Goldbach se probleem is een van die oudste en mees gehyped probleme in die geskiedenis van alle wiskunde.
Daar is bewys dat hierdie vermoede waar is vir alle heelgetalle minder as 4 × 1018, maar bly onbewese ten spyte van aansienlike pogings deur wiskundiges.
Number
Die Goldbach-getal is 'n positiewe ewe heelgetal wat die som van 'n paar onewe priemgetal is. Nog 'n vorm van die Goldbach-vermoede is dat alle ewe heelgetalle groter as vier Goldbach-getalle is.
Skeiding van sulke getalle word Goldbach se partisie (of partisie) genoem. Hieronder is voorbeelde van soortgelyke afdelings vir sommige ewe getalle:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Ontdekking van die hipotese
Goldbach het 'n kollega met die naam Euler gehad, wat daarvan gehou het om te tel, komplekse formules te skryf en onoplosbare teorieë voor te stel. Hierin was hulle soortgelyk aan Goldbach. Euler het 'n soortgelyke wiskundige raaisel gemaak selfs voor Goldbach, met wie hykonstante korrespondensie. Hy het toe 'n tweede voorstel in die kantlyn van sy manuskrip voorgestel, waarvolgens 'n heelgetal groter as 2 as die som van drie priemgetalle geskryf kan word. Hy het 1 as 'n priemgetal beskou.
Dit is nou bekend dat die twee hipoteses soortgelyk is, maar dit het toe nie gelyk of dit 'n probleem was nie. Die moderne weergawe van Goldbach se probleem stel dat elke heelgetal groter as 5 as die som van drie priemgetal geskryf kan word. Euler het in 'n brief gedateer 30 Junie 1742 geantwoord en Goldbach herinner aan 'n vroeëre gesprek wat hulle gehad het ("… so ons praat van die oorspronklike (en nie marginale) hipotese wat uit die volgende stelling ontstaan").
Euler-Goldbach-probleem
2 en sy ewe getalle kan geskryf word as die som van twee priemgetalle, wat ook Goldbach se vermoede is. In 'n brief gedateer 30 Junie 1742 het Euler verklaar dat elke ewe heelgetal die resultaat is van die byvoeging van twee priemgetalle, wat hy as 'n goed gedefinieerde stelling beskou, hoewel hy dit nie kan bewys nie.
Derde weergawe
Die derde weergawe van Goldbach se probleem (gelykstaande aan die ander twee weergawes) is die vorm waarin die vermoede vandag gewoonlik gegee word. Dit staan ook bekend as die "sterk", "gelyk" of "binêre" Goldbach vermoede om dit te onderskei van die swakker hipotese wat vandag bekend staan as die "swak", "vreemde" of "ternêre" Goldbach vermoede. Die swak vermoede sê dat alle onewe getalle groter as 7 die som van drie onewe priemgetalle is. Die swak vermoede is in 2013 bewys. Die swak hipotese is'n gevolg van 'n sterk hipotese. Die omgekeerde gevolg en die sterk Goldbach-vermoede bly tot vandag toe onbewese.
Check
Vir klein waardes van n kan die Goldbach-probleem (en dus die Goldbach-vermoede) geverifieer word. Nils Pipping het byvoorbeeld in 1938 die hipotese noukeurig getoets tot n ≦ 105. Met die koms van die eerste rekenaars is baie meer waardes van n bereken.
Oliveira Silva het 'n verspreide rekenaarsoektog uitgevoer wat die hipotese vir n ≦ 4 × 1018 (en dubbel gekontroleer tot 4 × 1017) vanaf 2013 bevestig het. Een inskrywing uit hierdie soektog is dat 3,325,581,707,333,960,528 die kleinste getal is wat nie 'n Goldbach-verdeling met 'n priemtal onder 9781 het nie.
Heuristics
Die weergawe vir die sterk vorm van Goldbach se vermoede is soos volg: aangesien die hoeveelheid na oneindig neig soos n toeneem, verwag ons dat elke groot ewe heelgetal meer as een voorstelling het as die som van twee priemgetal. Maar in werklikheid is daar baie sulke voorstellings. Wie het die Goldbach-probleem opgelos? Helaas, steeds niemand.
Hierdie heuristiese argument is eintlik ietwat onakkuraat, aangesien dit aanvaar dat m statisties onafhanklik van n is. Byvoorbeeld, as m onewe is, dan is n - m ook onewe, en as m ewe is, dan is n - m ewe, en dit is 'n nie-triviale (komplekse) verhouding, want afgesien van die getal 2, net onewe getalle kan priemgetal wees. Net so, as n deelbaar is deur 3 en m was reeds 'n priemgetal anders as 3, dan is n - m ook onderlingpriem met 3, dus meer geneig om 'n priemgetal te wees in teenstelling met 'n totale getal. Deur hierdie tipe analise noukeuriger uit te voer, het Hardy en Littlewood in 1923, as deel van hul beroemde Hardy-Littlewood eenvoudige tupel-vermoede, die bogenoemde verfyning van die hele teorie gemaak. Maar dit het tot dusver nie gehelp om die probleem op te los nie.
Sterk hipotese
Die sterk Goldbach vermoede is baie meer ingewikkeld as die swak Goldbach vermoede. Shnirelman het later bewys dat enige natuurlike getal groter as 1 geskryf kan word as die som van hoogstens C-prime, waar C 'n effektief berekenbare konstante is. Baie wiskundiges het probeer om dit op te los, deur getalle te tel en te vermenigvuldig, komplekse formules aan te bied, ens. Maar hulle het nooit daarin geslaag nie, want die hipotese is te ingewikkeld. Geen formules het gehelp nie.
