In 1900 het een van die grootste wetenskaplikes van die vorige eeu, David Hilbert, 'n lys van 23 onopgeloste probleme in wiskunde saamgestel. Die werk aan hulle het 'n geweldige impak gehad op die ontwikkeling van hierdie gebied van menslike kennis. 100 jaar later het die Clay Mathematical Institute 'n lys van 7 probleme aangebied wat bekend staan as die Millennium-probleme. Elkeen van hulle is 'n prys van $1 miljoen aangebied.
Die enigste probleem wat tussen beide lyste raaisels verskyn het wat al meer as een eeu by wetenskaplikes spook, was die Riemann-hipotese. Sy wag nog vir haar besluit.
Kort biografiese nota
Georg Friedrich Bernhard Riemann is in 1826 in Hannover gebore, in 'n groot familie van 'n arm pastoor, en het net 39 jaar gelewe. Hy het daarin geslaag om 10 werke te publiseer. Riemann is egter reeds gedurende sy leeftyd as die opvolger van sy leermeester Johann Gauss beskou. Op die ouderdom van 25 het die jong wetenskaplike sy proefskrif "Grondbeginsels van die teorie van funksies van 'n komplekse veranderlike" verdedig. Later het hy geformuleersy beroemde hipotese.
Primnommers
Wiskunde het verskyn toe die mens geleer het om te tel. Terselfdertyd het die eerste idees oor getalle ontstaan, wat hulle later probeer klassifiseer het. Daar is waargeneem dat sommige van hulle gemeenskaplike eienskappe het. In die besonder, onder natuurlike getalle, dit wil sê dié wat gebruik is in die tel (nommering) of die aanwys van die aantal voorwerpe, is 'n groep onderskei wat slegs deur een en deur hulleself deelbaar was. Hulle word eenvoudig genoem. 'n Elegante bewys van die oneindigheidstelling van die versameling van sulke getalle is deur Euclides in sy Elements gegee. Op die oomblik duur hul soektog voort. Die grootste getal wat reeds bekend is, is veral 274 207 281 – 1.
Euler-formule
Saam met die konsep van die oneindigheid van die versameling priemgetalle, het Euclides ook die tweede stelling oor die enigste moontlike ontbinding in priemfaktore bepaal. Daarvolgens is enige positiewe heelgetal die produk van slegs een stel priemgetalle. In 1737 het die groot Duitse wiskundige Leonhard Euler Euclides se eerste oneindigheidstelling as die onderstaande formule uitgedruk.
Dit word die zeta-funksie genoem, waar s 'n konstante is en p alle priemwaardes neem. Euclides se stelling oor die uniekheid van die uitbreiding het direk daaruit gevolg.
Riemann Zeta-funksie
Euler se formule, by nadere ondersoek, is heeltemalverbasend omdat dit die verband tussen priemgetalle en heelgetalle definieer. Per slot van rekening word oneindig baie uitdrukkings wat slegs van priemgetalle afhanklik is, aan die linkerkant vermenigvuldig, en die som geassosieer met alle positiewe heelgetalle is aan die regterkant geleë.
Riemann het verder gegaan as Euler. Om die sleutel tot die probleem van die verspreiding van getalle te vind, het hy voorgestel om 'n formule vir beide reële en komplekse veranderlikes te definieer. Dit was sy wat daarna die naam van die Riemann zeta-funksie ontvang het. In 1859 het die wetenskaplike 'n artikel gepubliseer met die titel "Oor die aantal priemgetalle wat nie 'n gegewe waarde oorskry nie", waar hy al sy idees opgesom het.
Riemann het voorgestel om die Euler-reeks te gebruik, wat konvergeer vir enige regte s>1. As dieselfde formule vir komplekse s gebruik word, dan sal die reeks konvergeer vir enige waarde van hierdie veranderlike met 'n reële deel groter as 1. Riemann het die analitiese voortsettingsprosedure toegepas en die definisie van zeta(s) na alle komplekse getalle uitgebrei, maar die eenheid "uitgegooi". Dit is uitgesluit omdat die zeta-funksie by s=1 tot oneindig toeneem.
