Die onderwerp "rekenkundige vordering" word in die algemene kursus van algebra in skole in die 9de graad bestudeer. Hierdie onderwerp is belangrik vir verdere in-diepte studie van die wiskunde van getalreekse. In hierdie artikel sal ons kennis maak met die rekenkundige vordering, die verskille daarvan, asook met tipiese take wat skoolkinders in die gesig staar.
Die konsep van algebraïese progressie
Numeriese progressie is 'n reeks getalle waarin elke daaropvolgende element van die vorige een verkry kan word, indien een of ander wiskundige wet toegepas word. Daar is twee eenvoudige tipes progressie: meetkundig en rekenkundig, wat ook algebraïes genoem word. Laat ons in meer besonderhede daaroor stilstaan.
Kom ons stel ons een of ander rasionale getal voor, dui dit aan met die simbool a1, waar die indeks sy ranggetal in die reeks wat oorweeg word, aandui. Kom ons voeg 'n ander getal by 'n1 , kom ons dui dit aan d. Toe die tweede'n element van 'n reeks kan soos volg gereflekteer word: a2=a1+d. Voeg nou weer d by, ons kry: a3=a2+d. Deur hierdie wiskundige bewerking voort te sit, kan jy 'n hele reeks getalle kry, wat 'n rekenkundige progressie genoem sal word.
Soos uit bogenoemde verstaan kan word, moet jy die formule gebruik om die n-de element van hierdie ry te vind: a =a1+ (n -1)d. Inderdaad, deur n=1 in die uitdrukking te vervang, kry ons a1=a1, as n=2, dan impliseer die formule: a2=a1 + 1d, ensovoorts.
Byvoorbeeld, as die verskil van 'n rekenkundige progressie 5 is, en 'n1=1, dan beteken dit dat die getalreeks van die betrokke tipe lyk soos: 1, 6, 11, 16, 21, … Soos jy kan sien, is elkeen van sy terme 5 groter as die vorige een.
Formules vir die verskil van rekenkundige vordering
Uit die bogenoemde definisie van die beskoude reeks getalle, volg dit dat jy twee getalle moet ken om dit te bepaal: a1 en d. Laasgenoemde word die verskil van hierdie progressie genoem. Dit bepaal die gedrag van die hele reeks uniek. Inderdaad, as d positief is, dan sal die getallereeks voortdurend toeneem, inteendeel, in die geval van negatiewe d, sal die getalle in die reeks slegs modulo toeneem, terwyl hul absolute waarde sal afneem met toenemende getal n.
Wat is die verskil van die rekenkundige vordering? Beskou die twee hoofformules wat gebruik word om hierdie waarde te bereken:
- d=an+1-a , hierdie formule volg direk uit die definisie van die betrokke getalreeks.
- d=(-a1+a)/(n-1), hierdie uitdrukking word verkry deur d uit die formule wat gegee word uit te druk in die vorige paragraaf van die artikel. Let daarop dat hierdie uitdrukking onbepaald word (0/0) as n=1. Dit is te wyte aan die feit dat dit nodig is om ten minste 2 elemente van die reeks te ken om die verskil daarvan te bepaal.
Hierdie twee basiese formules word gebruik om enige probleem op te los om die vorderingsverskil te vind. Daar is egter 'n ander formule waarvan jy ook moet weet.
Som van eerste elemente
Die formule wat gebruik kan word om die som van enige aantal lede van 'n algebraïese progressie te bepaal, volgens historiese bewyse, is die eerste keer verkry deur die "prins" van wiskunde van die 18de eeu, Carl Gauss. 'n Duitse wetenskaplike, terwyl hy nog 'n seun in die laer grade van 'n dorpskool was, het opgemerk dat om natuurlike getalle in die reeks van 1 tot 100 by te tel, jy eers die eerste element en die laaste moet optel (die resulterende waarde sal gelyk wees tot die som van die voorlaaste en tweede, voorlaaste en derde elemente, ensovoorts), en dan moet hierdie getal vermenigvuldig word met die getal van hierdie bedrae, dit wil sê met 50.
