Getalstelsels - wat is dit? Selfs sonder om die antwoord op hierdie vraag te ken, gebruik elkeen van ons onwillekeurig getallestelsels in ons lewens en vermoed dit nie. Dis reg, meervoud! Dit wil sê, nie een nie, maar verskeie. Voordat ons voorbeelde van nie-posisionele getallestelsels gee, laat ons hierdie kwessie verstaan, kom ons praat ook oor posisionele stelsels.
Faktuur benodig
Sedert antieke tye het mense 'n behoefte gehad aan tel, dit wil sê, hulle het intuïtief besef dat hulle op een of ander manier 'n kwantitatiewe visie van dinge en gebeure moes uitdruk. Die brein het voorgestel dat dit nodig was om voorwerpe te gebruik om te tel. Vingers was nog altyd die gerieflikste, en dit is verstaanbaar, want hulle is altyd beskikbaar (met seldsame uitsonderings).
Dus moes die antieke verteenwoordigers van die mensdom hul vingers in die letterlike sin buig – om byvoorbeeld die aantal doodgemaakte mammoete aan te dui. Sulke elemente van die rekening het nog nie name gehad nie, maar slegs 'n visuele prentjie, 'n vergelyking.
Moderne posisionele nommerstelsels
Die getallestelsel is 'n metode (manier) om kwantitatiewe waardes en hoeveelhede voor te stel deur sekere tekens (simbole of letters) te gebruik.
Dit is nodig om te verstaan wat posisioneel en nie-posisioneel in tel is voordat voorbeelde van nie-posisionele getallestelsels gegee word. Daar is baie posisionele getallestelsels. Nou word die volgende in verskeie kennisvelde gebruik: binêr (sluit slegs twee beduidende elemente in: 0 en 1), heksadesimale (aantal karakters - 6), oktaal (karakters - 8), duodesimale (twaalf karakters), heksadesimale (sluit sestien in karakters). Boonop begin elke ry karakters in die stelsels vanaf nul. Moderne rekenaartegnologieë is gebaseer op die gebruik van binêre kodes - die binêre posisionele getalstelsel.
Desimale getallestelsel
Posisionaliteit is die teenwoordigheid van beduidende posisies in verskillende grade, waarop die tekens van die getal geleë is. Dit kan die beste gedemonstreer word deur die voorbeeld van die desimale getallestelsel te gebruik. Ons is immers van kleins af gewoond daaraan om dit te gebruik. Daar is tien tekens in hierdie stelsel: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Neem die getal 327. Dit het drie tekens: 3, 2, 7. Elkeen van hulle is geleë in sy eie posisie (plek). Die sewe neem die posisie in wat gereserveer is vir enkelwaardes (eenhede), die twee - tiene en die drie - honderde. Aangesien die getal driesyfers is, is daar dus net drie posisies daarin.
Op grond van bogenoemde, hierdie'n drie-syfer desimale getal kan soos volg beskryf word: drie honderde, twee tiene en sewe eenhede. Boonop word die belangrikheid (belangrikheid) van posisies van links na regs getel, van 'n swak posisie (een) na 'n sterker een (honderde).
Ons voel baie gemaklik in die desimale posisionele getallestelsel. Ons het tien vingers aan ons hande, en dieselfde aan ons voete. Vyf plus vyf - dus, danksy die vingers, verbeel ons ons maklik 'n dosyn van kleintyd af. Daarom is dit maklik vir kinders om die vermenigvuldigingstabelle vir vyf en tien te leer. En dit is ook so maklik om te leer hoe om banknote te tel, wat meestal veelvoude is (dit wil sê gedeel sonder 'n res) deur vyf en tien.
Ander posisionele nommerstelsels
Tot baie mense se verbasing moet gesê word dat ons brein nie net in die desimale telstelsel gewoond is om sekere berekeninge te doen nie. Tot nou toe het die mensdom ses en duodesimale getallestelsels gebruik. Dit wil sê, in so 'n stelsel is daar net ses karakters (in heksadesimale): 0, 1, 2, 3, 4, 5. In duodesimale is daar twaalf van hulle: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, waar A - die getal 10 aandui, B - die getal 11 (aangesien die teken een moet wees).
Beoordeel self. Ons tel tyd in sesse, nie waar nie? Een uur is sestig minute (ses tiene), een dag is vier-en-twintig uur (twee keer twaalf), 'n jaar is twaalf maande, ensovoorts… Alle tydintervalle pas maklik in ses- en duodesimale reekse. Maar ons is so gewoond daaraan dat ons nie eers daaraan dink wanneer ons tyd tel nie.
Nie-posisionele getalstelsels. Unary
Dit is nodig om te definieer wat dit is - 'n nie-posisionele getallestelsel. Dit is so 'n tekensisteem waarin daar geen posisies is vir die tekens van 'n getal nie, of die beginsel van "lees" van 'n getal is nie afhanklik van die posisie nie. Dit het ook sy eie reëls vir skryf of berekening.
Kom ons gee voorbeelde van nie-posisionele getallestelsels. Kom ons gaan terug na die oudheid. Mense het 'n rekening nodig gehad en het met die eenvoudigste uitvinding vorendag gekom - knope. Die nie-posisionele getallestelsel is nodulêr. Een item ('n sak rys, 'n bul, 'n hooimied, ens.) is getel, byvoorbeeld by koop of verkoop, en 'n knoop aan 'n tou vasgebind.
Gevolglik is soveel knope aan die tou gemaak as baie sakke rys gekoop (as 'n voorbeeld). Maar dit kan ook kepe op 'n houtstok, op 'n klipblad, ens. So 'n getallestelsel het bekend geword as nodulêr. Sy het 'n tweede naam - unary, of enkel ("uno" in Latyn beteken "een").
