'n Meganiese stelsel wat bestaan uit 'n materiaalpunt (liggaam) wat aan 'n onrekbare gewiglose draad hang (die massa daarvan is weglaatbaar in vergelyking met die gewig van die liggaam) in 'n eenvormige swaartekragveld word 'n wiskundige slinger genoem ('n ander naam is 'n ossillator). Daar is ander tipes van hierdie toestel. In plaas van 'n draad, kan 'n gewiglose staaf gebruik word. 'n Wiskundige slinger kan die essensie van baie interessante verskynsels duidelik openbaar. Met 'n klein amplitude van ossillasie word sy beweging harmonies genoem.
Meganiese stelseloorsig
Die formule vir die ossillasieperiode van hierdie pendulum is deur die Nederlandse wetenskaplike Huygens (1629-1695) afgelei. Hierdie tydgenoot van I. Newton was baie lief vir hierdie meganiese stelsel. In 1656 het hy die eerste slingerhorlosie geskep. Hulle het tyd met uitsonderlike gemeetvir daardie tye akkuraatheid. Hierdie uitvinding het 'n groot mylpaal geword in die ontwikkeling van fisiese eksperimente en praktiese aktiwiteite.
As die pendulum in ewewig is (hang vertikaal), dan sal die swaartekrag gebalanseer word deur die krag van die draadspanning. 'n Plat slinger op 'n onrekbare draad is 'n stelsel met twee vryheidsgrade met 'n verbinding. Wanneer jy net een komponent verander, verander die eienskappe van al sy dele. Dus, as die draad deur 'n staaf vervang word, sal hierdie meganiese stelsel slegs 1 graad van vryheid hê. Wat is die eienskappe van 'n wiskundige pendulum? In hierdie eenvoudigste stelsel ontstaan chaos onder die invloed van 'n periodieke versteuring. In die geval wanneer die ophangpunt nie beweeg nie, maar ossilleer, het die pendulum 'n nuwe ewewigsposisie. Met vinnige op en af ossillasies verkry hierdie meganiese stelsel 'n stabiele onderstebo posisie. Sy het ook haar eie naam. Dit word Kapitza se pendulum genoem.
Pendulum-eiendomme
Wiskundige pendulum het baie interessante eienskappe. Almal van hulle word bevestig deur bekende fisiese wette. Die periode van ossillasie van enige ander slinger hang af van verskeie omstandighede, soos die grootte en vorm van die liggaam, die afstand tussen die suspensiepunt en die swaartepunt, die verspreiding van massa relatief tot hierdie punt. Daarom is die bepaling van die tydperk van 'n hangende liggaam 'n taamlike moeilike taak. Dit is baie makliker om die tydperk van 'n wiskundige pendulum te bereken, waarvan die formule hieronder gegee sal word. As gevolg van waarnemings van soortgelykemeganiese stelsels kan die volgende patrone vestig:
• As ons, terwyl ons dieselfde lengte van die slinger behou, verskillende gewigte hang, dan sal die tydperk van hul ossillasies dieselfde wees, alhoewel hul massas baie sal verskil. Daarom is die tydperk van so 'n slinger nie afhanklik van die massa van die las nie.
• Wanneer die stelsel begin word, as die slinger gedeflekteer word deur nie te groot nie, maar verskillende hoeke, sal dit met dieselfde periode begin ossilleer, maar met verskillende amplitudes. Solank die afwykings vanaf die middelpunt van ewewig nie te groot is nie, sal die ossillasies in hul vorm redelik naby aan harmoniese wees. Die tydperk van so 'n slinger hang geensins van die ossillasie-amplitude af nie. Hierdie eienskap van hierdie meganiese stelsel word isochronism genoem (vertaal uit die Grieks "chronos" - tyd, "isos" - gelyk).
