is dit moontlik om een rand van elk van hulle uit te sluit op so 'n manier om die eiendom te bewaar dat dit verbind bly. Daar is 'n een-tot-een korrespondensie tussen die verwyderde dele om na die gekoppelde grafiek te gaan sonder sluiting en dié wat nie 'n oneindige rand is nie. Hierdie navorsing het gelei tot die klassifikasie van "oriënteerbare oppervlaktes" in terme van die sogenaamde Euler-kenmerk.
Jordaniese kromme. Stelling
Die hooftesis, wat direk of indirek gebruik word in die bewys van die veelvlakke-formule van die Euler-stelling vir grafieke, hang af van die Jordaan-kromme. Hierdie idee hou verband met veralgemening. Dit sê dat enige eenvoudige geslote kromme die vlak in drie stelle verdeel: punte daarop, binne en buite dit. Namate belangstelling in Euler se veelvlakkige formule in die negentiende eeu ontwikkel het, is baie pogings aangewend om dit te veralgemeen. Hierdie navorsing het die grondslag gelê vir die ontwikkeling van algebraïese topologie en dit met algebra en get alteorie verbind.
Moebius-groep
Daar is gou ontdek dat sommige oppervlaktes slegs plaaslik op 'n konsekwente manier "georiënteer" kan word, nie wêreldwyd nie. Die bekende Möbius-groep dien as illustrasie daarvanoppervlaktes. Dit is ietwat vroeër deur Johann Listing ontdek. Hierdie konsep sluit die begrip van die genus van 'n grafiek in: die minste aantal beskrywers g. Dit moet by die oppervlak van die sfeer gevoeg word, en dit kan op so 'n manier op die verlengde oppervlak ingebed word dat die rande net by die hoekpunte ontmoet. Dit blyk dat enige oriënteerbare oppervlak in Euklidiese ruimte as 'n sfeer met 'n sekere aantal handvatsels beskou kan word.
Euler-diagram
Die wetenskaplike het nog 'n ontdekking gemaak, wat vandag nog gebruik word. Hierdie sogenaamde Euler-diagram is 'n grafiese voorstelling van sirkels, wat gewoonlik gebruik word om verwantskappe tussen versamelings of groepe te illustreer. Die kaarte bevat gewoonlik kleure wat saamsmelt in areas waar die sirkels oorvleuel. Stelle word presies deur sirkels of ovale voorgestel, hoewel ander figure ook daarvoor gebruik kan word. 'n Insluiting word voorgestel deur 'n oorvleueling van ellipse wat Euler-sirkels genoem word.
Hulle verteenwoordig versamelings en substelle. Die uitsondering is nie-oorvleuelende sirkels. Euler-diagramme is nou verwant aan ander grafiese voorstelling. Hulle is dikwels verward. Hierdie grafiese voorstelling word Venn-diagramme genoem. Afhangende van die betrokke stelle, kan albei weergawes dieselfde lyk. In Venn-diagramme dui oorvleuelende sirkels egter nie noodwendig op gemeenskaplikheid tussen versamelings nie, maar slegs 'n moontlike logiese verwantskap as hul byskrifte nie inkruisende sirkel. Albei opsies is aangeneem vir die onderrig van versamelingteorie as deel van die nuwe wiskundige beweging van die 1960's.
Fermat en Euler se stellings
Euler het 'n merkbare merk in wiskundige wetenskap gelaat. Algebraïese get alteorie is verryk deur 'n stelling wat na hom vernoem is. Dit is ook 'n gevolg van 'n ander belangrike ontdekking. Dit is die sogenaamde algemene algebraïese Lagrange-stelling. Euler se naam word ook geassosieer met Fermat se klein stelling. Dit sê dat as p 'n priemgetal is en a 'n heelgetal is wat nie deur p deelbaar is nie, dan:
ap-1 - 1 is deelbaar deur p.
Soms het dieselfde ontdekking 'n ander naam, wat meestal in buitelandse literatuur gevind word. Dit klink soos Fermat se Kersfeesstelling. Die ding is dat die ontdekking bekend geword het danksy 'n brief van 'n wetenskaplike wat op die vooraand van 25 Desember 1640 gestuur is. Maar die stelling self is al voorheen teëgekom. Dit is deur 'n ander wetenskaplike genaamd Albert Girard gebruik. Fermat het net probeer om sy teorie te bewys. Die skrywer sinspeel in 'n ander brief dat hy deur die oneindige afkomsmetode geïnspireer is. Maar hy het geen bewyse gelewer nie. Later het Eider hom ook tot dieselfde metode gewend. En ná hom - baie ander bekende wetenskaplikes, insluitend Lagrange, Gauss en Minkosky.
Kenmerke van identiteite
Fermat se Klein Stelling word ook 'n spesiale geval van 'n stelling uit die get alteorie genoem as gevolg van Euler. In hierdie teorie tel die Euler-identiteitsfunksie positiewe heelgetalle tot 'n gegewe heelgetal n. Hulle is coprime met betrekking totn. Euler se stelling in get alteorie word geskryf deur die Griekse letter φ te gebruik en lyk soos φ(n). Dit kan meer formeel gedefinieer word as die aantal heelgetalle k in die reeks 1 ≦ k ≦ n waarvoor die grootste gemene deler gcd(n, k) 1 is. Notasie φ(n) kan ook Euler se phi-funksie genoem word. Heelgetalle k van hierdie vorm word soms totatief genoem. Die kern van die getalleteorie is die Euler-identiteitsfunksie vermenigvuldigend, wat beteken dat as twee getalle m en n kopprime is, dan is φ(mn)=φ(m)φ(n). Dit speel ook 'n sleutelrol in die definisie van die RSA-enkripsiestelsel.
Die Euler-funksie is in 1763 bekendgestel. Op daardie stadium het die wiskundige egter geen spesifieke simbool daarvoor gekies nie. In 'n 1784-publikasie het Euler hierdie funksie in meer besonderhede bestudeer en die Griekse letter π gekies om dit voor te stel. James Sylvester het die term "totaal" vir hierdie kenmerk geskep. Daarom word dit ook na verwys as Euler se totaal. Die totale φ(n) van 'n positiewe heelgetal n groter as 1 is die aantal positiewe heelgetalle kleiner as n wat relatief priem is tot n.φ(1) word gedefinieer as 1. Die Euler-funksie of phi(φ)-funksie is 'n baie belangrike getalleteoretiese 'n funksie wat diep verwant is aan priemgetalle en die sogenaamde volgorde van heelgetalle.
