In hierdie artikel word die metode beskou as 'n manier om stelsels lineêre vergelykings (SLAE) op te los. Die metode is analities, dit wil sê dit laat jou toe om 'n algemene oplossingsalgoritme te skryf en dan waardes uit spesifieke voorbeelde daar te vervang. Anders as die matriksmetode of Cramer se formules, kan jy, wanneer jy 'n stelsel lineêre vergelykings met die Gauss-metode oplos, ook werk met dié wat oneindig baie oplossings het. Of het dit glad nie.
Wat beteken dit om met Gauss-metode op te los?
Eers moet ons ons stelsel vergelykings as 'n matriks neerskryf. Dit lyk so. Die stelsel is geneem:
Koëffisiënte word in die vorm van 'n tabel geskryf, en aan die regterkant in 'n aparte kolom - gratis lede. Die kolom met gratis lede word gerieflikheidshalwe deur 'n vertikale balk geskei. 'n Matriks wat hierdie kolom insluit, word verleng genoem.
Volgende moet die hoofmatriks met koëffisiënte tot die boonste driehoekige vorm verminder word. Dit is die hoofpunt van die oplossing van die stelsel deur die Gauss-metode. Eenvoudig gestel, na sekere manipulasies, behoort die matriks so te lyk, sodat daar net nulle in die onderste linkerdeel daarvan is:
Dan, as jy die nuwe matriks weer as 'n stelsel van vergelykings skryf, sal jy sien dat die laaste reël reeds die waarde van een van die wortels bevat, wat dan in die vergelyking hierbo vervang word, word 'n ander wortel gevind, ensovoorts.
Dit is 'n beskrywing van die Gaussiese oplossing in die mees algemene terme. En wat gebeur as die stelsel skielik nie 'n oplossing het nie? Of is daar 'n oneindige aantal van hulle? Om hierdie en vele meer vrae te beantwoord, is dit nodig om afsonderlik al die elemente wat deur die Gauss-metode in die oplossing gebruik word, te oorweeg.
Matrikse, hul eiendomme
Daar is geen verborge betekenis in die matriks nie. Dit is net 'n gerieflike manier om data vir latere operasies aan te teken. Selfs skoolkinders moet nie vir hulle bang wees nie.
Die matriks is altyd reghoekig omdat dit geriefliker is. Selfs in die Gauss-metode, waar alles daarop neerkom om 'n driehoekige matriks te bou, verskyn 'n reghoek in die inskrywing, net met nulle op die plek waar daar geen getalle is nie. Nulle kan weggelaat word, maar hulle word geïmpliseer.
Matriks het grootte. Sy "breedte" is die aantal rye (m), sy "lengte" is die aantal kolomme (n). Dan sal die grootte van die matriks A (Latynse hoofletters word gewoonlik vir hul benaming gebruik) as Am×n aangedui word. As m=n, dan is hierdie matriks vierkantig, enm=n - sy volgorde. Gevolglik kan enige element van die matriks A aangedui word deur die nommer van sy ry en kolom: axy; x - rynommer, verander [1, m], y - kolomnommer, verander [1, n].
In die Gaussiese metode is matrikse nie die hoofpunt van die oplossing nie. In beginsel kan alle bewerkings direk met die vergelykings self uitgevoer word, maar die notasie sal baie meer omslagtig wees, en dit sal baie makliker wees om daarin verward te raak.
Qualifier
Die matriks het ook 'n determinant. Dit is 'n baie belangrike kenmerk. Om die betekenis daarvan nou uit te vind, is nie die moeite werd nie, jy kan eenvoudig wys hoe dit bereken word, en dan vertel watter eienskappe van die matriks dit bepaal. Die maklikste manier om die determinant te vind, is deur diagonale. Denkbeeldige hoeklyne word in die matriks geteken; die elemente wat op elkeen van hulle geleë is, word vermenigvuldig, en dan word die resulterende produkte bygevoeg: diagonale met 'n helling na regs - met 'n "plus"-teken, met 'n helling na links - met 'n "minus"-teken.
Dit is uiters belangrik om daarop te let dat die determinant slegs vir 'n vierkantige matriks bereken kan word. Vir 'n reghoekige matriks kan jy die volgende doen: kies die kleinste van die aantal rye en die aantal kolomme (laat dit k wees), en merk dan willekeurig k kolomme en k rye in die matriks. Die elemente wat by die kruising van die geselekteerde kolomme en rye geleë is, sal 'n nuwe vierkantige matriks vorm. As die determinant van so 'n matriks 'n getal anders as nul is, sal dit die basiese mineur van die oorspronklike reghoekige matriks genoem word.