Periode van die wiskundige slinger
Hierdie aanwyser verteenwoordig die tydperk van natuurlike ossillasies. Ten spyte van die komplekse bewoording, is die proses self baie eenvoudig. As die lengte van die draad van 'n wiskundige pendulum L is, en die versnelling van vrye val is g, dan is hierdie waarde:
T=2π√L/g
Die tydperk van klein natuurlike ossillasies hang geensins af van die massa van die pendulum en die amplitude van ossillasies nie. In hierdie geval beweeg die slinger soos 'n wiskundige slinger met 'n verminderde lengte.
Swaaie van die wiskundige slinger
'n Wiskundige pendulum ossilleer, wat beskryf kan word deur 'n eenvoudige differensiaalvergelyking:
x + ω2 sin x=0, waar x (t) 'n onbekende funksie is (dit is die hoek van afwyking van die ondersteewewigsposisie op tyd t, uitgedruk in radiale); ω is 'n positiewe konstante, wat bepaal word uit die parameters van die slinger (ω=√g/L, waar g die vryvalversnelling is en L die lengte van die wiskundige slinger (suspensie) is.
Die vergelyking van klein fluktuasies naby die ewewigsposisie (harmoniese vergelyking) lyk soos volg:
x + ω2 sin x=0
Ossillerende bewegings van die pendulum
'n Wiskundige pendulum wat klein ossillasies maak, beweeg langs 'n sinusoïed. Die tweede-orde differensiaalvergelyking voldoen aan al die vereistes en parameters van so 'n beweging. Om die trajek te bepaal, moet jy die spoed en koördinaat spesifiseer, waaruit onafhanklike konstantes dan bepaal word:
x='n Sonde (θ0 + ωt), waar θ0 die beginfase is, A die ossillasie-amplitude is, ω die sikliese frekwensie is wat uit die bewegingsvergelyking bepaal word.
Wiskundige pendulum (formules vir groot amplitudes)
Hierdie meganiese stelsel, wat sy ossillasies met 'n beduidende amplitude maak, gehoorsaam meer komplekse bewegingswette. Vir so 'n pendulum word hulle bereken deur die formule:
sin x/2=usn(ωt/u), waar sn die Jacobisinus is, wat vir u < 1 'n periodieke funksie is, en vir klein u val dit saam met 'n eenvoudige trigonometriese sinus. Die waarde van u word bepaal deur die volgende uitdrukking:
u=(ε + ω2)/2ω2, waar ε=E/mL2 (mL2 is die energie van die pendulum).
Bepaling van die ossillasieperiode van 'n nie-lineêre slingeruitgevoer volgens die formule:
T=2π/Ω, waar Ω=π/2ω/2K(u), K is die elliptiese integraal, π - 3, 14.
Beweging van die pendulum langs die skeiding
'n Separasie is 'n trajek van 'n dinamiese stelsel met 'n tweedimensionele faseruimte. Die wiskundige slinger beweeg nie-periodiek daarlangs. Op 'n oneindig verre oomblik van tyd val dit van die uiterste boonste posisie na die kant met 'n nul snelheid, en tel dit dan geleidelik op. Dit stop uiteindelik en keer terug na sy oorspronklike posisie.
As die amplitude van die slinger se ossillasies die getal π nader, dui dit aan dat die beweging op die fasevlak die skeiding nader. In hierdie geval, onder die werking van 'n klein dryfkrag periodieke krag, vertoon die meganiese stelsel chaotiese gedrag.
Wanneer die wiskundige slinger met 'n sekere hoek φ van die ewewigsposisie afwyk, ontstaan 'n tangensiale swaartekrag Fτ=–mg sin φ. Die minusteken beteken dat hierdie tangensiële komponent in die teenoorgestelde rigting van die pendulumdefleksie gerig is. Wanneer die verplasing van die slinger langs die boog van 'n sirkel met radius L met x aangedui word, is sy hoekverplasing gelyk aan φ=x/L. Die tweede wet van Isaac Newton, ontwerp vir projeksies van die versnellingsvektor en krag, sal die verlangde waarde gee:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Gegrond op hierdie verhouding, is dit duidelik dat hierdie slinger 'n nie-lineêre stelsel is, aangesien die krag wat probeer terugkeerdit tot die ewewigsposisie, is altyd eweredig nie aan die verplasing x nie, maar aan sin x/L.
