Hoe die cosinus-afgeleide afgelei word

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2023-12-17 05:14

Die afgeleide van die cosinus word gevind na analogie van die afgeleide van die sinus, die basis van die bewys is die definisie van die limiet van die funksie. Jy kan 'n ander metode gebruik deur die trigonometriese reduksieformules vir die cosinus en sinus van hoeke te gebruik. Druk een funksie uit in terme van 'n ander - cosinus in terme van sinus, en onderskei die sinus met 'n komplekse argument.

Beskou die eerste voorbeeld van die afleiding van die formule (Cos(x))'

Gee 'n weglaatbaar klein inkrement Δx vir die argument x van die funksie y=Cos(x). Met 'n nuwe waarde van die argument х+Δх, kry ons 'n nuwe waarde van die funksie Cos(х+Δх). Dan sal die funksie inkrement Δy gelyk wees aan Cos(х+Δx)-Cos(x).

Die verhouding van die funksie inkrement tot Δх sal wees: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Kom ons voer identiese transformasies in die teller van die resulterende breuk uit. Herroep die formule vir die verskil in die cosinus van die hoeke, die resultaat sal die produk -2Sin (Δx / 2) maal Sin (x + Δx / 2) wees. Ons vind die limiet van die kwosiënt lim van hierdie produk op Δx aangesien Δx neig na nul. Dit is bekend dat die eerste(dit word wonderlik genoem) die limiet lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) is gelyk aan 1, en die limiet -Sin(x+Δx/2) is gelyk aan -Sin(x) as Δx neig na nul. Skryf die resultaat neer: die afgeleide van (Cos(x))' is gelyk aan - Sin(x).

Sommige mense verkies die tweede manier om dieselfde formule af te lei

Dit is bekend uit die verloop van trigonometrie: Cos(x) is gelyk aan Sin(0, 5 µ-x), net so is Sin(x) gelyk aan Cos(0, 5 µ-x). Dan differensieer ons 'n komplekse funksie - die sinus van die addisionele hoek (in plaas van die cosinus x).

Ons kry die produk Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', want die afgeleide van die sinus x is gelyk aan die cosinus X. Ons gaan na die tweede formule Sin(x)=Cos(0.5 µ-x) om kosinus met sinus te vervang, met inagneming dat (0.5 µ-x)'=-1. Nou kry ons -Sin(x). Dus, die afgeleide van die cosinus word gevind, y'=-Sin(x) vir die funksie y=Cos(x).

Kwadraatkosinus-afgeleide

'n Algemene voorbeeld waar die cosinus-afgeleide gebruik word. Die funksie y=Cos²(x) is moeilik. Ons vind eers die differensiaal van die magsfunksie met eksponent 2, dit sal 2·Cos(x) wees, dan vermenigvuldig ons dit met die afgeleide (Cos(x))', wat gelyk is aan -Sin(x). Ons kry y'=-2 Cos(x) Sin(x). Wanneer ons die formule Sin(2x), die sinus van 'n dubbele hoek, toepas, kry ons die finale vereenvoudigdeantwoord y'=-Sin(2x)

hiperboliese funksies

Hulle word gebruik in die studie van baie tegniese dissiplines: in wiskunde, byvoorbeeld, fasiliteer hulle die berekening van integrale, die oplossing van differensiaalvergelykings. Hulle word uitgedruk in terme van trigonometriese funksies met denkbeeldigeargument, dus die hiperboliese cosinus ch(x)=Cos(i x), waar i die denkbeeldige eenheid is, die hiperboliese sinus sh(x)=Sin(i x).

Die afgeleide van die hiperboliese cosinus word baie eenvoudig bereken.

Beskou die funksie y=(e^x+e^-x) /2, dit en is die hiperboliese cosinus ch(x). Ons gebruik die reël om die afgeleide van die som van twee uitdrukkings te vind, die reël om die konstante faktor (Const) uit die teken van die afgeleide te neem. Die tweede term 0.5 e^-x is 'n komplekse funksie (sy afgeleide is -0.5 e^-x), 0.5 e^х ― die eerste kwartaal. (ch(x)) '=((e^x+e^-x)/2)' kan geskryf word op 'n ander manier: (0, 5 e^x+0, 5 e^-x)'=0, 5 e ^x-0, 5 e^-x, omdat die afgeleide (e - x^{)' is gelyk aan -1 keer e}-x^{. Die resultaat is 'n verskil, en dit is die hiperboliese sinus sh(x).}Uitvoer: (ch(x))'=sh(x).

Kom ons kyk na 'n voorbeeld van hoe om bereken die afgeleide van die funksie y=ch(x

3^+1).Volgens die hiperboliese cosinus-differensiasiereël met komplekse argument y'=sh(x

3^{+1) (x} 3^{+1)', waar (x}3^{+1)'=3 x} 2^+0. Antwoord: die afgeleide van hierdie funksie is 3 x

2^sh(x3^+1).

Tabelafgeleides van die geagte funksies y=ch(x) en y=Cos(x)

Wanneer voorbeelde opgelos word, is dit nie nodig om hulle elke keer volgens die voorgestelde skema te onderskei nie, dit is genoeg om die afleiding te gebruik.

Voorbeeld. Onderskei die funksie y=Cos(x)+Cos²(-x)-Ch(5 x). Maklik om te bereken (gebruik tabeldata), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).