Sirkel is die hooffiguur in meetkunde, waarvan die eienskappe op skool in die graad 8 oorweeg word. Een van die tipiese probleme wat met 'n sirkel geassosieer word, is om die oppervlakte van 'n deel daarvan te vind, wat 'n sirkelsektor genoem word. Die artikel verskaf formules vir die oppervlakte van 'n sektor en die lengte van sy boog, sowel as 'n voorbeeld van die gebruik daarvan om 'n spesifieke probleem op te los.
Die konsep van 'n sirkel en 'n sirkel
Voordat die formule vir die oppervlakte van 'n sektor van 'n sirkel gegee word, kom ons kyk na wat die aangeduide figuur is. Volgens die wiskundige definisie word 'n sirkel verstaan as so 'n figuur op 'n vlak, waarvan alle punte ewe ver van een punt (middelpunt) is.
Wanneer 'n sirkel oorweeg word, word die volgende terminologie gebruik:
- Radius - 'n segment wat vanaf die sentrale punt na die kromme van die sirkel geteken word. Dit word gewoonlik aangedui met die letter R.
- Diameter is 'n segment wat twee punte van die sirkel verbind, maar gaan ook deur die middel van die figuur. Dit word gewoonlik met die letter D aangedui.
- Boog is deel van 'n geboë sirkel. Dit word gemeet óf in lengte-eenhede óf met gebruik van hoeke.
Sirkel is nog 'n belangrike meetkundige figuur, dit is 'n versameling punte wat deur 'n geboë sirkel begrens word.
Sirkel area en omtrek
Die waardes wat in die titel van die item aangeteken word, word met twee eenvoudige formules bereken. Hulle word hieronder gelys:
- Omtrek: L=2piR.
- Area van 'n sirkel: S=piR2.
In hierdie formules is pi 'n konstante wat Pi genoem word. Dit is irrasioneel, dit wil sê, dit kan nie presies as 'n eenvoudige breuk uitgedruk word nie. Pi is ongeveer 3,1416.
Soos jy uit die uitdrukkings hierbo kan sien, is dit genoeg om net die radius van die sirkel te ken om die oppervlakte en lengte te bereken.
Die oppervlakte van die sektor van die sirkel en die lengte van sy boog
Voordat ons die ooreenstemmende formules oorweeg, onthou ons dat die hoek in meetkunde gewoonlik op twee hoofmaniere uitgedruk word:
- in seksagesimale grade, en 'n volle rotasie om sy as is 360o;
- in radiale, uitgedruk as breuke van pi en verwant aan grade deur die volgende vergelyking: 2pi=360o.
Die sektor van 'n sirkel is 'n figuur wat deur drie lyne begrens word: 'n boog van 'n sirkel en twee radiusse wat aan die punte van hierdie boog geleë is. 'n Voorbeeld van 'n sirkelsektor word in die foto hieronder getoon.
Om 'n idee te kry van wat 'n sektor vir 'n sirkel is, is maklikverstaan hoe om sy oppervlakte en die lengte van die ooreenstemmende boog te bereken. Dit kan uit die figuur hierbo gesien word dat die boog van die sektor ooreenstem met die hoek θ. Ons weet dat 'n volle sirkel ooreenstem met 2pi radiale, dus sal die formule vir die oppervlakte van 'n sirkelsektor die vorm aanneem: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Hier word die hoek θ in radiale uitgedruk. 'n Soortgelyke formule vir die sektorarea, as die hoek θ in grade gemeet word, sal soos volg lyk: S1=piθR2 /360.
Die lengte van die boog wat 'n sektor vorm, word bereken deur die formule: L1=θ2piR/(2pi)=θR. En as θ in grade bekend is, dan: L1=piθR/180.
Voorbeeld van probleemoplossing
Kom ons gebruik die voorbeeld van 'n eenvoudige probleem om te wys hoe om die formules te gebruik vir die oppervlakte van 'n sektor van 'n sirkel en die lengte van sy boog.
Dit is bekend dat die wiel 12 speke het. Wanneer die wiel een volledige omwenteling maak, dek dit 'n afstand van 1,5 meter. Wat is die area wat tussen twee aangrensende speke van die wiel ingesluit is, en wat is die lengte van die boog tussen hulle?
Soos jy uit die ooreenstemmende formules kan sien, moet jy twee hoeveelhede ken om dit te gebruik: die radius van die sirkel en die hoek van die boog. Die radius kan bereken word deur die omtrek van die wiel te ken, aangesien die afstand wat dit in een omwenteling afgelê word presies daarmee ooreenstem. Ons het: 2Rpi=1,5, vandaar: R=1,5/(2pi)=0,2387 meter. Die hoek tussen die naaste speke kan bepaal word deur hul getal te ken. As ons aanvaar dat al 12 speke die sirkel eweredig in gelyke sektore verdeel, kry ons 12 identiese sektore. Gevolglik is die hoekmaat van die boog tussen die twee speke: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radiaal.
Ons het al die nodige waardes gevind, nou kan hulle in die formules vervang word en die waardes bereken wat deur die toestand van die probleem vereis word. Ons kry: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, of 149cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m of 12,5 cm.
