Om dit vir die leser makliker te maak om te dink wat 'n hiperbool is - 'n driedimensionele voorwerp - moet jy eers die geboë hiperbool met dieselfde naam oorweeg, wat in 'n tweedimensionele ruimte pas.
'n Hiperbool het twee asse: die werklike een, wat in hierdie figuur saamval met die abskis-as, en die denkbeeldige een, met die y-as. As jy verstandelik begin om die vergelyking van 'n hiperbool om sy denkbeeldige as te draai, dan sal die oppervlak wat deur die kromme "gesien" word 'n enkelblad-hiperbool wees.
As ons egter die hiperbool op hierdie manier om sy werklike as begin draai, dan sal elkeen van die twee "helftes" van die kromme sy eie aparte oppervlak vorm, en saam sal dit 'n twee- genoem word. velvormige hiperboloïed.
Verkry deur die ooreenstemmende vlakkromme te draai, word hulle onderskeidelik rotasiehiperboloïede genoem. Hulle het parameters in alle rigtings loodreg op die rotasie-as,wat tot die geroteerde kromme behoort. Oor die algemeen is dit nie die geval nie.
Hyperboloïedvergelyking
Oor die algemeen kan 'n oppervlak gedefinieer word deur die volgende vergelykings in Cartesiese koördinate(x, y, z):
In die geval van 'n hiperboloïed van omwenteling, word sy simmetrie om die as waarom dit geroteer het, uitgedruk in die gelykheid van die koëffisiënte a=b.
Hyperboloïde-kenmerke
Hy het 'n truuk. Ons weet dat krommes op 'n vlak brandpunte het - in die geval van 'n hiperbool, byvoorbeeld, die module van die verskil in afstande van 'n arbitrêre punt op 'n hiperbool na een fokus en die tweede is konstant per definisie, in werklikheid, van fokus punte.
Wanneer daar na driedimensionele ruimte beweeg word, verander die definisie feitlik nie: brandpunte is weer twee punte, en die verskil in afstande van hulle na 'n arbitrêre punt wat aan die hiperboloïedoppervlak behoort, is konstant. Soos u kan sien, het slegs die derde koördinaat verskyn uit die veranderinge vir alle moontlike punte, want nou is hulle in die ruimte gestel. Oor die algemeen is die definisie van 'n fokus gelykstaande aan die identifisering van die tipe kromme of oppervlak: deur te praat oor hoe die punte van die oppervlak relatief tot die brandpunte geleë is, beantwoord ons eintlik die vraag wat 'n hiperboloïed is en hoe dit lyk.
Dit is die moeite werd om te onthou dat 'n hiperbool asimptote het - reguit lyne, waarna sy takke na oneindig neig. As 'n mens die asimptote saam met die hiperbool verstandelik roteer wanneer 'n revolusiehiperboloïed gebou word, sal 'n mens benewens die hiperbool ook 'n keël kry wat asimptoties genoem word. Die asimptotiese keël isvir eenvel- en tweevel-hiperboloïede.
Nog 'n belangrike eienskap wat slegs 'n eenbladhiperboloïed het, is reglynige kragopwekkers. Soos die naam aandui, is dit lyne, en hulle lê heeltemal op 'n gegewe oppervlak. Twee reglynige kragopwekkers gaan deur elke punt van 'n eenbladige hiperboloïed. Hulle behoort onderskeidelik aan twee families van lyne, wat beskryf word deur die volgende stelsels vergelykings:
Dus, 'n eenbladhiperboloïed kan geheel en al saamgestel word uit 'n oneindige aantal reguit lyne van twee families, en elke lyn van een van hulle sal met al die lyne van die ander sny. Oppervlaktes wat met sulke eienskappe ooreenstem, word gereël genoem; hulle kan gekonstrueer word deur die rotasie van een reguit lyn te gebruik. Definisie deur die onderlinge rangskikking van lyne (reglynige opwekkers) in die ruimte kan ook dien as 'n ondubbelsinnige aanduiding van wat 'n hiperboloïed is.
Interessante eienskappe van 'n hiperboloïed
Tweede-orde krommes en hul ooreenstemmende omwentelingsoppervlaktes het elkeen interessante optiese eienskappe wat met brandpunte geassosieer word. In die geval van 'n hiperboloïed word dit soos volg geformuleer: as 'n straal vanaf een fokus afgevuur word, sal dit, nadat dit vanaf die naaste "muur" weerkaats word, so 'n rigting inneem asof dit van die tweede fokus kom.
hiperboloïede in die lewe
Heel waarskynlik het die meeste lesers hul kennismaking met analitiese meetkunde en tweede-orde oppervlaktes begin uit 'n wetenskapfiksie roman deur Alexei Tolstoy"Hyperboloïde ingenieur Garin". Die skrywer self het egter óf nie goed geweet wat 'n hiperboloïed is nie, óf het akkuraatheid ter wille van kunssinnigheid opgeoffer: die beskryfde uitvinding, in terme van fisiese eienskappe, is eerder 'n paraboloïed wat al die strale in een fokus versamel (terwyl die optiese eienskappe van die hiperboloïed word geassosieer met die verstrooiing van strale).
Die sogenaamde hiperboloïedstrukture is baie gewild in argitektuur: dit is strukture wat in die vorm van 'n enkelbladhiperboloïed of 'n hiperboliese paraboloïed is. Die feit is dat slegs hierdie omwentelingsoppervlaktes van die tweede orde reglynige kragopwekkers het: dus kan 'n geboë struktuur slegs uit reguit balke gebou word. Die voordele van sulke strukture is die vermoë om swaar vragte te weerstaan, byvoorbeeld van die wind: die hiperboloïedvorm word gebruik in die konstruksie van hoë strukture, byvoorbeeld televisietorings.
