Een van die aksiomas van meetkunde sê dat dit deur enige twee punte moontlik is om 'n enkele reguit lyn te trek. Hierdie aksioma getuig dat daar 'n unieke numeriese uitdrukking is wat die gespesifiseerde eendimensionele geometriese voorwerp uniek beskryf. Oorweeg in die artikel die vraag hoe om die vergelyking te skryf van 'n reguit lyn wat deur twee punte gaan.
Wat is 'n punt en 'n lyn?
Voordat jy die vraag oorweeg om in die ruimte en op die vlak 'n reguit lyn van 'n vergelyking te bou wat deur 'n paar verskillende punte gaan, moet 'n mens die gespesifiseerde meetkundige voorwerpe definieer.
'n Punt word uniek bepaal deur 'n stel koördinate in 'n gegewe stelsel van koördinaat-asse. Benewens hulle is daar nie meer kenmerke vir die punt nie. Sy is 'n nul-dimensionele voorwerp.
Wanneer daar van 'n reguit lyn gepraat word, stel elke persoon 'n lyn voor wat op 'n wit vel papier uitgebeeld word. Terselfdertyd is dit moontlik om 'n presiese meetkundige definisie te geehierdie voorwerp. 'n Reguitlyn is so 'n versameling punte waarvoor die verbinding van elkeen van hulle met al die ander 'n stel parallelle vektore sal gee.
Hierdie definisie word gebruik wanneer die vektorvergelyking van 'n reguit lyn gestel word, wat hieronder bespreek sal word.
Aangesien enige lyn met 'n segment van arbitrêre lengte gemerk kan word, word gesê dat dit 'n eendimensionele geometriese voorwerp is.
Getalvektorfunksie
'n Vergelyking deur twee punte van 'n verbygaande reguit lyn kan in verskillende vorms geskryf word. In driedimensionele en tweedimensionele ruimtes is die hoof en intuïtief verstaanbare numeriese uitdrukking 'n vektor.
Veronderstel dat daar een of ander gerigte segment u¯(a; b; c) is. In 3D-ruimte kan die vektor u¯ op enige punt begin, so sy koördinate definieer 'n oneindige stel parallelle vektore. As ons egter 'n spesifieke punt P(x0; y0; z0) kies en plaas dit as die begin van die vektor u¯, dan, deur hierdie vektor met 'n arbitrêre reële getal λ te vermenigvuldig, kan 'n mens al die punte van een reguit lyn in die ruimte verkry. Dit wil sê, die vektorvergelyking sal geskryf word as:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Natuurlik, vir die geval op die vliegtuig, neem die numeriese funksie die vorm aan:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Die voordeel van hierdie tipe vergelyking in vergelyking met die ander (in segmente, kanonies,algemene vorm) lê in die feit dat dit eksplisiet die koördinate van die rigtingvektor bevat. Laasgenoemde word dikwels gebruik om te bepaal of lyne parallel of loodreg is.
Algemeen in segmente en kanonieke funksie vir 'n reguit lyn in tweedimensionele ruimte
Wanneer jy probleme oplos, moet jy soms die vergelyking skryf van 'n reguit lyn wat deur twee punte in 'n sekere, spesifieke vorm gaan. Daarom moet ander maniere gegee word om hierdie geometriese voorwerp in tweedimensionele ruimte te spesifiseer (vir eenvoud beskou ons die geval op die vlak).
Kom ons begin met 'n algemene vergelyking. Dit het die vorm:
Ax + By + C=0
As 'n reël, op die vlak word die vergelyking van 'n reguit lyn in hierdie vorm geskryf, slegs y word eksplisiet deur x gedefinieer.
Transformeer nou die uitdrukking hierbo soos volg:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Hierdie uitdrukking word 'n vergelyking in segmente genoem, aangesien die noemer vir elke veranderlike wys hoe lank die lynstuk afsny op die ooreenstemmende koördinaat-as relatief tot die beginpunt (0; 0).