Voorheenhoe om 'n stelsel vergelykings met die Gauss-metode te begin oplos, dit maak nie skade om die determinant te bereken nie. As dit nul blyk te wees, kan ons dadelik sê dat die matriks óf 'n oneindige aantal oplossings het, óf daar is glad nie. In so 'n hartseer geval moet jy verder gaan en uitvind oor die rangorde van die matriks.
Klassifikasie van stelsels
Daar is iets soos die rangorde van 'n matriks. Dit is die maksimum volgorde van sy nie-nul determinant (onthou die basis mineur, ons kan sê dat die rangorde van 'n matriks die volgorde van die basis mineur is).
Die manier waarop dinge met rang is, kan SLOW verdeel word in:
- Gesamentlike. Vir gesamentlike stelsels val die rangorde van die hoofmatriks (wat slegs uit koëffisiënte bestaan) saam met die rangorde van die uitgebreide een (met 'n kolom van vrye terme). Sulke stelsels het 'n oplossing, maar nie noodwendig een nie, daarom word gesamentlike stelsels addisioneel verdeel in:
- - definitief - met 'n unieke oplossing. In sekere stelsels is die rangorde van die matriks en die aantal onbekendes gelyk (of die aantal kolomme, wat dieselfde ding is);
- - onbepaald - met 'n oneindige aantal oplossings. Die rangorde van matrikse in sulke stelsels is minder as die aantal onbekendes.
- Onversoenbaar. Vir sulke stelsels stem die rangorde van die hoof- en uitgebreide matrikse nie ooreen nie. Onversoenbare stelsels het geen oplossing nie.
Die Gauss-metode is goed, want dit laat jou toe om óf 'n ondubbelsinnige bewys van die inkonsekwentheid van die stelsel te verkry (sonder om die determinante van groot matrikse te bereken) óf 'n algemene oplossing vir 'n stelsel met 'n oneindige aantal oplossings.
Elementêre transformasies
Voorheenhoe om direk na die oplossing van die stelsel voort te gaan, kan jy dit minder omslagtig en geriefliker maak vir berekeninge. Dit word bereik deur elementêre transformasies - sodanig dat die implementering daarvan nie die finale antwoord op enige manier verander nie. Daar moet kennis geneem word dat sommige van die bogenoemde elementêre transformasies slegs geldig is vir matrikse, waarvan die bron presies die SLAE was. Hier is 'n lys van hierdie transformasies:
- Verander stringe. Dit is duidelik dat as ons die volgorde van die vergelykings in die stelselrekord verander, dit op geen manier die oplossing sal beïnvloed nie. Daarom is dit ook moontlik om rye in die matriks van hierdie stelsel om te ruil, sonder om natuurlik die kolom van gratis lede te vergeet.
- Vermenigvuldiging van alle elemente van 'n string met een of ander faktor. Baie nuttig! Daarmee kan jy groot getalle in die matriks verminder of nulle verwyder. Die stel oplossings, soos gewoonlik, sal nie verander nie, en dit sal geriefliker word om verdere operasies uit te voer. Die belangrikste ding is dat die koëffisiënt nie gelyk aan nul moet wees nie.
- Vee lyne uit met proporsionele koëffisiënte. Dit volg deels uit die vorige paragraaf. As twee of meer rye in die matriks proporsionele koëffisiënte het, word twee (of, weereens, meer) absoluut identiese rye verkry, wanneer een van die rye vermenigvuldig / gedeel word deur die proporsionaliteitskoëffisiënt, en jy kan die ekstras verwyder, wat net oorbly een.
- Vee die nulreël uit. As in die loop van transformasies 'n string iewers verkry word waarin alle elemente, insluitend die vrye lid, nul is, dan kan so 'n string nul genoem word en uit die matriks gegooi word.
- Voeg by die elemente van een ry elemente van 'n ander (volgensooreenstemmende kolomme) vermenigvuldig met een of ander koëffisiënt. Die mees obskure en belangrikste transformasie van almal. Dit is die moeite werd om in meer besonderhede daaroor stil te staan.
