Fourier-reeks is 'n voorstelling van 'n arbitrêr geneem funksie met 'n spesifieke tydperk as 'n reeks. In algemene terme word hierdie oplossing die ontbinding van 'n element in 'n ortogonale basis genoem. Die uitbreiding van funksies in 'n Fourier-reeks is 'n redelike kragtige hulpmiddel om verskeie probleme op te los as gevolg van die eienskappe van hierdie transformasie wanneer 'n uitdrukking in 'n argument en konvolusie geïntegreer, gedifferensieer word, sowel as die verskuiwing van 'n uitdrukking in 'n argument en konvolusie.
'n Persoon wat nie vertroud is met hoër wiskunde, sowel as met die werke van die Franse wetenskaplike Fourier nie, sal heel waarskynlik nie verstaan wat hierdie "rye" is en waarvoor dit is nie. Intussen het hierdie transformasie nogal dig in ons lewens geword. Dit word nie net deur wiskundiges gebruik nie, maar ook deur fisici, chemici, dokters, sterrekundiges, seismoloë, oseanograwe en vele ander. Kom ons kyk van naderby na die werke van die groot Franse wetenskaplike, wat 'n ontdekking voor sy tyd gemaak het.
Man and the Fourier Transform
Fourier-reekse is een van die metodes (saam met ontleding en ander) van die Fourier-transform. Hierdie proses vind plaas elke keer as 'n persoon 'n geluid hoor. Ons oor skakel die klank outomaties omgolwe. Die ossillerende bewegings van elementêre deeltjies in 'n elastiese medium word ontbind in rye (langs die spektrum) van opeenvolgende waardes van die volumevlak vir tone van verskillende hoogtes. Vervolgens verander die brein hierdie data in klanke wat vir ons bekend is. Dit alles gebeur bykomend tot ons begeerte of bewussyn, vanself, maar om hierdie prosesse te verstaan, sal dit etlike jare neem om hoër wiskunde te studeer.
Meer oor die Fourier Transform
Fourier-transformasie kan deur analitiese, numeriese en ander metodes uitgevoer word. Fourier-reekse verwys na die numeriese manier om enige ossillatoriese prosesse te ontbind - van seegetye en liggolwe tot siklusse van son- (en ander astronomiese voorwerpe) aktiwiteit. Deur hierdie wiskundige tegnieke te gebruik, is dit moontlik om funksies te ontleed, wat enige ossillatoriese prosesse voorstel as 'n reeks sinusvormige komponente wat van minimum na maksimum gaan en omgekeerd. Die Fourier-transform is 'n funksie wat die fase en amplitude van sinusoïede beskryf wat ooreenstem met 'n spesifieke frekwensie. Hierdie proses kan gebruik word om baie komplekse vergelykings op te los wat dinamiese prosesse beskryf wat onder die invloed van termiese, lig of elektriese energie plaasvind. Fourier-reekse maak dit ook moontlik om die konstante komponente in komplekse ossillatoriese seine te isoleer, wat dit moontlik gemaak het om die verkrygde eksperimentele waarnemings in medisyne, chemie en sterrekunde korrek te interpreteer.
Historiese agtergrond
Stigtersvader van hierdie teorieJean Baptiste Joseph Fourier is 'n Franse wiskundige. Hierdie transformasie is daarna na hom vernoem. Aanvanklik het die wetenskaplike sy metode toegepas om die meganismes van hittegeleiding – die verspreiding van hitte in vaste stowwe – te bestudeer en te verduidelik. Fourier het voorgestel dat die aanvanklike onreëlmatige verspreiding van 'n hittegolf in die eenvoudigste sinusoïede ontbind kan word, wat elkeen sy eie temperatuur minimum en maksimum sal hê, sowel as sy eie fase. In hierdie geval sal elke sodanige komponent gemeet word van minimum tot maksimum en omgekeerd. Die wiskundige funksie wat die boonste en onderste pieke van die kromme beskryf, sowel as die fase van elk van die harmonieke, word die Fourier-transformasie van die temperatuurverspreidingsuitdrukking genoem. Die skrywer van die teorie het die algemene verspreidingsfunksie, wat moeilik is om wiskundig te beskryf, gereduseer tot 'n baie maklik hanteerbare reeks periodieke cosinus- en sinusfunksies wat by die oorspronklike verspreiding optel.
Die beginsel van transformasie en die sienings van tydgenote
Die wetenskaplike se tydgenote - die voorste wiskundiges van die vroeë negentiende eeu - het nie hierdie teorie aanvaar nie. Die belangrikste beswaar was Fourier se bewering dat 'n diskontinue funksie wat 'n reguit lyn of 'n diskontinue kromme beskryf, voorgestel kan word as 'n som van sinusvormige uitdrukkings wat kontinu is. As 'n voorbeeld, oorweeg Heaviside se "stap": sy waarde is nul links van die gaping en een na regs. Hierdie funksie beskryf die afhanklikheid van die elektriese stroom van die tydsveranderlike wanneer die stroombaan gesluit is. Tydgenote van die teorie op daardie stadium het nog nooit so teëgekom nie'n situasie waar die diskontinue uitdrukking beskryf sal word deur 'n kombinasie van kontinue, gewone funksies, soos eksponensiaal, sinusvormig, lineêr of kwadraties.