Dit bly om 'n voorbeeld van die kanonieke vergelyking te gee. Om dit te doen, skryf ons die vektorgelykheid eksplisiet:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Kom ons druk die parameter λ van hier af uit en stel die resulterende gelykhede gelyk:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Die laaste gelykheid word die vergelyking in kanonieke of simmetriese vorm genoem.
Elkeen van hulle kan omgeskakel word na vektor en omgekeerd.
Die vergelyking van 'n reguit lyn wat deur twee punte gaan: 'n samestellingstegniek
Terug na die vraag van die artikel. Gestel daar is twee punte in die ruimte:
M(x1; y1; z1) en N(x 2; y2; z2)
Die enigste reguit lyn gaan deur hulle, waarvan die vergelyking baie maklik is om in vektorvorm saam te stel. Om dit te doen, bereken ons die koördinate van die gerigte segment MN¯, ons het:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Dit is nie moeilik om te raai dat hierdie vektor die gids sal wees vir die reguit lyn, waarvan die vergelyking verkry moet word nie. Met die wete dat dit ook deur M en N gaan, kan jy die koördinate van enige van hulle gebruik vir 'n vektoruitdrukking. Dan neem die verlangde vergelyking die vorm aan:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Vir die geval in tweedimensionele ruimte verkry ons 'n soortgelyke gelykheid sonder die deelname van die veranderlike z.
Sodra die vektorgelykheid vir die lyn geskryf is, kan dit vertaal word in enige ander vorm wat die vraag na die probleem vereis.
Taak:skryf 'n algemene vergelyking
Dit is bekend dat 'n reguit lyn deur die punte met koördinate (-1; 4) en (3; 2) gaan. Dit is nodig om die vergelyking saam te stel van 'n reguit lyn wat daardeur gaan, in 'n algemene vorm, wat y in terme van x uitdruk.
Om die probleem op te los, skryf ons eers die vergelyking in vektorvorm. Die vektor (gids) koördinate is:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Dan is die vektorvorm van die vergelyking van die reguitlyn die volgende:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Dit bly om dit in algemene vorm in die vorm y(x) te skryf. Ons herskryf hierdie gelykheid eksplisiet, druk die parameter λ uit en sluit dit uit van die vergelyking:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-j)/2;
(x+1)/4=(4-j)/2
Vanuit die resulterende kanoniese vergelyking druk ons y uit en kom by die antwoord op die vraag van die probleem:
y=-0.5x + 3.5
Die geldigheid van hierdie gelykheid kan nagegaan word deur die koördinate van die punte gespesifiseer in die probleemstelling te vervang.
Probleem: 'n reguit lyn wat deur die middel van die segment gaan
Kom ons los nou een interessante probleem op. Veronderstel dat twee punte M(2; 1) en N(5; 0) gegee word. Dit is bekend dat 'n reguit lyn deur die middelpunt van die segment gaan wat die punte verbind en loodreg daarop is. Skryf die vergelyking van 'n reguit lyn wat deur die middel van die segment in vektorvorm gaan.
Die verlangde numeriese uitdrukking kan gevorm word deur die koördinaat van hierdie middelpunt te bereken en die rigtingvektor te bepaal, watsegment maak 'n hoek 90o.
Die middelpunt van die segment is:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Kom ons bereken nou die koördinate van die vektor MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Aangesien die rigtingvektor vir die verlangde lyn loodreg op MN¯ is, is hul skalêre produk gelyk aan nul. Dit laat jou toe om die onbekende koördinate (a; b) van die stuurvektor te bereken:
a3 - b=0=>
b=3a
Skryf nou die vektorvergelyking:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Hier het ons die produk aλ vervang met 'n nuwe parameter β.
Ons het dus die vergelyking gemaak van 'n reguit lyn wat deur die middel van die segment gaan.