Maar dit is die moeite werd om weg te beweeg van die vraag om Goldbach se probleem 'n bietjie te bewys. Die Shnirelman-konstante is die kleinste C-getal met hierdie eienskap. Shnirelman het self C <800 000 gekry. Hierdie resultaat is daarna aangevul deur baie skrywers, soos Olivier Ramaret, wat in 1995 aangetoon het dat elke ewe getal n ≧ 4 eintlik die som van hoogstens ses priemgetal is. Die bekendste resultaat wat tans geassosieer word met die Goldbach-teorie deur Harald Helfgott.
Verdere ontwikkeling
In 1924 het Hardy en Littlewood G. R. H. het getoon dat die aantal ewe getalle tot X, wat die binêre Goldbach-probleem oortree, baie minder is as vir klein c.
In 1973 Chen JingyunEk het probeer om hierdie probleem op te los, maar dit het nie gewerk nie. Hy was ook 'n wiskundige, so hy was baie lief daarvoor om raaisels op te los en stellings te bewys.
In 1975 het twee Amerikaanse wiskundiges getoon dat daar positiewe konstantes c en C is - dié waarvoor N voldoende groot is. Veral die versameling ewe heelgetalle het nuldigtheid. Dit alles was nuttig vir werk aan die oplossing van die ternêre Goldbach-probleem, wat in die toekoms sal plaasvind.
In 1951 het Linnik die bestaan van 'n konstante K bewys sodat elke voldoende groot ewe getal die resultaat is van die byvoeging van een priemgetal en 'n ander priemgetal by mekaar. Roger Heath-Brown en Jan-Christoph Schlage-Puchta het in 2002 gevind dat K=13 werk. Dit is baie interessant vir alle mense wat daarvan hou om by mekaar op te tel, verskillende getalle bymekaar te tel en te sien wat gebeur.
Oplossing van die Goldbach-probleem
Soos met baie bekende veronderstellings in wiskunde, is daar 'n aantal beweerde bewyse van die Goldbach-vermoede, waarvan geeneen deur die wiskundige gemeenskap aanvaar word nie.
Hoewel Goldbach se vermoede impliseer dat elke positiewe heelgetal groter as een as die som van hoogstens drie priemgetalle geskryf kan word, is dit nie altyd moontlik om so 'n som te vind deur 'n gulsige algoritme te gebruik wat die grootste moontlike priemgetal gebruik nie by elke stap. Die Pillai-volgorde hou tred met die getalle wat die meeste priemgetal vereis in hul gulsige voorstellings. Daarom die oplossing vir die Goldbach-probleemsteeds ter sprake. Nietemin, vroeër of later sal dit heel waarskynlik opgelos word.
Daar is teorieë soortgelyk aan Goldbach se probleem waarin priemgetalle vervang word deur ander spesifieke stelle getalle, soos vierkante.
Christian Goldbach
Christian Goldbach was 'n Duitse wiskundige wat ook regte studeer het. Hy word vandag onthou vir die Goldbach vermoede.
Hy het sy lewe lank as 'n wiskundige gewerk - hy was baie lief daarvoor om getalle by te tel, nuwe formules uit te vind. Hy het ook verskeie tale geken, in elkeen waarvan hy sy persoonlike dagboek gehou het. Hierdie tale was Duits, Frans, Italiaans en Russies. Ook, volgens sommige bronne, het hy Engels en Latyn gepraat. Hy was tydens sy leeftyd bekend as 'n redelik bekende wiskundige. Goldbach was ook taamlik nou verbonde aan Rusland, want hy het baie Russiese kollegas gehad en die persoonlike guns van die koninklike familie.
Hy het in 1725 as professor in wiskunde en historikus van die akademie by die nuutgeopende St. Petersburg Akademie vir Wetenskappe bly werk. In 1728, toe Peter II Tsaar van Rusland geword het, het Goldbach sy mentor geword. In 1742 het hy die Russiese ministerie van buitelandse sake betree. Dit wil sê, hy het eintlik in ons land gewerk. Destyds het baie wetenskaplikes, skrywers, filosowe en militêre mense na Rusland gekom, want Rusland was destyds 'n land van geleenthede soos Amerika. Baie het hier 'n loopbaan gemaak. En ons held is geen uitsondering nie.
Christian Goldbach was veeltalig – hy het 'n dagboek in Duits en Latyn geskryf, sy brieweis in Duits, Latyn, Frans en Italiaans geskryf, en vir amptelike dokumente het hy Russies, Duits en Latyn gebruik.
Hy is op 20 November 1764 in die ouderdom van 74 in Moskou oorlede. Die dag wanneer Goldbach se probleem opgelos word, sal 'n gepaste huldeblyk aan sy geheue wees.
Gevolgtrekking
Goldbach was 'n groot wiskundige wat ons een van die grootste raaisels van hierdie wetenskap gegee het. Dit is nie bekend of dit ooit opgelos sal word of nie. Ons weet net dat die veronderstelde oplossing daarvan, soos in die geval van Fermat se stelling, nuwe perspektiewe vir wiskunde sal oopmaak. Wiskundiges is baie lief daarvoor om dit op te los en te ontleed. Dit is baie interessant en nuuskierig vanuit 'n heuristiese oogpunt. Selfs wiskundestudente hou daarvan om die Goldbach-probleem op te los. Hoe anders? Jong mense is immers voortdurend aangetrokke tot alles helder, ambisieus en onopgeloste, want deur moeilikhede te oorkom, kan 'n mens jouself laat geld. Kom ons hoop dat hierdie probleem binnekort opgelos sal word deur jong, ambisieuse, nuuskierige geeste.