Wat het Franse wiskundiges in Fourier-teorie verwar?
Immers, as die wiskundige reg was in sy stellings, en dan die oneindige trigonometriese Fourier-reeks opsom, kan jy 'n presiese voorstelling van die stap-uitdrukking kry, selfs al het dit baie soortgelyke stappe. Aan die begin van die negentiende eeu het so 'n stelling absurd gelyk. Maar ten spyte van al die twyfel, het baie wiskundiges die omvang van die studie van hierdie verskynsel uitgebrei en dit buite die bestek van studies van termiese geleiding geneem. Die meeste wetenskaplikes het egter aanhou kwel oor die vraag: "Kan die som van 'n sinusvormige reeks konvergeer na die presiese waarde van 'n diskontinue funksie?"
Konvergensie van Fourier-reeks: voorbeeld
Die kwessie van konvergensie word geopper wanneer dit nodig is om oneindige reekse getalle op te som. Om hierdie verskynsel te verstaan, oorweeg 'n klassieke voorbeeld. Kan jy ooit die muur bereik as elke opeenvolgende stap die helfte so groot is as die vorige een? Gestel jy is twee meter van die doelwit, die eerste tree bring jou nader aan die halfpadpunt, die volgende een na die driekwartmerk, en ná die vyfde sal jy amper 97 persent van die pad aflê. Maak egter nie saak hoeveel stappe jy neem nie, jy sal nie die beoogde doelwit in 'n streng wiskundige sin bereik nie. Deur numeriese berekeninge te gebruik, kan 'n mens bewys dat jy op die ou end so naby kan kom as wat jy wil.klein gespesifiseerde afstand. Hierdie bewys is gelykstaande aan om te demonstreer dat die somwaarde van een helfte, een-vierde, ens. na een sal neig.
Vraag van konvergensie: die wederkoms, of lord Kelvin se toestel
Hierdie vraag is herhaaldelik aan die einde van die negentiende eeu geopper, toe probeer is om Fourier-reekse te gebruik om die intensiteit van eb en vloed te voorspel. Op hierdie tydstip het Lord Kelvin 'n toestel uitgevind, wat 'n analoog rekenaartoestel is wat matrose van die militêre en handelsvloot toegelaat het om hierdie natuurlike verskynsel op te spoor. Hierdie meganisme het die stelle fases en amplitudes bepaal uit 'n tabel van getyhoogtes en hul ooreenstemmende tydmomente, noukeurig gemeet in 'n gegewe hawe gedurende die jaar. Elke parameter was 'n sinusvormige komponent van die getyhoogte-uitdrukking en was een van die gereelde komponente. Die resultate van die metings is in Lord Kelvin se sakrekenaar ingevoer, wat 'n kromme gesintetiseer het wat die hoogte van die water as 'n funksie van tyd vir die volgende jaar voorspel het. Baie gou is soortgelyke kurwes vir al die hawens van die wêreld opgestel.
En as die proses deur 'n diskontinue funksie verbreek word?
Destyds het dit voor die hand liggend gelyk dat 'n vloedgolfvoorspeller met 'n groot aantal telelemente 'n groot aantal fases en amplitudes kon bereken en sodoende meer akkurate voorspellings kon verskaf. Nietemin het dit geblyk dat hierdie reëlmatigheid nie waargeneem word in gevalle waar die gety-uitdrukking, wat volg niesintetiseer, het 'n skerp sprong bevat, dit wil sê, dit was diskontinu. In die geval dat data vanaf die tabel van tydmomente in die toestel ingevoer word, dan bereken dit verskeie Fourier-koëffisiënte. Die oorspronklike funksie word herstel danksy die sinusvormige komponente (volgens die koëffisiënte wat gevind is). Die verskil tussen die oorspronklike en herstelde uitdrukking kan op enige punt gemeet word. Wanneer herhaalde berekeninge en vergelykings uitgevoer word, kan gesien word dat die waarde van die grootste fout nie afneem nie. Hulle is egter gelokaliseer in die streek wat ooreenstem met die diskontinuïteitspunt, en neig na nul by enige ander punt. In 1899 is hierdie resultaat teoreties bevestig deur Joshua Willard Gibbs van Yale Universiteit.
