The Church-Turing-proefskrif verwys na die konsep van 'n doeltreffende, sistematiese of meganiese metode in logika, wiskunde en rekenaarwetenskap. Dit word geformuleer as 'n beskrywing van die intuïtiewe konsep van berekenbaarheid en word, met betrekking tot algemene rekursiewe funksies, meer dikwels Kerk se tesis genoem. Dit verwys ook na die teorie van rekenaar-berekenbare funksies. Die tesis het in die 1930's verskyn, toe rekenaars self nog nie bestaan het nie. Dit is later vernoem na die Amerikaanse wiskundige Alonso Church en sy Britse kollega Alan Turing.
Doeltreffendheid van die metode om die resultaat te bereik
Die eerste toestel wat soos 'n moderne rekenaar gelyk het, was die Bombie, 'n masjien wat deur die Engelse wiskundige Alan Turing geskep is. Dit is gebruik om Duitse boodskappe tydens die Tweede Wêreldoorlog te ontsyfer. Maar vir sy tesis en formalisering van die konsep van 'n algoritme het hy abstrakte masjiene gebruik, wat later Turing-masjiene genoem is. Tesis bied aanbelangstelling vir beide wiskundiges en programmeerders, aangesien hierdie idee die skeppers van die eerste rekenaars geïnspireer het.
In die berekenbaarheidsteorie staan die Church-Turing-proefskrif ook bekend as die vermoede oor die aard van berekenbare funksies. Dit verklaar dat vir enige algoritmies berekenbare funksie op natuurlike getalle, daar 'n Turing-masjien is wat dit kan bereken. Of, met ander woorde, daar is 'n algoritme wat daarvoor geskik is. 'n Bekende voorbeeld van die doeltreffendheid van hierdie metode is die waarheidstabeltoets om tautologie te toets.
'n Manier om enige gewenste resultaat te bereik word "effektief", "sistematies" of "meganies" genoem as:
- Die metode word gespesifiseer in terme van 'n eindige aantal presiese instruksies, elke instruksie word uitgedruk met 'n eindige aantal karakters.
- Dit sal sonder foute loop, sal die gewenste resultaat in 'n sekere aantal stappe lewer.
- Die metode kan uitgevoer word deur 'n mens sonder hulp met enige ander toerusting as papier en potlood
- Dit vereis nie begrip, intuïsie of vindingrykheid van die persoon wat die aksie uitvoer nie
Vroeër in wiskunde is die informele term "effektief berekenbaar" gebruik om te verwys na funksies wat met potlood en papier bereken kan word. Maar die idee van algoritmiese berekenbaarheid was meer intuïtief as enigiets konkreet. Nou is dit gekenmerk deur 'n funksie met 'n natuurlike argument, waarvoor daar 'n berekeningsalgoritme is. Een van die prestasies van Alan Turing wasvoorstelling van 'n formeel presiese predikaat, met behulp waarvan dit moontlik sou wees om die informele een te vervang, indien die metode doeltreffendheidsvoorwaarde gebruik word. Kerk het dieselfde ontdekking gemaak.
Basiese konsepte van rekursiewe funksies
Turing se verandering van predikate het met die eerste oogopslag anders gelyk as die een wat deur sy kollega voorgestel is. Maar as gevolg daarvan het hulle gelykstaande geblyk te wees, in die sin dat elkeen van hulle dieselfde stel wiskundige funksies kies. Die Church-Turing-proefskrif is die bewering dat hierdie stel elke funksie bevat waarvan die waardes verkry kan word deur 'n metode wat aan die doeltreffendheidsvoorwaardes voldoen. Daar was nog 'n verskil tussen die twee ontdekkings. Dit was dat Church slegs voorbeelde van positiewe heelgetalle oorweeg het, terwyl Turing sy werk beskryf het dat dit berekenbare funksies met 'n integrale of reële veranderlike dek.
Algemene rekursiewe funksies
Kerk se oorspronklike formulering sê dat die berekening gedoen kan word deur die λ-rekene te gebruik. Dit is gelykstaande aan die gebruik van generiese rekursiewe funksies. Die Church-Turing-proefskrif dek meer soorte berekeninge as wat oorspronklik gedink is. Byvoorbeeld, verwant aan sellulêre outomatate, kombineerders, registrasiemasjiene en substitusiestelsels. In 1933 het wiskundiges Kurt Gödel en Jacques Herbrand 'n formele definisie geskep van 'n klas wat algemene rekursiewe funksies genoem word. Dit gebruik funksies waar meer as een argument moontlik is.
Skep 'n metodeλ-calculus
In 1936 het Alonso Church 'n metode van bepaling geskep wat die λ-rekening genoem word. Hy was geassosieer met natuurlike getalle. Binne die λ-rekening het die wetenskaplike hul enkodering bepaal. Gevolglik word hulle Kerknommers genoem. 'n Funksie gebaseer op natuurlike getalle is λ-berekenbaar genoem. Daar was 'n ander definisie. Die funksie uit Kerk se proefskrif word λ-berekenbaar onder twee voorwaardes genoem. Die eerste een het so geklink: as dit op Kerkelemente bereken is, en die tweede voorwaarde was die moontlikheid om verteenwoordig te word deur 'n lid van die λ-calculus.
