Polyhedra neem nie net 'n prominente plek in meetkunde in nie, maar kom ook voor in die daaglikse lewe van elke persoon. Om nie eers te praat van kunsmatig geskepte huishoudelike items in die vorm van verskeie veelhoeke nie, wat begin met 'n vuurhoutjiedosie en eindig met argitektoniese elemente, kristalle in die vorm van 'n kubus (sout), prisma (kristal), piramide (scheeliet), oktaëder (diamant), ens. e.
Die konsep van 'n veelvlak, tipes veelvlakke in meetkunde
Meetkunde as 'n wetenskap bevat 'n gedeelte van stereometrie wat die kenmerke en eienskappe van driedimensionele figure bestudeer. Geometriese liggame, waarvan die sye in driedimensionele ruimte deur beperkte vlakke (vlakke) gevorm word, word "veelvlakke" genoem. Tipes veelvlakke sluit meer as 'n dosyn verteenwoordigers in, wat verskil in die aantal en vorm van gesigte.
Alle veelvlakke het egter algemene eienskappe:
- Hulle het almal 3 noodsaaklike komponente: gesig(oppervlak van 'n veelhoek), hoekpunt (hoeke gevorm by die aansluiting van vlakke), rand (kant van 'n figuur of 'n segment gevorm by die aansluiting van twee vlakke).
- Elke veelhoekrand verbind twee en slegs twee vlakke wat langs mekaar is.
- Konveksiteit beteken dat die liggaam heeltemal geleë is net aan die een kant van die vlak waarop een van die gesigte lê. Die reël geld vir alle vlakke van die veelvlak. Sulke meetkundige figure in stereometrie word konvekse veelvlakke genoem. Die uitsondering is stervormige veelvlakke, wat afgeleides van gereelde veelvlakke geometriese vaste stowwe is.
Polyhedra kan voorwaardelik verdeel word in:
- Tipes konvekse veelvlakke, bestaande uit die volgende klasse: gewone of klassiek (prisma, piramide, parallelepiped), reëlmatige (ook genoem Platoniese vastestowwe), semi-reëlmatige (tweede naam - Archimediese vastestowwe).
- Nie-konvekse veelvlakke (stervormig).
Prism en sy eienskappe
Stereometrie as 'n tak van meetkunde bestudeer die eienskappe van driedimensionele figure, tipes veelvlakke ('n prisma is een van hulle). 'n Prisma is 'n geometriese liggaam wat noodwendig twee absoluut identiese vlakke het (dit word ook basisse genoem) wat in parallelle vlakke lê, en die n-de aantal syvlakke in die vorm van parallelogramme. Op sy beurt het die prisma ook verskeie variëteite, insluitend sulke tipes veelvlakke soos:
- Parallelpiped - gevorm as die basis 'n parallelogram is -veelhoek met 2 pare gelyke teenoorstaande hoeke en 2 pare kongruente teenoorstaande sye.
- 'n Reguit prisma het rande loodreg op die basis.
- Gekantelde prisma word gekenmerk deur die teenwoordigheid van nie-regte hoeke (anders as 90) tussen die vlakke en die basis.
- 'n Gereelde prisma word gekenmerk deur basisse in die vorm van 'n reëlmatige veelhoek met gelyke syvlakke.
Basiese eienskappe van 'n prisma:
- Kongruente basisse.
- Alle kante van die prisma is gelyk en parallel aan mekaar.
- Alle syvlakke is parallelogramvormig.
Piramid
Piramide is 'n geometriese liggaam, wat bestaan uit een basis en n-de aantal driehoekige vlakke, verbind op een punt - die bokant. Daar moet kennis geneem word dat as die syvlakke van die piramide noodwendig deur driehoeke voorgestel word, dan kan die basis óf 'n driehoekige veelhoek, óf 'n vierhoek, óf 'n vyfhoek, ensovoorts ad infinitum wees. In hierdie geval sal die naam van die piramide ooreenstem met die veelhoek by die basis. Byvoorbeeld, as 'n driehoek aan die basis van 'n piramide lê, is dit 'n driehoekige piramide, 'n vierhoek is 'n vierhoek, ens.
