Logaritmes: voorbeelde en oplossings

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2024-01-02 17:39

Soos jy weet, wanneer uitdrukkings met magte vermenigvuldig word, tel hulle eksponente altyd bymekaar (a^ba^c=a^{b+ c). Hierdie wiskundige wet is deur Archimedes afgelei, en later, in die 8ste eeu, het die wiskundige Virasen 'n tabel van heelgetalaanwysers geskep. Dit was hulle wat gedien het vir die verdere ontdekking van logaritmes. Voorbeelde van die gebruik van hierdie funksie kan byna oral gevind word waar dit nodig is om omslagtige vermenigvuldiging tot eenvoudige optelling te vereenvoudig. As jy 10 minute spandeer om hierdie artikel te lees, sal ons vir jou verduidelik wat logaritmes is en hoe om daarmee te werk. Eenvoudige en toeganklike taal.}

Definisie in wiskunde

Die logaritme is 'n uitdrukking van die volgende vorm: log_ab=c c" waarin jy die basis "a" moet verhoog om uiteindelik die waarde " te kry. b". Kom ons ontleed die logaritme deur voorbeelde te gebruik, kom ons sê daar is 'n uitdrukking log_{28. Hoe om die antwoord te vind? Dit is baie eenvoudig, jy moet so 'n graad vind dat jy van 2 tot die vereiste graad 8 kry. Nadat jy 'n paar berekeninge in jou gedagtes gedoen het, kry ons die getal 3! En dit is waar, want2 verhef tot die mag van 3 gee die antwoord 8.}

Variëteite van logaritmes

Vir baie leerlinge en studente lyk hierdie onderwerp ingewikkeld en onverstaanbaar, maar in werklikheid is logaritmes nie so skrikwekkend nie, die belangrikste ding is om hul algemene betekenis te verstaan en hul eienskappe en sommige reëls te onthou. Daar is drie afsonderlike soorte logaritmiese uitdrukkings:

1. Natuurlike logaritme ln a, waar die basis die Eulergetal is (e=2, 7).
2. Desimale logaritme lg a, waar die basis die getal 10 is.
3. Logaritme van enige getal b tot basis a>1.

Elkeen van hulle word op 'n standaard manier opgelos, insluitend vereenvoudiging, vermindering en daaropvolgende vermindering tot een logaritme deur logaritmiese stellings te gebruik. Om die korrekte waardes van logaritmes te verkry, moet 'n mens hul eienskappe en die volgorde van aksies in die oplossing daarvan onthou.

Reëls en sommige beperkings

In wiskunde is daar verskeie reëls-beperkings wat as 'n aksioma aanvaar word, dit wil sê, hulle is nie onderhandelbaar nie en is waar. Dit is byvoorbeeld onmoontlik om getalle deur nul te deel, en dit is ook onmoontlik om 'n ewe wortel uit negatiewe getalle te neem. Logaritmes het ook hul eie reëls, waarna jy maklik kan leer hoe om te werk, selfs met lang en ruim logaritmiese uitdrukkings:

• die basis van "a" moet altyd groter as nul wees, en terselfdertyd nie gelyk aan 1 wees nie, anders sal die uitdrukking sy betekenis verloor, want "1" en "0" in enige graad is altyd gelyk aan hul waardes;
• as 'n > 0, dan 'nb>0,dit blyk dat "c" ook groter as nul moet wees.

Hoe om logaritmes op te los?

Byvoorbeeld, gegewe die taak om die antwoord op die vergelyking 10^x=100 te vind. Dit is baie maklik, jy moet so 'n mag kies, deur die getal tien te verhoog, ons kry 100. Hierdie, natuurlik Wel, kwadratiese krag! 10^2=100.

