Matrikse (tabelle met numeriese elemente) kan vir verskeie berekeninge gebruik word. Sommige van hulle is vermenigvuldiging met 'n getal, 'n vektor, 'n ander matriks, verskeie matrikse. Die produk is soms verkeerd. 'n Foutiewe resultaat is die gevolg van onkunde oor die reëls vir die uitvoering van berekeningsaksies. Kom ons vind uit hoe om vermenigvuldiging te doen.
Matriks en getal
Kom ons begin met die eenvoudigste ding - vermenigvuldig 'n tabel met getalle met 'n spesifieke waarde. Byvoorbeeld, ons het 'n matriks A met elemente aij (i is die rynommers en j is die kolomnommers) en die getal e. Die produk van die matriks deur die getal e sal die matriks B wees met die elemente bij, wat gevind word deur die formule:
bij=e × aij.
T. e. om die element b11 te kry, moet jy die element a11 neem en dit met die verlangde getal vermenigvuldig om b12 te kry dit word vereis om die produk van die element a12 en die getal e, ens.
te vind.
Kom ons los die probleem nommer 1 wat in die prent aangebied word, op. Om matriks B te kry, vermenigvuldig eenvoudig die elemente van A met 3:
- a11 × 3=18. Ons skryf hierdie waarde in matriks B op die plek waar kolom nr. 1 en ry nr. 1 sny.
- a21 × 3=15. Ons het element b21.
- a12 × 3=-6. Ons het die element b12 ontvang. Ons skryf dit in matriks B op die plek waar kolom 2 en ry 1 mekaar sny.
- a22 × 3=9. Hierdie resultaat is element b22.
- a13 × 3=12. Voer hierdie getal in die matriks in in die plek van die element b13.
- a23 × 3=-3. Die laaste nommer wat ontvang is, is element b23.
Ons het dus 'n reghoekige skikking met numeriese elemente gekry.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vektore en die voorwaarde vir die bestaan van 'n produk van matrikse
In wiskundige dissiplines is daar iets soos 'n "vektor". Hierdie term verwys na 'n geordende stel waardes van 'n1 tot 'n . Hulle word vektorruimtekoördinate genoem en word as 'n kolom geskryf. Daar is ook die term "getransponeerde vektor". Die komponente daarvan is as 'n tou gerangskik.
Vektore kan matrikse genoem word:
- kolomvektor is 'n matriks gebou uit een kolom;
- ryvektor is 'n matriks wat slegs een ry insluit.
Wanneer klaaroor matrikse van vermenigvuldigingsbewerkings is dit belangrik om te onthou dat daar 'n voorwaarde is vir die bestaan van 'n produk. Die berekeningsaksie A × B kan slegs uitgevoer word wanneer die aantal kolomme in tabel A gelyk is aan die aantal rye in tabel B. Die resulterende matriks wat uit die berekening voortspruit, het altyd die aantal rye in tabel A en die aantal kolomme in tabel B.
Wanneer vermenigvuldig word, word dit nie aanbeveel om matrikse (vermenigvuldigers) te herrangskik nie. Hul produk stem gewoonlik nie ooreen met die kommutatiewe (verplasings) wet van vermenigvuldiging nie, dit wil sê die resultaat van die bewerking A × B is nie gelyk aan die resultaat van die bewerking B × A nie. Hierdie kenmerk word die nie-kommutatiwiteit van die produk van genoem. matrikse. In sommige gevalle is die resultaat van die vermenigvuldiging A × B gelyk aan die resultaat van die vermenigvuldiging B × A, dit wil sê die produk is kommutatief. Matrikse waarvoor die gelykheid A × B=B × A geld, word permutasiematrikse genoem. Sien voorbeelde van sulke tabelle hieronder.
Vermenigvuldiging met 'n kolomvektor
Wanneer 'n matriks met 'n kolomvektor vermenigvuldig word, moet ons die voorwaarde vir die bestaan van die produk in ag neem. Die aantal kolomme (n) in die tabel moet ooreenstem met die aantal koördinate waaruit die vektor bestaan. Die resultaat van die berekening is die getransformeerde vektor. Die aantal koördinate daarvan is gelyk aan die aantal lyne (m) vanaf die tabel.
Hoe word die koördinate van die vektor y bereken as daar 'n matriks A en 'n vektor x is? Vir berekeninge geskep formules:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
…………………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
waar x1, …, x koördinate van die x-vektor is, m is die aantal rye in die matriks en die getal van koördinate in die nuwe y-vektor, n is die aantal kolomme in die matriks en die aantal koördinate in die x-vektor, a11, a12, …, amn– elemente van matriks A.