Konvergensie van Fourier-reekse en die ontwikkeling van wiskunde in die algemeen
Fourier-analise is nie van toepassing op uitdrukkings wat 'n oneindige aantal sarsies in 'n sekere interval bevat nie. In die algemeen konvergeer Fourier-reekse, as die oorspronklike funksie die resultaat van 'n werklike fisiese meting is, altyd. Vrae oor die konvergensie van hierdie proses vir spesifieke klasse funksies het gelei tot die ontstaan van nuwe afdelings in wiskunde, byvoorbeeld die teorie van veralgemeende funksies. Dit word geassosieer met name soos L. Schwartz, J. Mikusinsky en J. Temple. Binne die raamwerk van hierdie teorie is 'n duidelike en presiese teoretiese basis geskep vir uitdrukkings soos die Dirac delta-funksie (dit beskryf 'n area van 'n enkele area gekonsentreer in 'n oneindig klein buurt van 'n punt) en die Heaviside stap”. Danksy hierdie werk het Fourier-reekse van toepassing geword opdie oplossing van vergelykings en probleme wat intuïtiewe konsepte behels: puntlading, puntmassa, magnetiese dipole, sowel as 'n gekonsentreerde las op 'n balk.
Fourier-metode
Fourier-reekse, in ooreenstemming met die beginsels van interferensie, begin met die ontbinding van komplekse vorms in eenvoudiger vorms. Byvoorbeeld, 'n verandering in hittevloei word verklaar deur die deurgang daarvan deur verskeie hindernisse gemaak van onreëlmatig gevormde hitte-isolerende materiaal of 'n verandering in die oppervlak van die aarde - 'n aardbewing, 'n verandering in die wentelbaan van 'n hemelliggaam - die invloed van planete. As 'n reël word soortgelyke vergelykings wat eenvoudige klassieke stelsels beskryf elementêr vir elke individuele golf opgelos. Fourier het gewys dat eenvoudige oplossings ook opgesom kan word om oplossings vir meer komplekse probleme te gee. In die taal van wiskunde is Fourier-reekse 'n tegniek om 'n uitdrukking voor te stel as 'n som van harmonieke - cosinus en sinusoïede. Daarom staan hierdie ontleding ook bekend as "harmoniese analise".
Fourier-reeks - die ideale tegniek voor die "rekenaarera"
Voor die skepping van rekenaartegnologie was die Fourier-tegniek die beste wapen in die arsenaal van wetenskaplikes wanneer hulle met die golfaard van ons wêreld gewerk het. Die Fourier-reeks in 'n komplekse vorm laat toe om nie net eenvoudige probleme op te los wat direk op die wette van Newton se meganika toegepas kan word nie, maar ook fundamentele vergelykings. Die meeste van die ontdekkings van die Newtoniaanse wetenskap in die negentiende eeu is slegs moontlik gemaak deur Fourier se tegniek.
Fourier-reeks vandag
Met die ontwikkeling van Fourier-transformrekenaarstot 'n heel nuwe vlak verhoog. Hierdie tegniek is stewig verskans in byna alle gebiede van wetenskap en tegnologie. 'n Voorbeeld is 'n digitale oudio- en videosein. Die verwesenliking daarvan het slegs moontlik geword danksy die teorie wat aan die begin van die negentiende eeu deur 'n Franse wiskundige ontwikkel is. So het die Fourier-reeks in 'n komplekse vorm dit moontlik gemaak om 'n deurbraak in die studie van die buitenste ruimte te maak. Daarbenewens het dit die studie van die fisika van halfgeleiermateriale en plasma, mikrogolfakoestiek, oseanografie, radar, seismologie beïnvloed.
Trigonometriese Fourier-reeks
In wiskunde is 'n Fourier-reeks 'n manier om arbitrêre komplekse funksies as 'n som van eenvoudigers voor te stel. In algemene gevalle kan die aantal sulke uitdrukkings oneindig wees. Boonop, hoe meer hul getal in die berekening in ag geneem word, hoe meer akkuraat is die finale resultaat. Meestal word die trigonometriese funksies van cosinus of sinus as die eenvoudigste gebruik. In hierdie geval word die Fourier-reeks trigonometries genoem, en die oplossing van sulke uitdrukkings word die uitbreiding van die harmoniese genoem. Hierdie metode speel 'n belangrike rol in wiskunde. In die eerste plek bied die trigonometriese reeks 'n middel vir die beeld, sowel as die studie van funksies, dit is die hoofapparaat van die teorie. Daarbenewens laat dit toe om 'n aantal probleme van wiskundige fisika op te los. Ten slotte, hierdie teorie het bygedra tot die ontwikkeling van wiskundige analise, het aanleiding gegee tot 'n aantal baie belangrike afdelings van wiskundige wetenskap (die teorie van integrale, die teorie van periodieke funksies). Boonop het dit as vertrekpunt gedien vir die ontwikkeling van die volgende teorieë: versamelings, funksiesreële veranderlike, funksionele analise, en het ook die grondslag gelê vir harmoniese analise.