Kom ons stel nou hierdie uitdrukking as 'n logaritmiese een voor. Ons kry log_{10100=2. Wanneer logaritmes opgelos word, konvergeer alle aksies feitlik om die mag te vind waartoe die basis van die logaritme ingevoer moet word om 'n gegewe getal te verkry.}

Om die waarde van 'n onbekende graad akkuraat te bepaal, moet jy leer hoe om met die graadtabel te werk. Dit lyk so:

Soos jy kan sien, kan sommige eksponente intuïtief geraai word as jy 'n tegniese ingesteldheid en kennis van die vermenigvuldigingstabel het. Groter waardes sal egter 'n kragtabel vereis. Dit kan selfs gebruik word deur diegene wat glad nie iets verstaan in komplekse wiskundige onderwerpe nie. Die linkerkolom bevat getalle (basis a), die boonste ry getalle is die waarde van die mag c, waartoe die getal a verhoog word. By die kruising definieer die selle die waardes van die getalle wat die antwoord is (ac=b). Kom ons neem byvoorbeeld die heel eerste sel met die getal 10 en vierkant dit, ons kry die waarde 100, wat aangedui word by die kruising van ons twee selle. Alles is so eenvoudig en maklik dat selfs die mees werklike humanis sal verstaan!

Vergelykings en ongelykhede

Dit blyk dat wanneerOnder sekere omstandighede is die eksponent die logaritme. Daarom kan enige wiskundige numeriese uitdrukkings as 'n logaritmiese vergelyking geskryf word. Byvoorbeeld, 3⁴=81 kan geskryf word as die logaritme van 81 tot basis 3, wat vier is (log₃81=4). Vir negatiewe grade is die reëls dieselfde: 2^-5=1/32 geskryf as 'n logaritme, ons kry log_{2 (1/32))=-5. Een van die mees fassinerende afdelings van wiskunde is die onderwerp van "logaritmes". Ons sal voorbeelde en oplossings van vergelykings 'n bietjie laer oorweeg, onmiddellik nadat ons hul eienskappe bestudeer het. Kom ons kyk vir eers hoe ongelykhede lyk en hoe om dit van vergelykings te onderskei.}

Die volgende uitdrukking word gegee: log_{2(x-1) > 3 - dit is 'n logaritmiese ongelykheid, aangesien die onbekende waarde "x" onder die teken van die logaritme. Die uitdrukking vergelyk ook twee waardes: die basis twee-logaritme van die verlangde getal is groter as die getal drie.}

Die belangrikste verskil tussen logaritmiese vergelykings en ongelykhede is dat vergelykings met logaritmes (voorbeeld - logaritme₂x=√9) _{impliseer in die antwoord een of meer spesifieke numeriese waardes, terwyl wanneer 'n ongelykheid opgelos word, beide die reeks aanvaarbare waardes en die breekpunte van hierdie funksie bepaal word. Gevolglik is die antwoord nie 'n eenvoudige stel individuele getalle, soos in die antwoord van die vergelyking nie, maar 'n aaneenlopende reeks of stel getalle.}

Basiese stellings oor logaritmes

Wanneer jy primitiewe take oplos om die waardes van die logaritme te vind, ken jy dalk nie die eienskappe daarvan nie. Wanneer dit egter by logaritmiese vergelykings of ongelykhede kom, is dit eerstens nodig om al die basiese eienskappe van logaritmes duidelik te verstaan en in die praktyk toe te pas. Ons sal later kennis maak met die voorbeelde van vergelykings, kom ons ontleed eers elke eienskap in meer besonderhede.

1. Die basiese identiteit lyk soos volg: alogaB=B. Dit geld slegs as a groter as 0 is, nie gelyk aan een nie, en B groter as nul is.
2. Die logaritme van die produk kan in die volgende formule voorgestel word: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{In hierdie geval is die verpligte voorwaarde: d, s}1 _{en s}2 _{> 0; a≠1. Jy kan 'n bewys gee vir hierdie formule van logaritmes, met voorbeelde en 'n oplossing. Laat teken}a_s1 _=f1 _{en teken}a_s 2_=f2_{, dan 'n}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Ons kry daardie s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(graad-eienskappe), en verder per definisie: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{wat bewys moes word.}
3. Die logaritme van die kwosiënt lyk soos volg: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.
4. Die stelling in die vorm van 'n formule neem die volgende vorm aan: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Hierdie formule word die "eienskap van die graad van die logaritme" genoem. Dit lyk soos die eienskappe van gewone grade, en dit is nie verbasend nie, want alle wiskunde berus op gereelde postulate. Kom ons kyk na die bewys.