Turing het ook in 1936, voordat hy sy kollega se werk bestudeer het, 'n teoretiese model geskep vir die abstrakte masjiene wat nou na hom vernoem is. Hulle kon berekeninge uitvoer deur die karakters op die band te manipuleer. Dit geld ook vir ander wiskundige aktiwiteite wat in teoretiese rekenaarwetenskap voorkom, soos kwantumwaarskynlikheidsberekening. Die funksie uit Kerk se proefskrif is eers later met behulp van 'n Turing-masjien gestaaf. Aanvanklik het hulle op λ-calculus staatgemaak.
Funksie-berekenbaarheid
Wanneer natuurlike getalle gepas geënkodeer word as karakterreekse, word gesê dat 'n funksie op natuurlike getalle Turing-berekenbaar is as die abstrakte masjien die vereiste algoritme gevind het en hierdie funksie op band gedruk het. So 'n toestel, wat nie in die 1930's bestaan het nie, sou in die toekoms as 'n rekenaar beskou word. Die abstrakte Turing-masjien en Kerk se tesis het 'n era van ontwikkeling ingeluirekenaartoestelle. Dit is bewys dat die klasse funksies wat formeel deur beide wetenskaplikes gedefinieer is, saamval. Daarom is beide stellings as gevolg daarvan in een gekombineer. Rekenkundige funksies en Kerk se proefskrif het ook 'n sterk invloed op die konsep van berekenbaarheid gehad. Hulle het ook 'n belangrike hulpmiddel vir wiskundige logika en bewysteorie geword.
Regverdiging en probleme van die metode
Daar is teenstrydige sienings oor die tesis. Talle bewyse is ingesamel vir die "werkhipotese" wat deur Church en Turing in 1936 voorgestel is. Maar alle bekende metodes of bewerkings vir die ontdekking van nuwe effektief berekenbare funksies van gegewes is verbind met metodes om masjiene te bou, wat toe nie bestaan het nie. Om die Church-Turing-proefskrif te bewys, gaan mens uit van die feit dat elke realistiese berekeningsmodel ekwivalent is.
Weens die verskeidenheid verskillende ontledings word dit oor die algemeen as besonder sterk bewyse beskou. Alle pogings om die intuïtiewe idee van 'n effektief berekenbare funksie meer presies te definieer, het gelykwaardig geblyk te wees. Elke ontleding wat voorgestel is, het bewys dat dit dieselfde klas funksies uitsonder, naamlik dié wat deur Turing-masjiene bereken kan word. Maar sommige berekeningsmodelle het geblyk meer doeltreffend te wees in terme van tyd en geheuegebruik vir verskillende take. Later is opgemerk dat die basiese konsepte van rekursiewe funksies en Kerk se tesis eerder hipoteties is.
Tesis M
Dit is belangrik om te onderskei tussen Turing se tesis en die bewering dat enigiets wat deur 'n rekenaartoestel bereken kan word deur sy masjien bereken kan word. Die tweede opsie het sy eie definisie. Gandhi noem die tweede sin "Tesis M". Dit gaan soos volg: "Wat ook al deur 'n toestel bereken kan word, kan deur 'n Turing-masjien bereken word." In die eng sin van die proefskrif is dit 'n empiriese stelling waarvan die waarheidswaarde onbekend is. Turing se proefskrif en "proefskrif M" word soms deurmekaar. Die tweede weergawe is in die algemeen verkeerd. Verskeie voorwaardelike masjiene is beskryf wat funksies kan bereken wat nie Turing-berekenbaar is nie. Dit is belangrik om daarop te let dat die eerste tesis nie die tweede behels nie, maar in ooreenstemming is met die valsheid daarvan.
Omgekeerde implikasie van die tesis
In berekenbaarheidsteorie word Kerk se tesis gebruik as 'n beskrywing van die begrip van berekenbaarheid deur 'n klas algemene rekursiewe funksies. Die Amerikaner Stephen Kleene het 'n meer algemene formulering gegee. Hy het alle gedeeltelike funksies wat deur algoritmes bereken kan word gedeeltelik rekursief genoem.
Omgekeerde implikasie word algemeen na verwys as die Kerk se omgekeerde tesis. Dit lê in die feit dat elke rekursiewe funksie van positiewe heelgetalle doeltreffend geëvalueer word. In 'n eng sin dui 'n tesis eenvoudig op so 'n moontlikheid. En in 'n breër sin onttrek dit van die vraag of hierdie voorwaardelike masjien daarin kan bestaan.
Kwantumrekenaars
Die konsepte van berekenbare funksies en Kerk se tesis het 'n belangrike ontdekking vir wiskunde, masjienteorie en baie ander wetenskappe geword. Maar tegnologie het baie verander en verbeter steeds. Daar word aanvaar dat kwantumrekenaars baie algemene take met minder tyd kan verrig as moderne rekenaars. Maar vrae bly, soos die stopprobleem.’n Kwantumrekenaar kan dit nie beantwoord nie. En, volgens die Church-Turing-proefskrif, ook geen ander rekenaartoestel nie.
