'n Silinder is een van die eenvoudige driedimensionele figure wat in die skoolmeetkundekursus (seksie soliede meetkunde) bestudeer word. In hierdie geval ontstaan dikwels probleme met die berekening van die volume en massa van 'n silinder, sowel as in die bepaling van die oppervlakte daarvan. Antwoorde op die gemerkte vrae word in hierdie artikel gegee.
Wat is 'n silinder?
Voordat jy verder gaan met die antwoord op die vraag, wat is die massa van die silinder en sy volume, is dit die moeite werd om te oorweeg wat hierdie ruimtelike figuur is. Daar moet dadelik op gelet word dat 'n silinder 'n driedimensionele voorwerp is. Dit wil sê, in die ruimte kan jy drie van sy parameters langs elkeen van die asse in 'n Cartesiese reghoekige koördinaatstelsel meet. Trouens, om die afmetings van 'n silinder ondubbelsinnig te bepaal, is dit genoeg om net twee van sy parameters te ken.
Silinder is 'n driedimensionele figuur wat deur twee sirkels en 'n silindriese oppervlak gevorm word. Om hierdie voorwerp duideliker voor te stel, is dit genoeg om 'n reghoek te neem en dit om enige van sy sye te begin draai, wat die rotasie-as sal wees. In hierdie geval sal die roterende reghoek die vorm beskryfrotasie - silinder.
Twee ronde oppervlaktes word die basisse van die silinder genoem, hulle word gekenmerk deur 'n sekere radius. Die afstand tussen die basisse word die hoogte genoem. Die twee basisse is met mekaar verbind deur 'n silindriese oppervlak. Die lyn wat deur die middelpunte van beide sirkels gaan, word die as van die silinder genoem.
Volume en oppervlakte
Soos jy uit die bogenoemde kan sien, word die silinder gedefinieer deur twee parameters: die hoogte h en die radius van sy basis r. As u hierdie parameters ken, is dit moontlik om alle ander kenmerke van die oorweegse liggaam te bereken. Hieronder is die belangrikstes:
- Die area van die basisse. Hierdie waarde word bereken deur die formule: S1=2pir2, waar pi is pi gelyk aan 3, 14. Syfer 2 in formule verskyn omdat die silinder twee identiese basisse het.
- Silindriese oppervlakte. Dit kan soos volg bereken word: S2=2pirh. Dit is maklik om hierdie formule te verstaan: as 'n silindriese oppervlak vertikaal van een basis na 'n ander gesny en uitgebrei word, sal 'n reghoek verkry word waarvan die hoogte gelyk sal wees aan die hoogte van die silinder, en die breedte sal ooreenstem met die omtrek van die basis van die driedimensionele figuur. Aangesien die oppervlakte van die resulterende reghoek die produk is van sy sye, wat gelyk is aan h en 2pir, word die bogenoemde formule verkry.
- Silinder-oppervlakte. Dit is gelyk aan die som van die oppervlaktes van S1 en S2, ons kry: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Volume. Hierdie waarde is maklik om te vind, jy hoef net die oppervlakte van een basis te vermenigvuldig met die hoogte van die figuur: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Bepaling van die massa van 'n silinder
Uiteindelik is dit die moeite werd om direk na die onderwerp van die artikel te gaan. Hoe om die massa van 'n silinder te bepaal? Om dit te doen, moet jy die volume daarvan ken, die formule vir berekening wat hierbo aangebied is. En die digtheid van die stof waaruit dit bestaan. Die massa word bepaal deur 'n eenvoudige formule: m=ρV, waar ρ die digtheid is van die materiaal wat die betrokke voorwerp vorm.
Die konsep van digtheid kenmerk die massa van 'n stof wat in 'n eenheidsvolume van ruimte is. Byvoorbeeld. Dit is bekend dat yster 'n hoër digtheid as hout het. Dit beteken dat in die geval van gelyke volumes yster en houtmateriaal, eersgenoemde 'n baie groter massa as laasgenoemde sal hê (ongeveer 16 keer).
Bereken die massa van 'n kopersilinder
Oorweeg 'n eenvoudige probleem. Dit is nodig om die massa van 'n silinder gemaak van koper te vind. Vir beslistheid, laat die silinder 'n deursnee van 20 cm en 'n hoogte van 10 cm hê.
Voordat jy die probleem begin oplos, moet jy die brondata hanteer. Die radius van die silinder is gelyk aan die helfte van sy deursnee, wat beteken r=20/2=10 cm, terwyl die hoogte h=10 cm is. Aangesien die silinder wat in die probleem beskou word, van koper gemaak is, verwys dan na die verwysingsdata, skryf ons die digtheidswaarde van hierdie materiaal uit: ρ=8, 96 g/cm3 (vir temperatuur 20 °C).
Nou kan jy begin om die probleem op te los. Kom ons bereken eers die volume: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Dan sal die massa van die silinder wees: m=ρV=8.963140=28134 gram of ongeveer 28 kilogram.
Jy moet let op die dimensie van die eenhede tydens hul gebruik in die ooreenstemmende formules. Dus, in die probleem is alle parameters in sentimeter en gram aangebied.
Homogene en hol silinders
Uit die resultaat wat hierbo verkry is, kan gesien word dat 'n kopersilinder met relatief klein afmetings (10 cm) 'n groot massa (28 kg) het. Dit is nie net te danke aan die feit dat dit van swaar materiaal gemaak is nie, maar ook aan die feit dat dit homogeen is. Hierdie feit is belangrik om te verstaan, aangesien die formule hierbo vir die berekening van die massa slegs gebruik kan word as die silinder heeltemal (buite en binne) van dieselfde materiaal gemaak is, dit wil sê dit is homogeen.
In die praktyk word hol silinders dikwels gebruik (byvoorbeeld silindriese vate vir water). Dit wil sê, hulle is gemaak van dun velle van een of ander materiaal, maar binne is hulle leeg. Vir 'n hol silinder kan die aangeduide formule vir die berekening van die massa nie gebruik word nie.
Bereken die massa van 'n hol silinder
Dit is interessant om te bereken watter massa 'n kopersilinder sal hê as dit leeg is binne. Laat dit byvoorbeeld gemaak word van 'n dun koperplaat met 'n dikte van slegs d=2 mm.
Om hierdie probleem op te los, moet jy die volume van die koper self vind, waaruit die voorwerp gemaak is. Nie die volume van die silinder nie. Omdat die diktedie vel is klein in vergelyking met die afmetings van die silinder (d=2 mm en r=10 cm), dan kan die volume koper waaruit die voorwerp gemaak is gevind word deur die hele oppervlak van die silinder te vermenigvuldig met die dikte van die koperplaat kry ons: V=dS 3=d2pir(r+h). Deur die data van die vorige probleem te vervang, kry ons: V=0.223, 1410(10+10)=251.2 cm3. Die massa van 'n hol silinder kan verkry word deur die verkryde volume koper, wat benodig word vir die vervaardiging daarvan, te vermenigvuldig met die digtheid van koper: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g of 2,3 kg. Dit wil sê, die beskoude hol silinder weeg 12 (28, 1/2, 3) keer minder as 'n homogene een.