Laat teken_ab=t, ons kry 'n^t=b. As jy albei kante ophef na die m-krag: a^tn=b^;

maar omdat 'n^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, vandaar log}aq _bn=(nt)/t, teken dan aan^a_q b_n=n/q log^ab. Stelling bewys.

Voorbeelde van probleme en ongelykhede

Die mees algemene tipes logaritmeprobleme is voorbeelde van vergelykings en ongelykhede. Hulle word in byna alle probleemboeke aangetref, en is ook ingesluit in die verpligte deel van eksamens in wiskunde. Om 'n universiteit te betree of toelatingstoetse in wiskunde te slaag, moet jy weet hoe om sulke probleme korrek op te los.

Ongelukkig is daar geen enkele plan of skema om die onbekende waarde van die logaritme op te los en te bepaal nie, maar sekere reëls kan op elke wiskundige ongelykheid of logaritmiese vergelyking toegepas word. Eerstens moet u uitvind of die uitdrukking vereenvoudig of tot 'n algemene vorm gereduseer kan word. Jy kan lang logaritmiese uitdrukkings vereenvoudig as jy hul eienskappe korrek gebruik. Kom ons leer hulle binnekort ken.

Wanneer jy logaritmiese vergelykings oplos,dit is nodig om te bepaal watter soort logaritme ons voor ons het: 'n voorbeeld van 'n uitdrukking kan 'n natuurlike logaritme of 'n desimale een bevat.

Hier is voorbeelde van desimale logaritmes: ln100, ln1026. Hul oplossing kom daarop neer dat jy moet bepaal tot watter mate die basis 10 gelyk sal wees aan 100 en 1026, onderskeidelik. Vir oplossings van natuurlike logaritmes moet 'n mens logaritmiese identiteite of hul eienskappe toepas. Kom ons kyk na voorbeelde van die oplossing van logaritmiese probleme van verskillende tipes.

Hoe om logaritmeformules te gebruik: met voorbeelde en oplossings

So, kom ons kyk na voorbeelde van die gebruik van die hoofstellings oor logaritmes.

1. Die eienskap van die logaritme van die produk kan gebruik word in take waar dit nodig is om 'n groot waarde van die getal b in eenvoudiger faktore te ontbind. Byvoorbeeld, log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Die antwoord is 9.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - soos jy kan sien, deur die vierde eienskap van die graad van die logaritme toe te pas, het ons met die eerste oogopslag daarin geslaag om op te los 'n komplekse en onoplosbare uitdrukking. Al wat jy hoef te doen is om die basis te faktoriseer en dan die krag uit die teken van die logaritme te haal.}

Opdragte van die eksamen

Logaritmes word dikwels in toelatingseksamens gevind, veral baie logaritmiese probleme in die Unified State Examination (staatseksamen vir alle skoolgegradueerdes). Gewoonlik is hierdie take teenwoordig nie net in deel A (die meestemaklike toetsdeel van die eksamen), maar ook in deel C (die moeilikste en lywigste take). Die eksamen vereis 'n akkurate en perfekte kennis van die onderwerp "Natuurlike logaritmes".

Voorbeelde en probleemoplossings is geneem uit die amptelike weergawes van die eksamen. Kom ons kyk hoe sulke take opgelos word.

Gegewe log₂(2x-1)=4. Oplossing:

skryf die uitdrukking oor en vereenvoudig dit 'n bietjie log_2(2x-1)=22^{, volgens die definisie van die logaritme kry ons dat 2x-1=2}4^{, dus 2x=17; x=8, 5.}

Volg 'n paar riglyne, waarna jy maklik alle vergelykings kan oplos wat uitdrukkings bevat wat onder die teken van die logaritme is.

• Dit is die beste om alle logaritmes tot dieselfde basis te verminder sodat die oplossing nie omslagtig en verwarrend is nie.
• Alle uitdrukkings onder die logaritmeteken word as positief aangedui, dus wanneer die eksponent van die uitdrukking wat onder die logaritmeteken en as sy basis is vermenigvuldig, moet die uitdrukking wat onder die logaritme bly, positief wees.