Matrikse en determinante is in die agtiende en negentiende eeu ontdek. Aanvanklik het hulle ontwikkeling betrekking gehad op die transformasie van meetkundige voorwerpe en die oplossing van stelsels lineêre vergelykings. Histories was die vroeë klem op die determinant. In moderne lineêre algebra-verwerkingsmetodes word matrikse eerste oorweeg. Dit is die moeite werd om 'n rukkie oor hierdie vraag te dink.
Antwoorde uit hierdie gebied van kennis
Matrikse bied 'n teoreties en prakties nuttige manier om baie probleme op te los, soos:
- stelsels lineêre vergelykings;
- ewewig van vaste stowwe (in fisika);
- grafiekteorie;
- Leontief se ekonomiese model;
- bosbou;
- rekenaargrafika en tomografie;
- genetika;
- kriptografie;
- elektriese netwerke;
- fractal.
Trouens, matriksalgebra vir "dummies" het 'n vereenvoudigde definisie. Dit word soos volg uitgedruk: dit is 'n wetenskaplike kennisveld waarindie betrokke waardes word bestudeer, ontleed en volledig ondersoek. In hierdie afdeling van algebra word verskeie bewerkings op die matrikse wat bestudeer word bestudeer.
Hoe om met matrikse te werk
Hierdie waardes word as gelyk beskou as hulle dieselfde afmetings het en elke element van die een gelyk is aan die ooreenstemmende element van die ander. Dit is moontlik om 'n matriks met enige konstante te vermenigvuldig. Hierdie gegewe word skalêre vermenigvuldiging genoem. Voorbeeld: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matrikse van dieselfde grootte kan opgetel en afgetrek word deur insette, en waardes van versoenbare groottes kan vermenigvuldig word. Voorbeeld: tel twee A en B by: A=[21−10]B=[1423]. Dit is moontlik omdat A en B albei matrikse met twee rye en dieselfde aantal kolomme is. Dit is nodig om elke element in A by die ooreenstemmende element in B te voeg: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matrikse word op dieselfde manier in algebra afgetrek.
Matriksvermenigvuldiging werk 'n bietjie anders. Boonop kan daar baie gevalle en opsies wees, sowel as oplossings. As ons die matriks Apq en Bmn vermenigvuldig, dan is die produk Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Die inskrywing in die gde ry en die hde kolom van AB is die som van die produk van die ooreenstemmende inskrywings in g A en h B. Dit is slegs moontlik om twee matrikse te vermenigvuldig as die aantal kolomme in die eerste en rye in die tweede gelyk is. Voorbeeld: voldoen aan die voorwaarde vir beskou A en B: A=[1−130]B=[2−11214]. Dit is moontlik omdat die eerste matriks 2 kolomme bevat en die tweede 2 rye. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Basiese inligting oor matrikse
Die betrokke waardes organiseer inligting soos veranderlikes en konstantes en stoor dit in rye en kolomme, gewoonlik genoem C. Elke posisie in die matriks word 'n element genoem. Voorbeeld: C=[1234]. Bestaan uit twee rye en twee kolomme. Element 4 is in ry 2 en kolom 2. Jy kan gewoonlik 'n matriks na sy afmetings noem, die een met die naam Cmk het m rye en k kolomme.
Uitgebreide matrikse
Oorwegings is ongelooflik nuttige dinge wat in baie verskillende toepassingsgebiede na vore kom. Matrikse was oorspronklik gebaseer op stelsels lineêre vergelykings. Gegewe die volgende struktuur van ongelykhede, moet die volgende aangevulde matriks in ag geneem word:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Skryf koëffisiënte en antwoordwaardes neer, insluitend alle minustekens. As die element met 'n negatiewe getal, dan sal dit gelyk wees aan "1". Dit wil sê, gegewe 'n stelsel van (lineêre) vergelykings, is dit moontlik om 'n matriks (rooster van getalle binne hakies) daarmee te assosieer. Dit is die een wat slegs die koëffisiënte van die lineêre stelsel bevat. Dit word die "uitgebreide matriks" genoem. Die rooster wat die koëffisiënte van die linkerkant van elke vergelyking bevat, is "opgevuld" met die antwoorde van die regterkant van elke vergelyking.
Rekords, dit wil sêdie B-waardes van die matriks stem ooreen met die x-, y- en z-waardes in die oorspronklike stelsel. As dit behoorlik gerangskik is, kontroleer dit dan eers. Soms moet jy die terme herrangskik of nulle as plekhouers invoeg in die matriks wat bestudeer of bestudeer word.
Gegewe die volgende stelsel van vergelykings, kan ons dadelik die gepaardgaande vergrote matriks skryf:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Eers, maak seker dat jy die stelsel herrangskik as:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Dan is dit moontlik om die geassosieerde matriks te skryf as: [11000113-1012]. Wanneer 'n uitgebreide een gevorm word, is dit die moeite werd om nul te gebruik vir enige rekord waar die ooreenstemmende kol in die stelsel lineêre vergelykings leeg is.