Dus, om die i-de komponent van die nuwe vektor te verkry, word die skalêre produk uitgevoer. Die i-de ryvektor word uit die matriks A geneem, en dit word vermenigvuldig met die beskikbare vektor x.
Kom ons los probleem 2 op. Jy kan die produk van 'n matriks en 'n vektor vind omdat A 3 kolomme het en x uit 3 koördinate bestaan. Gevolglik behoort ons 'n kolomvektor met 4 koördinate te kry. Kom ons gebruik die bogenoemde formules:
- Bereken y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Die finale waarde is 2.
- Bereken y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Wanneer ons bereken word, kry ons 0.
- Bereken y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Die som van die produkte van die aangeduide faktore is 6.
- Bereken y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Die koördinaat is -8.
Ry vektor-matriks vermenigvuldiging
Jy kan nie 'n matriks met veelvuldige kolomme met 'n ryvektor vermenigvuldig nie. In sulke gevalle word nie aan die voorwaarde vir die bestaan van die werk voldoen nie. Maar vermenigvuldiging van 'n ryvektor met 'n matriks is moontlik. Hierdiedie berekeningsbewerking word uitgevoer wanneer die aantal koördinate in die vektor en die aantal rye in die tabel ooreenstem. Die resultaat van die produk van 'n vektor en 'n matriks is 'n nuwe ryvektor. Die aantal koördinate daarvan moet gelyk wees aan die aantal kolomme in die matriks.
Om die eerste koördinaat van 'n nuwe vektor te bereken, behels die vermenigvuldiging van die ryvektor en die eerste kolomvektor uit die tabel. Die tweede koördinaat word op 'n soortgelyke manier bereken, maar in plaas van die eerste kolomvektor word die tweede kolomvektor geneem. Hier is die algemene formule vir die berekening van koördinate:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, waar yk 'n koördinaat van die y-vektor is, (k is tussen 1 en n), m is die aantal rye in die matriks en die aantal koördinate in die x-vektor is n die aantal kolomme in die matriks en die aantal koördinate in die y-vektor, a met alfanumeriese indekse is die elemente van die matriks A.
Produk van reghoekige matrikse
Hierdie berekening lyk dalk ingewikkeld. Vermenigvuldiging word egter maklik gedoen. Kom ons begin met 'n definisie. Die produk van 'n matriks A met m rye en n kolomme en 'n matriks B met n rye en p kolomme is 'n matriks C met m rye en p kolomme, waarin die element cij die som van die produkte van die elemente i-de ry van tabel A en j-de kolom van tabel B. In eenvoudiger terme is die element cij die skalêre produk van die i-de ry vektor van tabel A en die j-de kolomvektor van tabel B.
Kom ons vind nou in die praktyk uit hoe om die produk van reghoekige matrikse te vind. Kom ons los hiervoor probleem nr 3 op. Die voorwaarde vir die bestaan van 'n produk is nagekom. Kom ons begin die elemente bereken cij:
- Matriks C sal 2 rye en 3 kolomme hê.
- Bereken element c11. Om dit te doen, voer ons die skalaarproduk van ry nr. 1 uit matriks A en kolom nr. 1 uit matriks B uit. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Dan gaan ons voort op 'n soortgelyke manier, en verander slegs rye, kolomme (afhangende van element-indeks).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Die elemente word bereken. Nou bly dit net oor om 'n reghoekige blok van die ontvangde nommers te maak.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Vermenigvuldiging van drie matrikse: die teoretiese deel
Kan jy die produk van drie matrikse vind? Hierdie berekeningsoperasie is uitvoerbaar. Die resultaat kan op verskeie maniere verkry word. Daar is byvoorbeeld 3 vierkantige tabelle (van dieselfde volgorde) - A, B en C. Om die produk te bereken, kan jy:
- Vermenigvuldig eers A en B. Vermenigvuldig dan die resultaat met C.
- Vind eers die produk van B en C. Vermenigvuldig dan matriks A met die resultaat.
As jy reghoekige matrikse moet vermenigvuldig, moet jy eers seker maak dat hierdie berekeningsbewerking moontlik is. Moetprodukte A × B en B × C bestaan.
Inkrementele vermenigvuldiging is nie 'n fout nie. Daar is iets soos "assosiatiwiteit van matriksvermenigvuldiging". Hierdie term verwys na die gelykheid (A × B) × C=A × (B × C).
Driematriksvermenigvuldigingsoefening
Vierkantige matrikse
Begin deur klein vierkantige matrikse te vermenigvuldig. Die figuur hieronder toon die probleem nommer 4, wat ons moet oplos.
Ons sal die assosiatiwiteitseienskap gebruik. Eers vermenigvuldig ons óf A en B, óf B en C. Ons onthou net een ding: jy kan nie faktore omruil nie, dit wil sê, jy kan nie B × A of C × B vermenigvuldig nie. Met hierdie vermenigvuldiging kry ons 'n foutiewe resultaat.