Praktiese sin
'n Logiese vraag ontstaan: hoekom is die zeta-funksie, wat die sleutel in Riemann se werk oor die nulhipotese is, interessant en belangrik? Soos u weet, is daar tans geen eenvoudige patroon geïdentifiseer wat die verspreiding van priemgetalle onder natuurlike getalle sal beskryf nie. Riemann kon ontdek dat die getal pi(x) van priemgetalle wat nie x oorskry nie, uitgedruk word in terme van die verspreiding van nie-triviale nulle van die zeta-funksie. Boonop is die Riemann-hipotese'n noodsaaklike voorwaarde vir die bewys van tydskattings vir die werking van sommige kriptografiese algoritmes.
Riemann-hipotese
Een van die eerste formulerings van hierdie wiskundige probleem, wat tot vandag toe nie bewys is nie, klink soos volg: nie-triviale 0 zeta-funksies is komplekse getalle met reële deel gelyk aan ½. Met ander woorde, hulle is geleë op die lyn Re s=½.
Daar is ook 'n veralgemeende Riemann-hipotese, wat dieselfde stelling is, maar vir veralgemenings van zeta-funksies, wat gewoonlik Dirichlet L-funksies genoem word (sien foto hieronder).
In die formule χ(n) - een of ander numeriese karakter (modulo k).
Die Riemann-stelling word as die sogenaamde nulhipotese beskou, aangesien dit getoets is vir konsekwentheid met bestaande steekproefdata.
Soos Riemann aangevoer het
Die opmerking van die Duitse wiskundige was oorspronklik taamlik terloops verwoord. Die feit is dat die wetenskaplike op daardie tydstip die stelling oor die verspreiding van priemgetalle gaan bewys, en in hierdie konteks was hierdie hipotese van geen besondere belang nie. Sy rol in die oplossing van baie ander kwessies is egter enorm. Daarom word Riemann se aanname nou deur baie wetenskaplikes erken as die belangrikste van die onbewese wiskundige probleme.
Soos reeds genoem, is die volledige Riemann-hipotese nie nodig om die verspreidingstelling te bewys nie, en dit is genoeg om logies te regverdig dat die reële deel van enige nie-triviale nul van die zeta-funksie intussen 0 en 1. Dit volg uit hierdie eienskap dat die som oor al 0'e van die zeta-funksie wat in die presiese formule hierbo voorkom, 'n eindige konstante is. Vir groot waardes van x kan dit heeltemal verlore gaan. Die enigste lid van die formule wat selfs vir baie groot x dieselfde bly, is x self. Die oorblywende komplekse terme verdwyn asimptoties in vergelyking daarmee. Die geweegde som neig dus na x. Hierdie omstandigheid kan beskou word as 'n bevestiging van die waarheid van die stelling oor die verdeling van priemgetalle. Die nulle van die Riemann-zeta-funksie het dus 'n spesiale rol. Dit bestaan daarin om te bewys dat sulke waardes nie 'n beduidende bydrae tot die ontbindingsformule kan lewer nie.
Volgers van Riemann
Tragiese dood aan tuberkulose het nie toegelaat dat hierdie wetenskaplike sy program tot sy logiese einde bring nie. Sh-Zh het egter by hom oorgeneem. de la Vallée Poussin en Jacques Hadamard. Onafhanklik van mekaar het hulle 'n stelling oor die verdeling van priemgetalle afgelei. Hadamard en Poussin het daarin geslaag om te bewys dat alle nie-triviale 0 zeta-funksies binne die kritieke band is.
