Elke student het gehoor van 'n ronde keël en verbeel hom hoe hierdie driedimensionele figuur lyk. Hierdie artikel definieer die ontwikkeling van 'n keël, verskaf formules wat sy kenmerke beskryf, en beskryf hoe om dit met 'n passer, gradeboog en reguit te bou.
Sirkelvormige keël in meetkunde
Kom ons gee 'n meetkundige definisie van hierdie figuur. 'n Ronde keël is 'n oppervlak wat gevorm word deur reguitlynsegmente wat alle punte van 'n sekere sirkel met 'n enkele punt in die ruimte verbind. Hierdie enkele punt moet nie behoort aan die vlak waarin die sirkel lê nie. As ons 'n sirkel neem in plaas van 'n sirkel, dan lei hierdie metode ook na 'n keël.
Die sirkel word die basis van die figuur genoem, sy omtrek is die rigting. Die segmente wat die punt met die rigting verbind, word generatrices of generators genoem, en die punt waar hulle sny is die hoekpunt van die keël.
Ronde keël kan reguit en skuins wees. Albei syfers word in die onderstaande figuur getoon.
Die verskil tussen hulle is dit: as die loodlyn van die bokant van die keël presies na die middel van die sirkel val, dan sal die keël reguit wees. Vir hom is die loodlyn, wat die hoogte van die figuur genoem word, deel van sy as. In die geval van 'n skuins keël vorm die hoogte en die as 'n skerp hoek.
Weens die eenvoud en simmetrie van die figuur, sal ons verder die eienskappe van slegs 'n regterkegel met 'n ronde basis oorweeg.
Kry 'n vorm deur rotasie
Voordat u voortgaan om die ontwikkeling van die oppervlak van 'n keël te oorweeg, is dit nuttig om te weet hoe hierdie ruimtelike figuur met behulp van rotasie verkry kan word.
Sê nou ons het 'n reghoekige driehoek met sye a, b, c. Die eerste twee van hulle is bene, c is die skuinssy. Kom ons sit 'n driehoek op been a en begin om dit om been b te draai. Die skuinssy c sal dan 'n koniese oppervlak beskryf. Hierdie eenvoudige keëltegniek word in die diagram hieronder getoon.
Natuurlik sal been a die radius van die basis van die figuur wees, been b sal sy hoogte wees, en die skuinssy c stem ooreen met die generatrix van 'n ronde regterkeël.
Uitsig oor die ontwikkeling van die keël
Soos jy dalk kan raai, word die keël deur twee tipes oppervlaktes gevorm. Een van hulle is 'n plat basissirkel. Gestel dit het radius r. Die tweede oppervlak is lateraal en word konies genoem. Laat sy kragopwekker gelyk wees aan g.
As ons 'n papierkeël het, dan kan ons 'n skêr neem en die basis daarvan afsny. Dan moet die koniese oppervlak gesny wordlangs enige generatrix en ontplooi dit op die vliegtuig. Op hierdie manier het ons 'n ontwikkeling van die laterale oppervlak van die keël verkry. Die twee oppervlaktes, tesame met die oorspronklike keël, word in die diagram hieronder getoon.
Die basissirkel word regs onder uitgebeeld. Die ontvoude koniese oppervlak word in die middel getoon. Dit blyk dat dit ooreenstem met een of ander sirkelvormige sektor van die sirkel, waarvan die radius gelyk is aan die lengte van die generatrix g.
Hoek- en areaveeg
Nou kry ons formules wat, deur die bekende parameters g en r te gebruik, ons toelaat om die oppervlakte en hoek van die keël te bereken.
Natuurlik het die boog van die sirkelvormige sektor wat hierbo in die figuur getoon word 'n lengte gelyk aan die omtrek van die basis, dit is:
l=2pir.
As die hele sirkel met radius g gebou is, dan sou die lengte daarvan wees:
L=2pig.
Aangesien die lengte L ooreenstem met 2pi radiale, kan die hoek waarop die boog l rus uit die ooreenstemmende proporsie bepaal word:
L==>2pi;
l==> φ.
Dan sal die onbekende hoek φ gelyk wees aan:
φ=2pil/L.
Deur die uitdrukkings vir die lengtes l en L te vervang, kom ons by die formule vir die ontwikkelingshoek van die laterale oppervlak van die keël:
φ=2pir/g.
Die hoek φ hier word in radiale uitgedruk.
Om die area Sbvan 'n sirkelsektor te bepaal, sal ons die gevonde waarde van φ gebruik. Ons maak nog een proporsie, net vir die areas. Ons het:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Van waar om Sb uit te druk, en vervang dan die waarde van die hoek φ. Ons kry:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Vir die oppervlakte van 'n koniese oppervlak het ons 'n redelik kompakte formule verkry. Die waarde van Sb is gelyk aan die produk van drie faktore: pi, die radius van die figuur en sy generatrix.
Dan sal die oppervlakte van die hele oppervlak van die figuur gelyk wees aan die som van Sb en So (sirkulêr basisoppervlakte). Ons kry die formule:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Bou 'n sweep van 'n keël op papier
Om hierdie taak te voltooi het jy 'n stuk papier, 'n potlood, 'n gradeboog, 'n liniaal en 'n passer nodig.
Kom ons teken eerstens 'n reghoekige driehoek met sye 3 cm, 4 cm en 5 cm. Die rotasie daarvan om die been van 3 cm sal die gewenste keël gee. Die figuur het r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Om 'n sweep te bou sal begin deur 'n sirkel met radius r met 'n kompas te teken. Sy lengte sal gelyk wees aan 6pi cm. Nou langs dit sal ons nog 'n sirkel teken, maar met 'n radius g. Die lengte sal ooreenstem met 10pi cm. Nou moet ons 'n sirkelvormige sektor van 'n groot sirkel afsny. Sy hoek φ is:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Nou sit ons hierdie hoek opsy met 'n gradeboog op 'n sirkel met radius g en teken twee radiusse wat die sirkelsektor sal beperk.
SoOns het dus 'n ontwikkeling van die keël gebou met die gespesifiseerde parameters van radius, hoogte en generatrix.
'n Voorbeeld van die oplossing van 'n meetkundige probleem
Gegewe 'n ronde reguit keël. Dit is bekend dat die hoek van sy laterale sweep 120o is. Dit is nodig om die radius en generatrix van hierdie figuur te vind, as dit bekend is dat die hoogte h van die keël 10 cm is.
Die taak is nie moeilik as ons onthou dat 'n ronde keël 'n rotasiefiguur van 'n reghoekige driehoek is nie. Uit hierdie driehoek volg 'n ondubbelsinnige verband tussen hoogte, radius en generatrix. Kom ons skryf die ooreenstemmende formule:
g2=h2+ r2.
Die tweede uitdrukking om te gebruik wanneer jy oplos, is die formule vir die hoek φ:
φ=2pir/g.
Ons het dus twee vergelykings wat twee onbekende hoeveelhede (r en g) in verband bring.
Druk g uit die tweede formule en vervang die resultaat in die eerste, ons kry:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Hoek φ=120o in radiale is 2pi/3. Ons vervang hierdie waarde, ons kry die finale formules vir r en g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Dit bly om die hoogtewaarde te vervang en die antwoord op die probleemvraag te kry: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