Besluitvordering.
Stap een. Om die algemene produk te vind, vermenigvuldig ons eers A met B. Wanneer twee matrikse vermenigvuldig word, sal ons gelei word deur die reëls wat hierbo uiteengesit is. Dus, die resultaat van die vermenigvuldiging van A en B sal 'n matriks D met 2 rye en 2 kolomme wees, dit wil sê 'n reghoekige skikking sal 4 elemente insluit. Kom ons vind hulle deur die berekening te doen:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Tussen-uitslag gereed.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Stap twee. Kom ons vermenigvuldig nou matriks D met matriks C. Die resultaat moet 'n vierkantige matriks G met 2 rye en 2 kolomme wees. Bereken elemente:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Dus, die resultaat van die produk van vierkantige matrikse is 'n tabel G met berekende elemente.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Reghoekige matrikse
Die figuur hieronder toon probleemnommer 5. Dit word vereis om reghoekige matrikse te vermenigvuldig en 'n oplossing te vind.
Kom ons kyk of daar aan die voorwaarde vir die bestaan van produkte A × B en B × C voldoen is. Die volgordes van die aangeduide matrikse laat ons toe om vermenigvuldiging uit te voer. Kom ons begin die probleem oplos.
Besluitvordering.
Stap een. Vermenigvuldig B met C om D te kry. Matriks B het 3 rye en 4 kolomme, en matriks C het 4 rye en 2 kolomme. Dit beteken dat ons 'n matriks D sal kry met 3 rye en 2 kolomme. Kom ons bereken die elemente. Hier is 2 berekeningsvoorbeelde:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Ons gaan voort om die probleem op te los. As gevolg van verdere berekeninge vind ons die waardes d21, d2 2, d31 en d32. Hierdie elemente is onderskeidelik 0, 19, 1 en 11. Kom ons skryf die gevind waardes in 'n reghoekige skikking.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Stap twee. Vermenigvuldig A met D om die finale matriks F te kry. Dit sal 2 rye en 2 kolomme hê. Bereken elemente:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Stel 'n reghoekige skikking saam, wat die eindresultaat is van die vermenigvuldiging van drie matrikse.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Inleiding tot direkte werk
Nogal moeilik om te verstaan materiaal is die Kronecker-produk van matrikse. Dit het ook 'n bykomende naam - 'n direkte werk. Wat word met hierdie term bedoel? Kom ons sê ons het tabel A van orde m × n en tabel B van orde p × q. Die direkte produk van matriks A en matriks B is 'n matriks van orde mp × nq.
Ons het 2 vierkantige matrikse A, B, wat in die prent getoon word. Die eerste een het 2 kolomme en 2 rye, en die tweede het 3 kolomme en 3 rye. Ons sien dat die matriks wat uit die direkte produk spruit uit 6 rye en presies dieselfde aantal kolomme bestaan.
Hoe word elemente van 'n nuwe matriks in 'n direkte produk bereken? Om die antwoord op hierdie vraag te vind is baie maklik as jy die prentjie ontleed. Vul eers die eerste reël in. Neem die eerste element uit die boonste ry van tabel A en vermenigvuldig opeenvolgend met die elemente van die eerste ryuit tabel B. Neem dan die tweede element van die eerste ry van tabel A en vermenigvuldig opeenvolgend met die elemente van die eerste ry van tabel B. Om die tweede ry te vul, neem die eerste element van die eerste ry van tabel A weer en vermenigvuldig dit met die elemente van die tweede ry van tabel B.
Die finale matriks wat deur direkte produk verkry word, word 'n blokmatriks genoem. As ons die figuur weer ontleed, kan ons sien dat ons resultaat uit 4 blokke bestaan. Almal van hulle sluit elemente van matriks B in. Daarbenewens word 'n element van elke blok vermenigvuldig met 'n spesifieke element van matriks A. In die eerste blok word alle elemente vermenigvuldig met 'n11, in die tweede - deur 'n12, in die derde - op 'n21, in die vierde - op 'n22.
Produkbepaler
Wanneer die onderwerp van matriksvermenigvuldiging oorweeg word, is dit die moeite werd om so 'n term as "die determinant van die produk van matrikse" te oorweeg. Wat is 'n determinant? Dit is 'n belangrike eienskap van 'n vierkantige matriks, 'n sekere waarde wat aan hierdie matriks toegeken word. Die letterlike benaming van die determinant is det.