Matrix Algebra: Eienskappe van bedrywighede
As dit nodig is om elemente slegs uit koëffisiëntwaardes te vorm, sal die oorweegde waarde soos volg lyk: [110011-101]. Dit word die "koëffisiëntmatriks" genoem.
Met die volgende uitgebreide matriksalgebra in ag neem, is dit nodig om dit te verbeter en die gepaardgaande lineêre stelsel by te voeg. Dit gesê, dit is belangrik om te onthou dat hulle vereis dat die veranderlikes goed gerangskik en netjies moet wees. En gewoonlik wanneer daar drie veranderlikes is, gebruik x, y en z in daardie volgorde. Daarom moet die geassosieerde lineêre stelsel wees:
x + 3y=4
2j - z=5
3x + z=-2.
Matriksgrootte
Dikwels word na die betrokke items verwys deur hul prestasie. Die grootte van 'n matriks in algebra word gegee asafmetings, aangesien die kamer anders genoem kan word. Gemeet mates van waardes is rye en kolomme, nie breedte en lengte nie. Byvoorbeeld, matriks A:
[1234]
[2345]
[3456].
Aangesien A drie rye en vier kolomme het, is die grootte van A 3 × 4.
→
↓
Lyne gaan sywaarts. Die kolomme gaan op en af. "Ry" en "kolom" is spesifikasies en is nie uitruilbaar nie. Matriksgroottes word altyd gespesifiseer met die aantal rye en dan die aantal kolomme. Na aanleiding van hierdie konvensie, die volgende B:
[123]
[234] is 2 × 3. As 'n matriks dieselfde aantal rye as kolomme het, word dit 'n "vierkant" genoem. Byvoorbeeld, koëffisiëntwaardes van bo af:
[110]
[011]
[-101] is 'n 3×3 vierkantige matriks.
Matriksnotasie en -formatering
Formatering van nota: Wanneer jy byvoorbeeld 'n matriks moet skryf, is dit belangrik om hakies te gebruik. Absolute waardebalke || word nie gebruik nie omdat hulle 'n ander rigting in hierdie konteks het. Hakies of krulhakies {} word nooit gebruik nie. Of 'n ander groepsimbool, of glad nie, aangesien hierdie aanbiedings geen betekenis het nie. In algebra is 'n matriks altyd binne vierkantige hakies. Slegs korrekte notasie moet gebruik word, anders kan antwoorde as verdraaid beskou word.
Soos vroeër genoem, word die waardes wat in 'n matriks vervat is, rekords genoem. Om watter rede ook al, word die betrokke elemente gewoonlik geskryfhoofletters, soos A of B, en inskrywings word gespesifiseer met die ooreenstemmende kleinletters, maar met onderskrifte. In matriks A word die waardes gewoonlik "ai, j" genoem, waar i die ry van A is en j die kolom van A. Byvoorbeeld, a3, 2=8. Die inskrywing vir a1, 3 is 3.
Vir kleiner matrikse, dié met minder as tien rye en kolomme, word die onderskrifkomma soms weggelaat. Byvoorbeeld, "a1, 3=3" kan geskryf word as "a13=3". Dit sal natuurlik nie vir groot matrikse werk nie, aangesien 'n213 duister sal wees.
Matrikstipes
Soms geklassifiseer volgens hul rekordkonfigurasies. Byvoorbeeld, so 'n matriks wat alle nul-inskrywings onder die diagonaal bo-links-onder-regs "diagonaal" het, word boonste driehoek genoem. Daar kan onder meer ander soorte en tipes wees, maar dit is nie baie nuttig nie. Oor die algemeen word dit meestal as boonste driehoekig beskou. Waardes met nie-nul eksponente slegs horisontaal word diagonale waardes genoem. Soortgelyke tipes het nie-nul inskrywings waarin almal 1 is, sulke antwoorde word identies genoem (om redes wat duidelik sal word wanneer dit geleer word en verstaan word hoe om die betrokke waardes te vermenigvuldig). Daar is baie soortgelyke navorsingsaanwysers. Die 3 × 3 identiteit word aangedui deur I3. Net so is die 4 × 4-identiteit I4.
Matriksalgebra en lineêre ruimtes
Let op dat driehoekige matrikse vierkantig is. Maar die hoeklyne is driehoekig. In die lig hiervan is hullevierkantig. En identiteite word as diagonale beskou en dus driehoekig en vierkantig. Wanneer dit vereis word om 'n matriks te beskryf, spesifiseer 'n mens gewoonlik eenvoudig jou eie mees spesifieke klassifikasie, aangesien dit al die ander impliseer. Klassifiseer die volgende navorsingsopsies:as 3 × 4. In hierdie geval is hulle nie vierkantig nie. Daarom kan die waardes niks anders wees nie. Die volgende klassifikasie:is moontlik as 3 × 3. Maar dit word as 'n vierkant beskou, en daar is niks besonders daaraan nie. Klassifikasie van die volgende data:as 3 × 3 boonste driehoek, maar dit is nie diagonaal nie. Dit is waar, in die waardes wat oorweeg word, kan daar addisionele nulle op of bo die geleë en aangeduide spasie wees. Die klassifikasie wat bestudeer word is verder: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], waar dit as 'n diagonaal voorgestel word en bowendien is die inskrywings almal 1. Dit is dan 'n 3 × 3 identiteit, I3.