Die byvoeging van 'n string vermenigvuldig met 'n faktor
Vir gemak van begrip, is dit die moeite werd om hierdie proses stap vir stap uitmekaar te haal. Twee rye is uit die matriks geneem:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Kom ons sê jy moet die eerste een vermenigvuldig met die koëffisiënt "-2" by die tweede een bytel.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Dan word die tweede ry in die matriks met 'n nuwe een vervang, terwyl die eerste een onveranderd bly.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Daar moet kennis geneem word dat die vermenigvuldigingsfaktor so gekies kan word dat, as gevolg van die byvoeging van twee stringe, een van die elemente van die nuwe string gelyk is aan nul. Daarom is dit moontlik om 'n vergelyking in die stelsel te verkry, waar daar een minder onbekend sal wees. En as jy twee sulke vergelykings kry, dan kan die bewerking weer gedoen word en kry 'n vergelyking wat reeds twee minder onbekendes sal bevat. En as ons elke keer na nul draai een koëffisiënt vir alle rye wat laer is as die oorspronklike een, dan kan ons, soos stappe, afgaan tot heel onder in die matriks en 'n vergelyking kry met een onbekende. Dit word genoemlos die stelsel op deur die Gauss-metode te gebruik.
Algemeen
Laat daar 'n stelsel wees. Dit het m vergelykings en n onbekende wortels. Jy kan dit so skryf:
Die hoofmatriks word saamgestel uit die koëffisiënte van die stelsel. 'n Kolom gratis lede word by die uitgebreide matriks gevoeg en gerieflikheidshalwe deur 'n balk geskei.
Volgende:
- die eerste ry van die matriks word vermenigvuldig met die koëffisiënt k=(-a21/a11);
- die eerste gewysigde ry en die tweede ry van die matriks word bygevoeg;
- in plaas van die tweede ry, word die resultaat van die byvoeging van die vorige paragraaf in die matriks ingevoeg;
- nou is die eerste koëffisiënt in die nuwe tweede reël 'n11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Nou word dieselfde reeks transformasies uitgevoer, net die eerste en derde reëls is betrokke. Gevolglik, in elke stap van die algoritme, word die element a21 vervang deur a31. Dan herhaal alles vir 'n41, … 'nm1. Die resultaat is 'n matriks waar die eerste element in die rye [2, m] gelyk is aan nul. Nou moet jy vergeet van reël nommer een en dieselfde algoritme uitvoer vanaf die tweede reël:
- k-koëffisiënt=(-a32/a22);
- die tweede gewysigde reël word by die "huidige" reël gevoeg;
- die resultaat van die byvoeging word in die derde, vierde en so meer reëls vervang, terwyl die eerste en tweede onveranderd bly;
- in die rye [3, m] van die matriks is die eerste twee elemente reeds gelyk aan nul.
Die algoritme moet herhaal word totdat die koëffisiënt k=(-am, m-1/amm verskyn). Dit beteken dat die algoritme laas slegs vir die onderste vergelyking uitgevoer is. Nou lyk die matriks soos 'n driehoek, of het 'n getrapte vorm. Die onderste reël bevat die vergelyking amn × x =bm. Die koëffisiënt en vryterm is bekend, en die wortel word daardeur uitgedruk: x =bm/amn. Die resulterende wortel word in die boonste ry geplaas om xn-1=(bm-1 - am-1, n te vind×(bm/amn))÷am-1, n-1. Ensovoorts deur analogie: in elke volgende reël is daar 'n nuwe wortel, en, nadat jy die "top" van die stelsel bereik het, kan 'n mens 'n stel oplossings vind [x1, … x ]. Dit sal die enigste een wees.
Wanneer daar geen oplossings is nie
As in een van die matriksrye alle elemente, behalwe vir die vrye term, gelyk is aan nul, dan lyk die vergelyking wat met hierdie ry ooreenstem soos 0=b. Dit het geen oplossing nie. En aangesien so 'n vergelyking in die stelsel ingesluit is, is die stel oplossings van die hele stelsel leeg, dit wil sê, dit is gedegenereer.
Wanneer daar 'n oneindige aantal oplossings is
Dit kan blyk dat daar in die verminderde driehoekige matriks geen rye is met een element - die koëffisiënt van die vergelyking, en een - 'n vrye lid nie. Daar is net stringe wat, wanneer dit herskryf word, sal lyk soos 'n vergelyking met twee of meer veranderlikes. Dit beteken dat die stelsel 'n oneindige aantal oplossings het. In hierdie geval kan die antwoord in die vorm van 'n algemene oplossing gegee word. Hoe om dit te doen?
Almalveranderlikes in die matriks word in basiese en vry verdeel. Basies - dit is dié wat "op die rand" van die rye in die getrapte matriks staan. Die res is gratis. In die algemene oplossing word die basiese veranderlikes geskryf in terme van die vryes.
