Fourier-transformasie is 'n transformasie wat die funksies van een of ander werklike veranderlike vergelyk. Hierdie operasie word uitgevoer elke keer as ons verskillende klanke waarneem. Die oor doen 'n outomatiese "berekening", wat ons bewussyn slegs in staat is om uit te voer nadat ons die ooreenstemmende afdeling van hoër wiskunde bestudeer het. Die menslike gehoororgaan bou 'n transformasie, as gevolg waarvan klank (ossillerende beweging van voorwaardelike deeltjies in 'n elastiese medium wat in 'n golfvorm voortplant in 'n vaste, vloeibare of gasvormige medium) in die vorm van 'n spektrum van opeenvolgende waardes voorsien word. van die volumevlak van tone van verskillende hoogtes. Daarna verander die brein hierdie inligting in 'n klank wat vir almal bekend is.
Wiskundige Fourier-transformasie
Transformasie van klankgolwe of ander ossillatoriese prosesse (van ligbestraling en seegety tot siklusse van ster- of sonaktiwiteit) kan ook met behulp van wiskundige metodes uitgevoer word. Dus, deur hierdie tegnieke te gebruik, is dit moontlik om funksies te ontbind deur ossillatoriese prosesse voor te stel as 'n stel sinusvormige komponente, dit wil sê golwende kurwes watgaan van laag na hoog, dan terug na laag, soos 'n seegolf. Fourier-transformasie - 'n transformasie waarvan die funksie die fase of amplitude van elke sinusoïed beskryf wat ooreenstem met 'n sekere frekwensie. Die fase is die beginpunt van die kromme, en die amplitude is sy hoogte.
Die Fourier-transform (voorbeelde word in die foto getoon) is 'n baie kragtige instrument wat in verskeie velde van wetenskap gebruik word. In sommige gevalle word dit gebruik as 'n manier om taamlik komplekse vergelykings op te los wat dinamiese prosesse beskryf wat onder die invloed van lig, termiese of elektriese energie plaasvind. In ander gevalle laat dit jou toe om die gereelde komponente in komplekse ossillatoriese seine te bepaal, waardeur jy verskeie eksperimentele waarnemings in chemie, medisyne en sterrekunde korrek kan interpreteer.
Historiese agtergrond
Die eerste persoon wat hierdie metode toegepas het, was die Franse wiskundige Jean Baptiste Fourier. Die transformasie, wat later na hom genoem is, is oorspronklik gebruik om die meganisme van hittegeleiding te beskryf. Fourier het sy hele volwasse lewe daaraan bestee om die eienskappe van hitte te bestudeer. Hy het 'n groot bydrae gelewer tot die wiskundige teorie van die bepaling van die wortels van algebraïese vergelykings. Fourier was 'n professor in analise aan die Polytechnic School, sekretaris van die Instituut vir Egiptologie, was in die keiserlike diens, waar hy homself onderskei het tydens die bou van die pad na Turyn (onder sy leiding, meer as 80 duisend vierkante kilometer van malariamoerasse). Al hierdie kragtige aktiwiteit het die wetenskaplike egter nie verhinder om wiskundige analise te doen nie. In 1802 het hy 'n vergelyking afgelei wat die voortplanting van hitte in vaste stowwe beskryf. In 1807 het die wetenskaplike 'n metode ontdek om hierdie vergelyking op te los, wat die "Fourier-transformasie" genoem is.
Termiese geleidingsvermoë-analise
Die wetenskaplike het 'n wiskundige metode toegepas om die meganisme van hittegeleiding te beskryf. 'n Gerieflike voorbeeld, waarin daar geen probleme met berekening is nie, is die voortplanting van termiese energie deur 'n ysterring wat in een deel in 'n vuur gedompel is. Om eksperimente uit te voer, het Fourier 'n deel van hierdie ring rooiwarm verhit en dit in fyn sand begrawe. Daarna het hy temperatuurmetings aan die oorkant daarvan geneem. Aanvanklik is die verspreiding van hitte onreëlmatig: 'n deel van die ring is koud en die ander is warm; 'n skerp temperatuurgradiënt kan tussen hierdie sones waargeneem word. In die proses van hittevoortplanting oor die hele oppervlak van die metaal word dit egter meer eenvormig. So, binnekort neem hierdie proses die vorm van 'n sinusoïed aan. Aanvanklik neem die grafiek glad toe en neem ook glad af, presies volgens die veranderingswette van die cosinus- of sinusfunksie. Die golf plat geleidelik af en gevolglik word die temperatuur dieselfde op die hele oppervlak van die ring.