Piramides is keëlagtige veelvlakke. Die tipes veelvlakke van hierdie groep, benewens dié wat hierbo gelys is, sluit ook die volgende verteenwoordigers in:
- 'n Gereelde piramide het 'n gereelde veelhoek by sy basis, en sy hoogte word na die middel geprojekteer'n sirkel wat in die basis ingeskryf is of daaromheen omskryf is.
- 'n Reghoekige piramide word gevorm wanneer een van die syrande teen 'n regte hoek met die basis sny. In hierdie geval is dit ook billik om hierdie rand die hoogte van die piramide te noem.
Piramide-eienskappe:
- As al die syrande van die piramide kongruent is (van dieselfde hoogte), dan sny hulle almal teen dieselfde hoek met die basis, en om die basis kan jy 'n sirkel teken met 'n middelpunt wat saamval met die projeksie van die bokant van die piramide.
- As die basis van die piramide 'n reëlmatige veelhoek is, dan is alle syrande kongruent, en die vlakke is gelykbenige driehoeke.
Gereelde veelvlak: tipes en eienskappe van veelvlakke
In stereometrie word 'n spesiale plek ingeneem deur geometriese liggame met absoluut gelyke vlakke, aan die hoekpunte waarvan dieselfde aantal rande verbind is. Hierdie vastestowwe word Platoniese vastestowwe, of gereelde veelvlakke, genoem. Tipes veelvlakke met sulke eienskappe het net vyf vorms:
- Tetraëder.
- Hexahedron.
- Octahedron.
- Dodecahedron.
- Icosahedron.
Gereelde veelvlakke het hul naam te danke aan die antieke Griekse filosoof Plato, wat hierdie meetkundige liggame in sy geskrifte beskryf en met die natuurlike elemente verbind het: aarde, water, vuur, lug. Die vyfde figuur is bekroon met die ooreenkoms met die struktuur van die heelal. Na sy mening lyk die atome van natuurlike elemente in vorm soos die tipes gereelde veelvlakke. As gevolg van sy mees opwindende eiendom -simmetrie, was hierdie geometriese liggame van groot belang nie net vir antieke wiskundiges en filosowe nie, maar ook vir argitekte, kunstenaars en beeldhouers van alle tye. Die teenwoordigheid van slegs 5 tipes veelvlakke met absolute simmetrie is as 'n fundamentele ontdekking beskou, hulle is selfs met 'n verband met die goddelike beginsel toegeken.
Heksaëder en sy eienskappe
In die vorm van 'n seshoek het Plato se opvolgers 'n ooreenkoms met die struktuur van die atome van die aarde aanvaar. Natuurlik is hierdie hipotese tans heeltemal weerlê, wat egter nie verhoed dat die figure die gedagtes van bekende figure met hul estetika in die moderne tyd lok nie.
In meetkunde word 'n heksaëder, ook bekend as 'n kubus, beskou as 'n spesiale geval van 'n parallelepiped, wat op sy beurt 'n soort prisma is. Gevolglik hou die eienskappe van die kubus verband met die eienskappe van die prisma, met die enigste verskil dat al die vlakke en hoeke van die kubus gelyk is aan mekaar. Die volgende eiendomme volg hieruit:
- Alle kante van die kubus is kongruent en lê in parallelle vlakke ten opsigte van mekaar.
- Alle vlakke is kongruente vierkante (daar is altesaam 6 in 'n kubus), waarvan enigeen as 'n basis geneem kan word.
- Alle koppelvlakhoeke is 90.
- 'n Gelyke aantal rande kom uit elke hoekpunt, naamlik 3.
- Die kubus het 9 simmetrie-asse, wat almal sny by die snypunt van die hoeklyne van die heksaëder, wat die middelpunt van simmetrie genoem word.
Tetraëder
'n Tetraëder is 'n tetraëder met gelyke vlakke in die vorm van driehoeke, waarvan elke hoekpunteis die aansluitingspunt van drie vlakke.