Gerieflikheidshalwe word die matriks eers teruggeskryf in 'n stelsel van vergelykings. Dan in die laaste van hulle, waar presies net een basiese veranderlike oorgebly het, bly dit aan die een kant, en al die ander word oorgedra na die ander. Dit word gedoen vir elke vergelyking met een basiese veranderlike. Dan, in die res van die vergelykings, waar moontlik, in plaas van die basiese veranderlike, word die uitdrukking wat daarvoor verkry is, vervang. As die resultaat weer 'n uitdrukking is wat slegs een basiese veranderlike bevat, word dit weer van daar uit uitgedruk, ensovoorts, totdat elke basiese veranderlike geskryf word as 'n uitdrukking met vrye veranderlikes. Dit is die algemene oplossing van SLAE.
Jy kan ook die basiese oplossing van die stelsel vind - gee die vrye veranderlikes enige waardes, en bereken dan die waardes van die basiese veranderlikes vir hierdie spesifieke geval. Daar is oneindig baie spesifieke oplossings.
Oplossing met spesifieke voorbeelde
Hier is 'n stelsel van vergelykings.
Vir gemak is dit beter om sy matriks dadelik te maak
Dit is bekend dat wanneer die Gauss-metode opgelos word, die vergelyking wat ooreenstem met die eerste ry onveranderd sal bly aan die einde van die transformasies. Daarom sal dit meer winsgewend wees as die boonste linker element van die matriks die kleinste is - dan die eerste elementedie res van die rye na die bewerkings sal na nul draai. Dit beteken dat dit in die saamgestelde matriks voordelig sal wees om die tweede ry in die plek van die eerste een te plaas.
Volgende moet jy die tweede en derde reëls verander sodat die eerste elemente nul word. Om dit te doen, voeg hulle by die eerste een, vermenigvuldig met 'n koëffisiënt:
tweede reël: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3))×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3))×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3))×12=-24
derde reël: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5))×12=-57
Nou, om nie deurmekaar te raak nie, moet jy 'n matriks skryf met tussenresultate van transformasies.
Natuurlik kan so 'n matriks meer leesbaar gemaak word met behulp van sommige bewerkings. Byvoorbeeld, jy kan alle "minusse" van die tweede reël verwyder deur elke element met "-1" te vermenigvuldig.
Dit is ook opmerklik dat in die derde reël alle elemente veelvoude van drie is. Dan kan jysny die string met hierdie getal, vermenigvuldig elke element met "-1/3" (minus - terselfdertyd om negatiewe waardes te verwyder).
Lyk baie mooier. Nou moet ons die eerste reël alleen los en met die tweede en derde werk. Die taak is om die tweede ry by die derde ry te tel, vermenigvuldig met so 'n faktor dat die element a32 nul word.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (indien tydens sommige transformasies in die antwoord blyk nie 'n heelgetal te wees nie, word dit aanbeveel om dit te laat "soos dit is", in die vorm van 'n gewone breuk, en eers dan, wanneer die antwoorde ontvang word, besluit of om af te rond en om te skakel na 'n ander vorm van notasie)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3) /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3) /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3) /7)×24=-61/7
Die matriks word weer met nuwe waardes geskryf.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Soos jy kan sien, het die resulterende matriks reeds 'n trapvorm. Daarom is verdere transformasies van die stelsel deur die Gauss-metode nie nodig nie. Wat hier gedoen kan word, is om die algehele koëffisiënt "-1/7" van die derde reël te verwyder.
Nou almallekker. Die punt is klein - skryf die matriks weer in die vorm van 'n stelsel vergelykings en bereken die wortels
x + 2y + 4z=12 (1)
7j + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Die algoritme waarmee die wortels nou gevind sal word, word die omgekeerde skuif in die Gauss-metode genoem. Vergelyking (3) bevat die waarde z:
z=61/9
Volgende, keer terug na die tweede vergelyking:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
En die eerste vergelyking laat jou toe om x:
te vind
x=(12 - 4z - 2j)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Ons het die reg om so 'n stelsel gesamentlik te noem, en selfs definitief, dit wil sê, om 'n unieke oplossing te hê. Die antwoord word in die volgende vorm geskryf:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Voorbeeld van 'n onbepaalde stelsel
Die variant van die oplossing van 'n sekere stelsel deur die Gauss-metode is ontleed, nou is dit nodig om die geval te oorweeg as die stelsel onbepaald is, dit wil sê, daar kan oneindig baie oplossings daarvoor gevind word.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Die vorm van die stelsel is reeds kommerwekkend, want die aantal onbekendes is n=5, en die rangorde van die stelselmatriks is reeds presies minder as hierdie getal, want die aantal rye is m=4, dit wil sê, die grootste orde van die vierkantdeterminant is 4. Dus,Daar is 'n oneindige aantal oplossings, en ons moet soek na die algemene vorm daarvan. Die Gauss-metode vir lineêre vergelykings laat jou toe om dit te doen.
