Omgekeerde trigonometriese funksies veroorsaak tradisioneel probleme vir skoolkinders. Die vermoë om die boogtangens van 'n getal te bereken, kan vereis word in GEBRUIK-take in planimetrie en stereometrie. Om 'n vergelyking en 'n probleem met 'n parameter suksesvol op te los, moet jy 'n begrip hê van die eienskappe van die boogtangensfunksie.
Definisie
Die boogtangens van 'n getal x is 'n getal y waarvan die raaklyn x is. Dit is die wiskundige definisie.
Die arctangent-funksie word geskryf as y=arctg x.
Meer algemeen: y=Carctg (kx + a).
Berekening
Om te verstaan hoe die inverse trigonometriese funksie van die arctangens werk, moet jy eers onthou hoe die waarde van die raaklyn van 'n getal bepaal word. Kom ons kyk van naderby.
Die raaklyn van x is die verhouding van die sinus van x tot die cosinus van x. As ten minste een van hierdie twee hoeveelhede bekend is, dan kan die modulus van die tweede verkry word uit die basiese trigonometriese identiteit:
sin2 x + cos2 x=1.
'n assessering sal weliswaar vereis word om die module te ontsluit.
Ifdie getal self bekend is, en nie sy trigonometriese kenmerke nie, dan is dit in die meeste gevalle nodig om die raaklyn van die getal ongeveer te skat deur na die Bradis-tabel te verwys.
Uitsonderings is die sogenaamde standaardwaardes.
Hulle word in die volgende tabel aangebied:
Benewens bogenoemde, kan enige waardes wat uit die data verkry word deur die byvoeging van 'n getal van die vorm ½πк (к - enige heelgetal, π=3, 14) as standaard beskou word.
Presies dieselfde geld vir die boogtangens: die benaderde waarde kan meestal uit die tabel gesien word, maar slegs 'n paar waardes is vir seker bekend:
In die praktyk, wanneer probleme van skoolwiskunde opgelos word, is dit gebruiklik om 'n antwoord te gee in die vorm van 'n uitdrukking wat die boogtangens bevat, en nie die benaderde skatting daarvan nie. Byvoorbeeld, arctg 6, arctg (-¼).
Plot 'n grafiek
Aangesien die raaklyn enige waarde kan neem, is die domein van die arctangensfunksie die hele getallelyn. Kom ons verduidelik in meer besonderhede.
Dieselfde raaklyn stem ooreen met 'n oneindige aantal argumente. Byvoorbeeld, nie net die raaklyn van nul is gelyk aan nul nie, maar ook die raaklyn van enige getal van die vorm π k, waar k 'n heelgetal is. Daarom het wiskundiges ingestem om waardes vir die boogtangens te kies vanaf die interval van -½ π tot ½ π. Dit moet so verstaan word. Die omvang van die arctangensfunksie is die interval (-½ π; ½ π). Die punte van die gaping is nie ingesluit nie, aangesien die raaklyn -½p en ½p nie bestaan nie.
Op die gespesifiseerde interval is die raaklyn deurlopendverhogings. Dit beteken dat die inverse funksie van die boogtangens ook voortdurend toeneem op die hele getallelyn, maar van bo en onder begrens. Gevolglik het dit twee horisontale asimptote: y=-½ π en y=½ π.
In hierdie geval, tg 0=0, ander snypunte met die abskis-as, behalwe vir (0;0), kan die grafiek nie as gevolg van toename hê nie.
Soos volg uit die pariteit van die raaklynfunksie, het die arctangens 'n soortgelyke eienskap.
Om 'n grafiek te bou, neem verskeie punte uit die standaardwaardes:
Die afgeleide van die funksie y=arctg x op enige punt word bereken deur die formule:
Let daarop dat die afgeleide daarvan oral positief is. Dit stem ooreen met die gevolgtrekking wat vroeër gemaak is oor die voortdurende toename van die funksie.
Die tweede afgeleide van die arctangens verdwyn by punt 0, is negatief vir positiewe waardes van die argument, en omgekeerd.
Dit beteken dat die grafiek van die boogtangensfunksie 'n buigpunt op nul het en afwaarts konveks is op die interval (-∞; 0] en opwaarts konveks op die interval [0; +∞).