Die skrywer van hierdie metode het voorgestel dat die aanvanklike onreëlmatige verspreiding in 'n aantal elementêre sinusoïede ontbind kan word. Elkeen van hulle sal sy eie fase (beginposisie) en sy eie temperatuur hêmaksimum. Verder verander elke so 'n komponent van 'n minimum na 'n maksimum en terug op 'n volledige omwenteling om die ring 'n heelgetal kere. 'n Komponent met een periode is die fundamentele harmoniese genoem, en 'n waarde met twee of meer periodes is die tweede genoem, ensovoorts. Dus, die wiskundige funksie wat die temperatuurmaksimum, fase of posisie beskryf, word die Fourier-transform van die verspreidingsfunksie genoem. Die wetenskaplike het 'n enkele komponent, wat moeilik is om wiskundig te beskryf, gereduseer tot 'n maklik-om-te gebruik hulpmiddel - die cosinus- en sinusreeks, wat opsom om die oorspronklike verspreiding te gee.
Die kern van die ontleding
Deur hierdie analise toe te pas op die transformasie van die voortplanting van hitte deur 'n soliede voorwerp wat 'n ringvormige vorm het, het die wiskundige geredeneer dat die verhoging van die periodes van die sinusvormige komponent tot die vinnige verval daarvan sou lei. Dit word duidelik gesien in die fundamentele en tweede harmonieke. In laasgenoemde bereik die temperatuur die maksimum en minimum waardes twee keer in een pas, en in eersgenoemde slegs een keer. Dit blyk dat die afstand wat deur hitte in die tweede harmoniese gedek word, die helfte van die in die fundamentele sal wees. Daarbenewens sal die gradiënt in die tweede een ook twee keer so steil wees as in die eerste een. Daarom, aangesien die meer intense hittevloei 'n afstand twee keer so kort aflê, sal hierdie harmoniese vier keer vinniger verval as die fundamentele as 'n funksie van tyd. In die toekoms sal hierdie proses selfs vinniger wees. Die wiskundige het geglo dat hierdie metode jou toelaat om die proses van die aanvanklike temperatuurverspreiding oor tyd te bereken.
Uitdaging aan tydgenote
Die Fourier-transformalgoritme het destyds die teoretiese grondslae van wiskunde uitgedaag. Aan die begin van die negentiende eeu het die meeste prominente wetenskaplikes, insluitend Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre en Biot, nie sy stelling aanvaar dat die aanvanklike temperatuurverspreiding in komponente in die vorm van 'n fundamentele harmoniese en hoër frekwensies ontbind word nie. Die Akademie vir Wetenskappe kon egter nie die resultate wat die wiskundige verkry het ignoreer nie, en het hom 'n prys toegeken vir die teorie van die wette van hittegeleiding, sowel as om dit met fisiese eksperimente te vergelyk. In Fourier se benadering was die vernaamste beswaar die feit dat die diskontinue funksie verteenwoordig word deur die som van verskeie sinusvormige funksies wat kontinu is. Hulle beskryf immers geskeurde reguit en geboë lyne. Die tydgenote van die wetenskaplike het nooit 'n soortgelyke situasie teëgekom nie, toe diskontinue funksies beskryf is deur 'n kombinasie van kontinue, soos kwadraties, lineêr, sinusvormig of eksponensieel. In die geval dat die wiskundige reg was in sy stellings, dan moet die som van 'n oneindige reeks van 'n trigonometriese funksie tot 'n presiese stapsgewyse een verminder word. So 'n stelling het destyds absurd gelyk. Ten spyte van twyfel, het sommige navorsers (bv. Claude Navier, Sophie Germain) egter die omvang van navorsing uitgebrei en hulle verder as die ontleding van die verspreiding van termiese energie geneem. Intussen het wiskundiges voortgegaan om te worstel met die vraag of die som van verskeie sinusvormige funksies gereduseer kan word tot 'n presiese voorstelling van 'n diskontinue een.