Eers, soos gewoonlik, word die aangevulde matriks saamgestel.
Tweede reël: koëffisiënt k=(-a21/a11)=-3. In die derde reël is die eerste element voor die transformasies, so jy hoef niks aan te raak nie, jy moet dit los soos dit is. Vierde reël: k=(-a41/a11)=-5
Vermenigvuldig die elemente van die eerste ry om die beurt met elk van hul koëffisiënte en voeg dit by die vereiste rye, ons kry 'n matriks van die volgende vorm:
Soos jy kan sien, bestaan die tweede, derde en vierde rye uit elemente wat eweredig aan mekaar is. Die tweede en vierde is oor die algemeen dieselfde, so een van hulle kan onmiddellik verwyder word, en die res vermenigvuldig met die koëffisiënt "-1" en kry reël nommer 3. En weer, laat een van twee identiese lyne.
Die resultaat is so 'n matriks. Die stelsel is nog nie neergeskryf nie, dit is hier nodig om die basiese veranderlikes te bepaal - staan by die koëffisiënte a11=1 en a22=1, en gratis - al die res.
Daar is net een basiese veranderlike in die tweede vergelyking - x2. Gevolglik kan dit van daar uit uitgedruk word deur die veranderlikes x3, x4, x5, wat is gratis.
Vervang die resulterende uitdrukking in die eerste vergelyking.
Dit blyk 'n vergelyking waarindie enigste basiese veranderlike is x1. Kom ons doen dieselfde daarmee as met x2.
Alle basiese veranderlikes, waarvan daar twee is, word uitgedruk in terme van drie vryes, nou kan jy die antwoord in algemene vorm skryf.
Jy kan ook een van die spesifieke oplossings van die stelsel spesifiseer. In sulke gevalle word nulle as 'n reël as waardes vir vrye veranderlikes gekies. Dan sal die antwoord wees:
-16, 23, 0, 0, 0.
'n Voorbeeld van 'n inkonsekwente stelsel
Oplossing van inkonsekwente stelsels vergelykings deur die Gauss-metode is die vinnigste. Dit eindig sodra in een van die stadiums 'n vergelyking verkry word wat geen oplossing het nie. Dit wil sê, die stadium met die berekening van die wortels, wat redelik lank en somber is, verdwyn. Die volgende stelsel word oorweeg:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Soos gewoonlik word die matriks saamgestel:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
En verminder tot 'n trapvorm:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Na die eerste transformasie bevat die derde reël 'n vergelyking van die vorm
0=7, geen oplossing nie. Daarom, die stelselis inkonsekwent, en die antwoord is die leë stel.
Voor- en nadele van die metode
As jy kies watter metode om SLAE op papier met 'n pen op te los, dan lyk die metode wat in hierdie artikel oorweeg is die aantreklikste. In elementêre transformasies is dit baie moeiliker om deurmekaar te raak as wat dit gebeur as jy handmatig na die determinant of een of ander moeilike inverse matriks moet soek. As jy egter programme gebruik om met data van hierdie tipe te werk, byvoorbeeld sigblaaie, dan blyk dit dat sulke programme reeds algoritmes bevat vir die berekening van die hoofparameters van matrikse - die determinant, mineur, inverse en getransponeerde matrikse, ensovoorts. En as jy seker is dat die masjien self hierdie waardes sal bereken en nie 'n fout sal maak nie, is dit beter om die matriksmetode of Cramer se formules te gebruik, want die toepassing daarvan begin en eindig met die berekening van determinante en inverse matrikse.
Aansoek
Aangesien die Gaussiese oplossing 'n algoritme is, en die matriks in werklikheid 'n tweedimensionele skikking is, kan dit in programmering gebruik word. Maar aangesien die artikel homself as 'n gids "vir dummies" posisioneer, moet gesê word dat die maklikste plek om die metode in te plaas, sigblaaie is, byvoorbeeld Excel. Weereens, enige SLAE wat in 'n tabel in die vorm van 'n matriks ingevoer word, sal deur Excel as 'n tweedimensionele skikking beskou word. En vir bewerkings met hulle is daar baie mooi opdragte: optelling (jy kan net matrikse van dieselfde grootte byvoeg!), Vermenigvuldiging met 'n getal, matriksvermenigvuldiging (ook metsekere beperkings), vind die inverse en getransponeerde matrikse en, bowenal, die berekening van die determinant. As hierdie tydrowende taak deur 'n enkele opdrag vervang word, is dit baie vinniger om die rangorde van 'n matriks te bepaal en dus die versoenbaarheid of inkonsekwentheid daarvan vas te stel.