Eienskappe van gereelde tetraëder:
- Alle vlakke van 'n tetraëder is gelyksydige driehoeke, wat beteken dat alle vlakke van 'n tetraëder kongruent is.
- Aangesien die basis deur 'n reëlmatige meetkundige figuur voorgestel word, dit wil sê, dit het gelyke sye, konvergeer die vlakke van die tetraëder teen dieselfde hoek, dit wil sê, alle hoeke is gelyk.
- Die som van plat hoeke by elk van die hoekpunte is 180, aangesien alle hoeke gelyk is, dan is enige hoek van 'n reëlmatige tetraëder 60.
- Elkeen van die hoekpunte word geprojekteer na die snypunt van die hoogtes van die teenoorgestelde (ortosentrum) vlak.
Die oktaëder en sy eienskappe
Om die tipes gereelde veelvlakke te beskryf, kan 'n mens nie nalaat om so 'n voorwerp soos 'n oktaëder op te let, wat visueel voorgestel kan word as twee vierhoekige reëlmatige piramides wat deur basisse aanmekaar vasgegom is nie.
Eienskappe van die oktaëder:
- Die naam van 'n geometriese liggaam dui die aantal vlakke aan. Die oktaëder bestaan uit 8 kongruente gelyksydige driehoeke, in elk van die hoekpunte waarvan 'n gelyke aantal vlakke konvergeer, naamlik 4.
- Aangesien al die vlakke van 'n oktaëder gelyk is, is sy raakvlakhoeke ook gelyk, wat elk gelyk is aan 60, en die som van die vlakhoeke van enige van die hoekpunte is dus 240.
Dodecahedron
As ons ons voorstel dat al die vlakke van 'n geometriese liggaam 'n gereelde vyfhoek is, dan kry ons 'n dodekaëder -'n syfer van 12 veelhoeke.
Eienskappe van die dodekaëder:
- Drie vlakke sny by elke hoekpunt.
- Alle vlakke is gelyk en het dieselfde randlengte en gelyke oppervlakte.
- Die dodekaëder het 15 asse en vlakke van simmetrie, en enige van hulle gaan deur die hoekpunt van die gesig en die middel van die teenoorgestelde rand.
Icosahedron
Nie minder interessant as die dodekaëder nie, die figuur van die ikosaëder is 'n driedimensionele geometriese liggaam met 20 gelyke vlakke. Onder die eienskappe van 'n gereelde twintig-hedron kan die volgende opgemerk word:
- Alle vlakke van die ikosaëder is gelykbenige driehoeke.
- Vyf vlakke konvergeer by elke hoekpunt van die veelvlak, en die som van die aangrensende hoeke van die hoekpunt is 300.
- Die ikosaëder, soos die dodekaëder, het 15 asse en vlakke van simmetrie wat deur die middelpunte van teenoorgestelde vlakke gaan.
Semi-reëlmatige veelhoeke
Behalwe Platoniese vastestowwe, sluit die groep konvekse veelvlakke ook Archimediese vastestowwe in, wat afgekapte reëlmatige veelvlakke is. Die tipes veelvlakke van hierdie groep het die volgende eienskappe:
- Meetkundige liggame het paarsgewys gelyke vlakke van verskeie tipes, byvoorbeeld, 'n afgekapte tetraëder het 8 vlakke, soos 'n gewone tetraëder, maar in die geval van 'n Archimediese vaste stof, sal 4 vlakke driehoekig wees en 4 sal seskantig wees.
- Alle hoeke van een hoekpunt is kongruent.
Sterveelvlak
Verteenwoordigers van nie-volumetriese tipes geometriese liggame is stervormige veelvlakke waarvan die gesigte mekaar sny. Hulle kan gevorm word deur twee gereelde 3D vaste stowwe saam te voeg of deur hul vlakke uit te brei.
Dus, sulke stervormige veelvlakke staan bekend as: stervormige vorms van die oktaëder, dodekaëder, ikosaëder, kubustaëder, ikosododekaëder.