200 jaar oudgeskiedenis
Hierdie teorie het oor twee eeue ontwikkel, vandag het dit uiteindelik gevorm. Met sy hulp word ruimtelike of tydelike funksies verdeel in sinusvormige komponente, wat hul eie frekwensie, fase en amplitude het. Hierdie transformasie word deur twee verskillende wiskundige metodes verkry. Die eerste daarvan word gebruik wanneer die oorspronklike funksie aaneenlopend is, en die tweede - wanneer dit verteenwoordig word deur 'n stel diskrete individuele veranderinge. As die uitdrukking verkry word uit waardes wat deur diskrete intervalle gedefinieer word, kan dit in verskeie sinusvormige uitdrukkings met diskrete frekwensies verdeel word - van die laagste en dan twee keer, drie keer en so aan hoër as die hoof een. So 'n som word die Fourier-reeks genoem. As die aanvanklike uitdrukking 'n waarde vir elke reële getal gegee word, kan dit in verskeie sinusvormige van alle moontlike frekwensies ontbind word. Dit word algemeen die Fourier-integraal genoem, en die oplossing impliseer integrale transformasies van die funksie. Ongeag hoe die omskakeling verkry word, moet twee getalle vir elke frekwensie gespesifiseer word: amplitude en frekwensie. Hierdie waardes word uitgedruk as 'n enkele komplekse getal. Die teorie van uitdrukkings van komplekse veranderlikes, tesame met die Fourier-transform, het dit moontlik gemaak om berekeninge uit te voer in die ontwerp van verskeie elektriese stroombane, die ontleding van meganiese vibrasies, die studie van die meganisme van golfvoortplanting, en meer.
Fourier Transform Today
Vandag word die bestudering van hierdie proses hoofsaaklik verminder tot effektief vindoorgangsmetodes van 'n funksie na sy getransformeerde vorm en omgekeerd. Hierdie oplossing word die direkte en omgekeerde Fourier-transform genoem. Wat beteken dit? Om die integraal te bepaal en 'n direkte Fourier-transform te produseer, kan 'n mens wiskundige metodes of analitiese metodes gebruik. Ten spyte van die feit dat sekere probleme ontstaan wanneer dit in die praktyk gebruik word, is die meeste integrale reeds gevind en in wiskundige naslaanboeke opgeneem. Numeriese metodes kan gebruik word om uitdrukkings te bereken waarvan die vorm op eksperimentele data gebaseer is, of funksies waarvan die integrale nie in tabelle beskikbaar is nie en moeilik is om in analitiese vorm aan te bied.
Voor die koms van rekenaars was die berekeninge van sulke transformasies baie vervelig, dit het die handuitvoering van 'n groot aantal rekenkundige bewerkings vereis, wat afhang van die aantal punte wat die golffunksie beskryf. Om berekeninge te vergemaklik, is daar vandag spesiale programme wat dit moontlik gemaak het om nuwe analitiese metodes te implementeer. So, in 1965, het James Cooley en John Tukey sagteware geskep wat bekend geword het as die "Fast Fourier Transform". Dit laat jou toe om tyd te bespaar vir berekeninge deur die aantal vermenigvuldiging in die ontleding van die kromme te verminder. Die vinnige Fourier-transformmetode is gebaseer op die verdeling van die kromme in 'n groot aantal eenvormige steekproefwaardes. Gevolglik word die aantal vermenigvuldigings gehalveer met dieselfde afname in die aantal punte.
Toepassing van die Fourier-transform
Ditdie proses word in verskeie velde van die wetenskap gebruik: in get alteorie, fisika, seinverwerking, kombinatorika, waarskynlikheidsteorie, kriptografie, statistiek, oseanologie, optika, akoestiek, meetkunde en ander. Die ryk moontlikhede van die toepassing daarvan is gebaseer op 'n aantal nuttige kenmerke, wat "Fourier-transformasie-eienskappe" genoem word. Oorweeg hulle.
