Driehoek is die eenvoudigste figuur wat op die vlak gesluit is, wat slegs uit drie onderling verbind segmente bestaan. In meetkundige probleme is dit dikwels nodig om die oppervlakte van hierdie figuur te bepaal. Wat moet jy hiervoor weet? In die artikel sal ons die vraag beantwoord hoe om die oppervlakte van 'n driehoek aan drie kante te vind.
Algemene formule
Elke student weet dat die oppervlakte van 'n driehoek bereken word as die produk van die lengte van enige van sy sye - a met die helfte van die hoogte - h, verlaag na die gekose sy. Hieronder is die ooreenstemmende formule: S=ah/2.
Hierdie uitdrukking kan gebruik word as ten minste twee sye en die waarde van die hoek tussen hulle bekend is. In hierdie geval is die hoogte h maklik om te bereken met behulp van trigonometriese funksies, soos die sinus. Maar nie almal weet hoe om die area aan drie kante van 'n driehoek te vind nie.
Heron's Formula
Hierdie formule is die antwoord op die vraag hoedrie sye vind die oppervlakte van die driehoek. Voordat ons dit neerskryf, kom ons dui die lengtes van die segmente van 'n arbitrêre figuur aan as a, b en c. Heron se formule word soos volg geskryf: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Waar p die halwe omtrek van die figuur is, dit wil sê: p=(a+b+c)/2.
Ondanks die oënskynlike omslagtigheid, is die bogenoemde uitdrukking vir die area S maklik om te onthou. Om dit te doen, moet jy eers die semi-omtrek van die driehoek bereken, dan aftrek daarvan met een lengte van die sy van die figuur, vermenigvuldig al die verskille verkry en die semi-omtrek self. Neem laastens die vierkantswortel van die produk.
Hierdie formule is vernoem na Reiger van Alexandrië, wat aan die begin van ons era geleef het. Die moderne geskiedenis glo dat dit hierdie filosoof was wat hierdie uitdrukking die eerste keer toegepas het om die ooreenstemmende berekeninge uit te voer. Hierdie formule word gepubliseer in sy Metrica, wat terugdateer na 60 nC. Let daarop dat sommige van die werke van Archimedes, wat twee eeue vroeër as Heron geleef het, tekens bevat dat die Griekse filosoof reeds die formule geken het. Daarbenewens het die antieke Sjinese ook geweet hoe om die oppervlakte van 'n driehoek te vind, met kennis van drie sye.
Dit is belangrik om daarop te let dat die probleem opgelos kan word sonder om te weet wat die bestaan van Heron se formule is. Om dit te doen, teken 'n paar hoogtes in die driehoek en gebruik die algemene formule van die vorige paragraaf en stel die toepaslike stelsel vergelykings saam.
Heron se uitdrukking kan gebruik word om die oppervlaktes van arbitrêre veelhoeke te bereken, nadat hulle in verdeel isdriehoeke en die berekening van die lengtes van die resulterende hoeklyne.
Voorbeeld van probleemoplossing
Om te weet hoe om die oppervlakte van 'n driehoek aan drie kante te vind, kom ons konsolideer ons kennis deur die volgende probleem op te los. Laat die sye van die figuur 5 cm, 4 cm en 3 cm wees. Vind die area.
Drie sye van 'n driehoek is bekend, so jy kan Heron se formule gebruik. Ons bereken die semi-omtrek en die nodige verskille, ons het:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Dan kry ons die area: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Die driehoek wat in die toestand van die probleem gegee word, is reghoekig, wat maklik is om na te gaan as jy die Pythagoras-stelling gebruik. Aangesien die oppervlakte van so 'n driehoek die helfte van die produk van die bene is, kry ons: S=43/2=6 cm2.
Die gevolglike waarde is dieselfde as vir Heron se formule, wat die geldigheid van laasgenoemde bevestig.