Dit word duidelik dat hierdie getallestelsel nie-posisioneel is. Na alles, oor watter soort posisies kan ons praat as dit (die posisie) net een is! Vreemd genoeg, in sommige dele van die aarde is die unêre nie-posisionele getallestelsel steeds in gebruik.
Nieposisionele nommerstelsels sluit ook in:
- Romeins (letters word gebruik om syfers te skryf - Latynse karakters);
- antieke Egipties (soortgelyk aan Romeins, simbole is ook gebruik);
- alfabeties (letters van die alfabet is gebruik);
- Babilonies (wigskrif - gebruik direk enomgekeerde "wig");
- Grieks (ook na verwys as alfabeties).
Romeinse syferstelsel
Die antieke Romeinse Ryk, sowel as sy wetenskap, was baie vooruitstrewend. Die Romeine het die wêreld baie nuttige uitvindings van wetenskap en kuns gegee, insluitend hul telstelsel. Tweehonderd jaar gelede is Romeinse syfers gebruik om bedrae in sakedokumente aan te dui (dus is vervalsing vermy).
Romeinse syfering is 'n voorbeeld van 'n nie-posisionele getallestelsel, ons ken dit nou. Die Romeinse sisteem word ook aktief gebruik, maar nie vir wiskundige berekeninge nie, maar vir eng gefokusde aksies. Byvoorbeeld, met behulp van Romeinse getalle is dit gebruiklik om historiese datums, eeue, volumes, afdelings en hoofstukke in boekpublikasies aan te dui. Romeinse tekens word dikwels gebruik om horlosies te versier. En ook Romeinse syfers is 'n voorbeeld van 'n nie-posisionele getallestelsel.
Die Romeine het syfers met Latynse letters aangedui. Boonop het hulle die nommers volgens sekere reëls neergeskryf. Daar is 'n lys sleutelsimbole in die Romeinse syferstelsel, met behulp waarvan alle getalle sonder uitsondering geskryf is.
| Getal (desimale) | Romeinse syfer (letter van die Latynse alfabet) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Reëls vir die samestelling van nommers
Die vereiste getal is verkry deur tekens (Latynse letters) by te voeg en hul som te bereken. Kom ons kyk na hoe tekens simbolies in die Romeinse sisteem geskryf word en hoe dit "gelees" moet word. Kom ons lys die hoofwette van getalvorming in die Romeinse nieposisionele getallestelsel.
- Die getal vier - IV, bestaan uit twee karakters (I, V - een en vyf). Dit word verkry deur die kleiner teken van die groter een af te trek as dit aan die linkerkant is. Wanneer die kleiner teken aan die regterkant geleë is, moet jy byvoeg, dan kry jy die nommer ses - VI.
- Dit is nodig om twee identiese tekens langs mekaar by te voeg. Byvoorbeeld: SS is 200 (C is 100), of XX is 20.
- As die eerste teken van 'n getal kleiner is as die tweede, dan kan die derde karakter in hierdie ry 'n karakter wees waarvan die waarde selfs minder as die eerste is. Om verwarring te voorkom, hier is 'n voorbeeld: CDX - 410 (in desimale).
- Sommige groot getalle kan op verskillende maniere voorgestel word, wat een van die nadele van die Romeinse telstelsel is. Hier is 'n paar voorbeelde: MVM (Romeins)=1000 + (1000 - 5)=1995 (desimale) of MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. En dit is nie al nie.
Rekenkundige truuks
Nie-posisionele getallestelsel is soms 'n komplekse stel reëls vir die vorming van getalle, hul verwerking (aksies daarop). Rekenkundige bewerkings in nie-posisionele getalstelsels is nie maklik nievir moderne mense. Ons beny nie die antieke Romeinse wiskundiges nie!
Voorbeeld van byvoeging. Kom ons probeer om twee getalle by te voeg: XIX + XXVI=XXXV, hierdie taak word in twee stappe uitgevoer:
- Eers - neem en tel die kleiner breuke van getalle by: IX + VI=XV (I na V en I voor X "vernietig" mekaar).
- Tweede - tel groot breuke van twee getalle by: X + XX=XXX.
Aftrekking is ietwat meer ingewikkeld. Die getal wat verminder moet word, moet in sy samestellende elemente verdeel word, en dan moet die gedupliseerde karakters verminder word in die getal wat verminder en afgetrek moet word. Trek 263 af van 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Romeinse syfervermenigvuldiging. Terloops, dit is nodig om te noem dat die Romeine nie tekens van rekenkundige bewerkings gehad het nie, hulle het dit bloot met woorde aangedui.
Die veelvuldige getal moes met elke individuele simbool van die vermenigvuldiger vermenigvuldig word, wat gelei het tot verskeie produkte wat bygevoeg moes word. Dit is hoe polinome vermenigvuldig word.
Wat verdeling betref, was en bly hierdie proses in die Romeinse syferstelsel die moeilikste. Die antieke Romeinse telraam is hier gebruik. Om saam met hom te werk, is mense spesiaal opgelei (en nie elke persoon het dit reggekry om so 'n wetenskap te bemeester nie).
Oor die nadele van nie-posisionele stelsels
Soos hierbo genoem, het nie-posisionele nommerstelsels hul nadele, ongerief in gebruik. Unary is eenvoudig genoeg vir eenvoudige tel, maar vir rekenkundige en komplekse berekeninge is dit niegoed genoeg.
In Romeins is daar nie eenvormige reëls vir die vorming van groot getalle nie en verwarring ontstaan, en dit is ook baie moeilik om berekeninge daarin te maak. Die grootste getal wat die ou Romeine met hul metode kon neerskryf, was ook 100 000.