1. Die funksie transformasie is 'n lineêre operateur en, met die toepaslike normalisering, is eenheid. Hierdie eienskap staan bekend as Parseval se stelling, of in die algemeen die Plancherel-stelling, of Pontryagin se dualisme.
2. Die transformasie is omkeerbaar. Boonop het die omgekeerde resultaat amper dieselfde vorm as in die direkte oplossing.
3. Sinusvormige basisuitdrukkings is eie gedifferensieerde funksies. Dit beteken dat so 'n voorstelling lineêre vergelykings met 'n konstante koëffisiënt in gewone algebraïese verander.
4. Volgens die "konvolusie"-stelling verander hierdie proses 'n komplekse bewerking in 'n elementêre vermenigvuldiging.
5. Die diskrete Fourier-transformasie kan vinnig op 'n rekenaar bereken word deur die "vinnige" metode te gebruik.
Variëteite van die Fourier-transform
1. Meestal word hierdie term gebruik om 'n deurlopende transformasie aan te dui wat enige vierkantintegreerbare uitdrukking verskaf as 'n som van komplekse eksponensiële uitdrukkings met spesifieke hoekfrekwensies en amplitudes. Hierdie spesie het verskeie verskillende vorme, wat kanverskil deur konstante koëffisiënte. Die deurlopende metode sluit 'n omskakelingstabel in, wat in wiskundige naslaanboeke gevind kan word. 'n Veralgemeende geval is 'n fraksionele transformasie, waardeur die gegewe proses tot die vereiste werklike krag verhef kan word.
2. Die kontinue modus is 'n veralgemening van die vroeë tegniek van Fourier-reekse wat gedefinieer is vir verskeie periodieke funksies of uitdrukkings wat in 'n beperkte gebied bestaan en dit as reekse sinusoïede voorstel.
3. Diskrete Fourier-transformasie. Hierdie metode word in rekenaartegnologie gebruik vir wetenskaplike berekeninge en vir digitale seinverwerking. Om hierdie tipe berekening uit te voer, is dit nodig om funksies te hê wat individuele punte, periodieke of begrensde areas op 'n diskrete versameling definieer in plaas van kontinue Fourier-integrale. Die seintransformasie in hierdie geval word voorgestel as die som van sinusoïede. Terselfdertyd maak die gebruik van die "vinnige" metode dit moontlik om diskrete oplossings vir enige praktiese probleme toe te pas.
4. Die venstervormige Fourier-transform is 'n veralgemeende vorm van die klassieke metode. In teenstelling met die standaardoplossing, wanneer die seinspektrum gebruik word, wat in die volle omvang van die bestaan van 'n gegewe veranderlike geneem word, is hier slegs die plaaslike frekwensieverspreiding van besondere belang, mits die oorspronklike veranderlike (tyd) behoue bly..
5. Tweedimensionele Fourier-transformasie. Hierdie metode word gebruik om met tweedimensionele dataskikkings te werk. In hierdie geval word die transformasie eers in een rigting uitgevoer, en dan inander.
Gevolgtrekking
Vandag is die Fourier-metode stewig verskans in verskeie velde van die wetenskap. Byvoorbeeld, in 1962 is die DNS-dubbelheliksvorm ontdek met behulp van Fourier-analise gekombineer met X-straaldiffraksie. Laasgenoemde was gefokus op kristalle van DNA-vesels, gevolglik is die beeld wat verkry is deur diffraksie van straling op film aangeteken. Hierdie prent het inligting gegee oor die waarde van die amplitude wanneer die Fourier-transform na 'n gegewe kristalstruktuur gebruik word. Fasedata is verkry deur die diffraksiekaart van DNA te vergelyk met kaarte verkry uit die ontleding van soortgelyke chemiese strukture. As gevolg hiervan het bioloë die kristalstruktuur herstel - die oorspronklike funksie.
Fourier-transformasies speel 'n groot rol in die studie van ruimte-, halfgeleier- en plasmafisika, mikrogolfakoestiek, oseanografie, radar, seismologie en mediese opnames.