Danksy die werk van hierdie wetenskaplikes het 'n nuwe rigting in wiskunde verskyn - die analitiese teorie van getalle. Later is nog verskeie primitiewe bewyse van die stelling waaraan Riemann gewerk het deur ander navorsers verkry. In die besonder, Pal Erdős en Atle Selberg het selfs 'n baie komplekse logiese ketting ontdek wat dit bevestig, wat nie die gebruik van komplekse analise vereis het nie. Maar op hierdie punt, verskeie belangrikestellings, insluitend benaderings van baie getalleteorie-funksies. In hierdie verband het die nuwe werk van Erdős en Atle Selberg feitlik niks geraak nie.
Een van die eenvoudigste en mooiste bewyse van die probleem is in 1980 deur Donald Newman gevind. Dit was gebaseer op die bekende Cauchy-stelling.
Bedreig die Riemanniese hipotese die fondamente van moderne kriptografie
Data-enkripsie het ontstaan saam met die verskyning van hiërogliewe, meer presies, hulle kan self as die eerste kodes beskou word. Op die oomblik is daar 'n hele gebied van digitale kriptografie, wat besig is om enkripsie-algoritmes te ontwikkel.
Prim- en "semi-prime" getalle, dit wil sê dié wat slegs deur 2 ander getalle uit dieselfde klas deelbaar is, vorm die basis van die publieke sleutelstelsel bekend as RSA. Dit het die wydste toepassing. Dit word veral gebruik wanneer 'n elektroniese handtekening gegenereer word. Praat in terme wat toeganklik is vir dummies, die Riemann-hipotese beweer die bestaan van 'n sisteem in die verspreiding van priemgetalle. Dus word die sterkte van kriptografiese sleutels, waarvan die sekuriteit van aanlyntransaksies op die gebied van e-handel afhang, aansienlik verminder.
Ander onopgeloste wiskundeprobleme
Dit is die moeite werd om die artikel af te handel deur 'n paar woorde aan ander millenniumteikens te wy. Dit sluit in:
- Gelykheid van klasse P en NP. Die probleem word soos volg geformuleer: as 'n positiewe antwoord op 'n bepaalde vraag in polinoomtyd gekontroleer word, dan is dit waar dat die antwoord op hierdie vraag selfvinnig gevind kan word?
- Hodge se vermoede. In eenvoudige woorde kan dit soos volg geformuleer word: vir sommige tipes projektiewe algebraïese variëteite (ruimtes), is Hodge-siklusse kombinasies van voorwerpe wat 'n meetkundige interpretasie het, dit wil sê algebraïese siklusse.
- Poincaré se vermoede. Dit is die enigste Millennium-uitdaging wat tot dusver bewys is. Daarvolgens moet enige 3-dimensionele voorwerp wat die spesifieke eienskappe van 'n 3-dimensionele sfeer het, 'n sfeer wees, tot en met vervorming.
- Bevestiging van die kwantumteorie van Yang - Mills. Dit word vereis om te bewys dat die kwantumteorie wat deur hierdie wetenskaplikes voorgehou is vir die ruimte R 4 bestaan en 'n 0de massa-defek het vir enige eenvoudige kompakte meter groep G.
- Birch-Swinnerton-Dyer-hipotese. Dit is nog 'n probleem wat met kriptografie verband hou. Dit raak elliptiese kurwes.
- Die probleem van die bestaan en gladheid van oplossings vir die Navier-Stokes-vergelykings.
Nou ken jy die Riemann-hipotese. In eenvoudige terme het ons van die ander Millennium-uitdagings geformuleer. Dat hulle opgelos sal word of bewys sal word dat hulle geen oplossing het nie, is 'n kwessie van tyd. Boonop is dit onwaarskynlik dat dit te lank sal moet wag, aangesien wiskunde toenemend die rekenaarvermoëns van rekenaars gebruik. Alles is egter nie onderhewig aan tegnologie nie, en eerstens word intuïsie en kreatiwiteit vereis om wetenskaplike probleme op te los.