Slegs wanneer die wiskundige slinger klein ossillasies maak, is dit 'n harmoniese ossillator. Met ander woorde, dit word 'n meganiese stelsel wat in staat is om harmoniese vibrasies uit te voer. Hierdie benadering is prakties geldig vir hoeke van 15–20°. Pendulum-ossillasies met groot amplitudes is nie harmonies nie.
Newton se wet vir klein ossillasies van 'n slinger
As hierdie meganiese stelsel klein vibrasies uitvoer, sal Newton se 2de wet soos volg lyk:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Op grond hiervan kan ons tot die gevolgtrekking kom dat die tangensiële versnelling van die wiskundige slinger eweredig is aan sy verplasing met 'n minusteken. Dit is die toestand waardeur die stelsel 'n harmoniese ossillator word. Die modulus van die proporsionele wins tussen verplasing en versnelling is gelyk aan die kwadraat van die sirkelfrekwensie:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Hierdie formule weerspieël die natuurlike frekwensie van klein ossillasies van hierdie tipe pendulum. Op grond hiervan, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Berekeninge gebaseer op die wet van behoud van energie
Die eienskappe van die ossillerende bewegings van die slinger kan ook beskryf word deur die wet van behoud van energie te gebruik. In hierdie geval moet in ag geneem word dat die potensiële energie van die slinger in die gravitasieveld is:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Totale meganiese energieis gelyk aan kinetiese of maksimum potensiaal: Epmax=Ekmsx=E
Nadat die wet van behoud van energie geskryf is, neem die afgeleide van die regter- en linkerkant van die vergelyking:
Ep + Ek=konst
Aangesien die afgeleide van konstante waardes 0 is, dan is (Ep + Ek)'=0. Die afgeleide van die som is gelyk aan die som van die afgeleides:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, vandaar:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Gegrond op die laaste formule, vind ons: α=- g/Lx.
Praktiese toepassing van die wiskundige slinger
Die versnelling van vrye val wissel met geografiese breedtegraad, aangesien die digtheid van die aardkors regdeur die planeet nie dieselfde is nie. Waar rotse met 'n hoër digtheid voorkom, sal dit ietwat hoër wees. Die versnelling van 'n wiskundige slinger word dikwels vir geologiese verkenning gebruik. Dit word gebruik om verskeie minerale te soek. Deur bloot die aantal swaaie van die pendulum te tel, kan jy steenkool of erts in die ingewande van die Aarde vind. Dit is te wyte aan die feit dat sulke fossiele 'n digtheid en massa het wat groter is as die los rotse onder hulle.
Die wiskundige slinger is deur prominente wetenskaplikes soos Sokrates, Aristoteles, Plato, Plutarchus, Archimedes gebruik. Baie van hulle het geglo dat hierdie meganiese stelsel die lot en lewe van 'n persoon kan beïnvloed. Archimedes het 'n wiskundige slinger in sy berekeninge gebruik. Deesdae is baie okkultiste en sielkundigesgebruik hierdie meganiese stelsel om hul profesieë te vervul of soek na vermiste mense.
Die bekende Franse sterrekundige en natuurkundige K. Flammarion het ook 'n wiskundige slinger vir sy navorsing gebruik. Hy het beweer dat hy met sy hulp die ontdekking van 'n nuwe planeet, die verskyning van die Tunguska-meteoriet en ander belangrike gebeurtenisse kon voorspel. Tydens die Tweede Wêreldoorlog in Duitsland (Berlyn) het 'n gespesialiseerde Pendulum Institute gewerk. Vandag is die Munich Institute of Parapsychology besig met soortgelyke navorsing. Die werknemers van hierdie instelling noem hul werk met die slinger "radiesthesia."