Die formule wat die gestelde resultaat op 'n spesifieke voorbeeld weerspieël, kan veralgemeen word na 'n arbitrêre geval. Dit sal so lyk: S =n/2(a +a1). Let daarop dat kennis van die verskil d nie nodig is om die gespesifiseerde waarde te vind nie,as twee terme van die vordering bekend is (a en a1).
Voorbeeld 1. Bepaal die verskil deur die twee terme van die reeks a1 en 'n
te ken
Kom ons wys hoe om die formules wat hierbo in die artikel genoem word, toe te pas. Kom ons gee 'n eenvoudige voorbeeld: die verskil van die rekenkundige progressie is onbekend, dit is nodig om te bepaal waaraan dit gelyk sal wees as 'n13=-5, 6 en a1 =-12, 1.
Aangesien ons die waardes van twee elemente van die numeriese ry ken, en een van hulle die eerste getal is, kan ons formule nr. 2 gebruik om die verskil d te bepaal. Ons het: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. In die uitdrukking het ons die waarde n=13 gebruik, aangesien die lid met hierdie reeksnommer is bekend.
Die gevolglike verskil dui aan dat die progressie toeneem, ten spyte van die feit dat die elemente wat in die toestand van die probleem gegee word, 'n negatiewe waarde het. Dit kan gesien word dat 'n13>a1, hoewel |a13|<|a 1 |.
Voorbeeld 2. Positiewe lede van die vordering in voorbeeld 1
Kom ons gebruik die resultaat wat in die vorige voorbeeld verkry is om 'n nuwe probleem op te los. Dit word soos volg geformuleer: vanaf watter rynommer begin die elemente van die progressie in voorbeeld 1 positiewe waardes neem?
Soos getoon, is die vordering waarin a1=-12, 1 en d=0. 54167 aan die toeneem, so vanaf een of ander getal sal die getalle net positief begin aanneem waardes. Om hierdie getal n te bepaal, moet 'n mens 'n eenvoudige ongelykheid oplos, wat iswiskundig soos volg geskryf: a >0 of, deur die toepaslike formule te gebruik, herskryf ons die ongelykheid: a1 + (n-1)d>0. Dit is nodig om die onbekende n te vind, laat ons dit uitdruk: n>-1a1/d + 1. Nou bly dit om die bekende waardes van die verskil en die eerste lid te vervang van die volgorde. Ons kry: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 of n>23, 338. Aangesien n slegs heelgetalwaardes kan neem, volg dit uit die gevolglike ongelykheid dat enige lede van die reeks wat sal 'n getal groter as 23 hê, sal positief wees.
Gaan jou antwoord na deur die formule hierbo te gebruik om die 23ste en 24ste elemente van hierdie rekenkundige progressie te bereken. Ons het: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (negatiewe getal); a24=-12, 1 + 230. 54167=0, 3584 (positiewe waarde). Dus, die resultaat wat verkry is, is korrek: vanaf n=24, sal alle lede van die getallereeks groter as nul wees.
Voorbeeld 3. Hoeveel stompe sal pas?
Kom ons gee een eienaardige probleem: tydens houtkap is besluit om gesaagde stompe op mekaar te stapel soos in die figuur hieronder getoon. Hoeveel stompe kan op hierdie manier gestapel word, met die wete dat 10 rye in totaal sal pas?
Op hierdie manier om logs te stapel, kan jy een interessante ding opmerk: elke daaropvolgende ry sal een minder log as die vorige een bevat, dit wil sê, daar is 'n algebraïese progressie, waarvan die verskil d=1 is. As ons aanvaar dat die aantal logs in elke ry 'n lid van hierdie vordering is,en ook gegewe dat a1=1 (slegs een log sal heel bo pas), vind ons die nommer a10. Ons het: a10=1 + 1(10-1)=10. Dit wil sê, in die 10de ry, wat op die grond lê, sal daar 10 stompe wees.
Die totale bedrag van hierdie "piramidale" konstruksie kan verkry word deur die Gauss-formule te gebruik. Ons kry: S10=10/2(10+1)=55 logs.