Vir 'n matriks A wat uit twee kolomme en twee rye bestaan, is die determinant maklik om te vind. Daar is 'n klein formule wat die verskil is tussen die produkte van spesifieke elemente:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Kom ons kyk na 'n voorbeeld van die berekening van die determinant vir 'n tweede-orde tabel. Daar is 'n matriks A waarin a11=2, a12=3, a21=5 en a22=1. Om die determinant te bereken, gebruik die formule:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
Vir 3 × 3 matrikse word die determinant bereken deur 'n meer komplekse formule te gebruik. Dit word hieronder aangebied vir matriks A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Om die formule te onthou, het ons met die driehoekreël vorendag gekom, wat in die prent geïllustreer word. Eerstens word die elemente van die hoofhoeklyn vermenigvuldig. Die produkte van daardie elemente wat deur die hoeke van driehoeke met rooi sye aangedui word, word by die verkryde waarde getel. Vervolgens word die produk van die elemente van die sekondêre diagonaal afgetrek en die produkte van daardie elemente wat deur die hoeke van driehoeke met blou sye aangedui word, word afgetrek.
Kom ons praat nou oor die determinant van die produk van matrikse. Daar is 'n stelling wat sê dat hierdie aanwyser gelyk is aan die produk van die determinante van die vermenigvuldigertabelle. Kom ons verifieer dit met 'n voorbeeld. Ons het matriks A met inskrywings a11=2, a12=3, a21=1 en a22=1 en matriks B met inskrywings b11=4, b12=5, b 21 =1 en b22=2. Vind die determinante vir die matrikse A en B, die produk A × B en die determinant van hierdie produk.
Besluitvordering.
Stap een. Bereken die determinant vir A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Bereken dan die determinant vir B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Stap twee. Kom ons vindproduk A × B. Dui die nuwe matriks met die letter C aan. Bereken sy elemente:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Stap drie. Bereken die determinant vir C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Vergelyk met die waarde wat verkry kan word deur die determinante van die oorspronklike matrikse te vermenigvuldig. Die getalle is dieselfde. Die bogenoemde stelling is waar.
Produkrangorde
Die rangorde van 'n matriks is 'n kenmerk wat die maksimum aantal lineêr onafhanklike rye of kolomme weerspieël. Om die rangorde te bereken, word elementêre transformasies van die matriks uitgevoer:
- herrangskikking van twee parallelle rye;
- vermenigvuldig alle elemente van 'n sekere ry vanaf die tabel met 'n nie-nul getal;
- toevoeging tot die elemente van een ry elemente van 'n ander ry, vermenigvuldig met 'n spesifieke getal.
Na elementêre transformasies, kyk na die aantal nie-nul snare. Hulle getal is die rangorde van die matriks. Beskou die vorige voorbeeld. Dit het 2 matrikse aangebied: A met elemente a11=2, a12=3, a21=1 en a22 =1 en B met elemente b11=4, b12=5, b21=1 en b22=2. Ons sal ook die matriks C gebruik wat verkry is as gevolg van vermenigvuldiging. As ons elementêre transformasies uitvoer, sal daar geen nul-rye in die vereenvoudigde matrikse wees nie. Dit beteken dat beide die rang van tabel A, en die rang van tabel B, en die rangordetabel C is 2.
Kom ons gee nou spesiale aandag aan die rangorde van die produk van matrikse. Daar is 'n stelling wat sê dat die rangorde van 'n produk van tabelle wat numeriese elemente bevat nie die rangorde van enige van die faktore oorskry nie. Dit kan bewys word. Laat A 'n k × s-matriks wees en B 'n s × m-matriks. Die produk van A en B is gelyk aan C.
Kom ons bestudeer die prent hierbo. Dit wys die eerste kolom van matriks C en sy vereenvoudigde notasie. Hierdie kolom is 'n lineêre kombinasie van die kolomme wat in die matriks A ingesluit is. Net so kan 'n mens sê van enige ander kolom uit die reghoekige skikking C. Dus is die subruimte wat deur die kolomvektore van die tabel C gevorm word in die subruimte wat gevorm word deur die kolomvektore van die tabel A. Hierdeur oorskry die dimensie van subruimte No. 1 dus nie die dimensie van subruimte No. 2 nie. Dit impliseer dat die rangorde in kolomme van tabel C nie die rangorde in kolomme van tabel A oorskry nie, d.w.s. r(C) ≦ r(A). As ons op 'n soortgelyke manier redeneer, dan kan ons seker maak dat die rye van die matriks C lineêre kombinasies van die rye van die matriks B is. Dit impliseer die ongelykheid r(C) ≦ r(B).
Hoe om die produk van matrikse te vind, is 'n taamlik ingewikkelde onderwerp. Dit kan maklik bemeester word, maar om so 'n resultaat te bereik, sal jy baie tyd moet spandeer om al die bestaande reëls en stellings te memoriseer.