Aangesien analoge matrikse per definisie vierkantig is, hoef jy net 'n enkele indeks te gebruik om hul afmetings te vind. Vir twee matrikse om gelyk te wees, moet hulle dieselfde parameter hê en dieselfde inskrywings op dieselfde plekke hê. Gestel byvoorbeeld daar is twee elemente wat oorweeg word: A=[1 3 0] [-2 0 0] en B=[1 3] [-2 0]. Hierdie waardes kan nie dieselfde wees nie, aangesien hulle verskillend in grootte is.
Selfs al is A en B: A=[3 6] [2 5] [1 4] en B=[1 2 3] [4 5 6] - hulle is steeds nie dieselfde nie dieselfde ding. A en B het elkses inskrywings en het ook dieselfde nommers, maar dit is nie genoeg vir matrikse nie. A is 3×2. En B is 'n 2×3-matriks A vir 3×2 is nie 2×3 nie. Dit maak nie saak of A en B dieselfde hoeveelheid data of selfs dieselfde getalle as die rekords het nie. As A en B nie dieselfde grootte en vorm is nie, maar identiese waardes op soortgelyke plekke het, is hulle nie gelyk nie.
Soortgelyke bedrywighede in die gebied wat oorweeg word
Hierdie eienskap van matriksgelykheid kan omskep word in take vir onafhanklike navorsing. Byvoorbeeld, twee matrikse word gegee, en dit word aangedui dat hulle gelyk is. In hierdie geval sal jy hierdie gelykheid moet gebruik om die waardes van die veranderlikes te verken en antwoorde te kry.
Voorbeelde en oplossings van matrikse in algebra kan gevarieer word, veral wanneer dit by gelykhede kom. Aangesien die volgende matrikse oorweeg word, is dit nodig om die x- en y-waardes te vind. Vir A en B om gelyk te wees, moet hulle dieselfde grootte en vorm wees. Trouens, hulle is so, want elkeen van hulle is 2 × 2 matrikse. En hulle moet dieselfde waardes op dieselfde plekke hê. Dan moet a1, 1 gelyk wees aan b1, 1, a1, 2 moet gelyk wees aan b1, 2, ensovoorts. Maar, a1, 1=1 is natuurlik nie gelyk aan b1 nie, 1=x. Vir A om identies aan B te wees, moet die inskrywing a1, 1=b1, 1 hê, dus kan dit 1=x wees. Net so is die indekse a2, 2=b2, 2, dus 4=y. Dan is die oplossing: x=1, y=4. Gegee dat die volgendematrikse gelyk is, moet jy die waardes van x, y en z vind. Om A=B te hê, moet die koëffisiënte alle inskrywings gelyk hê. Dit wil sê, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 ensovoorts. Moet veral:
4=x
-2=j + 4
3=z / 3.
Soos jy kan sien uit die geselekteerde matrikse: met 1, 1-, 2, 2- en 3, 1-elemente. Deur hierdie drie vergelykings op te los, kry ons die antwoord: x=4, y=-6 en z=9. Matriksalgebra en matriksbewerkings verskil van waaraan almal gewoond is, maar hulle is nie reproduseerbaar nie.
Bykomende inligting in hierdie area
Lineêre matriksalgebra is die studie van soortgelyke stelle vergelykings en hul transformasie-eienskappe. Hierdie kennisveld stel jou in staat om rotasies in die ruimte te ontleed, kleinste vierkante te benader, geassosieerde differensiaalvergelykings op te los, 'n sirkel te bepaal wat deur drie gegewe punte gaan, en baie ander probleme in wiskunde, fisika en tegnologie op te los. Die lineêre algebra van 'n matriks is nie regtig die tegniese betekenis van die woord wat gebruik word nie, dit wil sê 'n vektorruimte v oor 'n veld f, ens.
Matriks en determinant is uiters nuttige lineêre algebra-instrumente. Een van die sentrale take is die oplossing van die matriksvergelyking Ax=b, vir x. Alhoewel dit teoreties opgelos kan word deur die inverse x=A-1 b. Ander metodes, soos Gaussiese eliminasie, is numeries meer betroubaar.
Benewens die gebruik om die studie van lineêre stelle vergelykings te beskryf, is die gespesifiseerdebogenoemde term word ook gebruik om 'n sekere tipe algebra te beskryf. In die besonder, L oor 'n veld F het die struktuur van 'n ring met al die gewone aksiomas vir interne optelling en vermenigvuldiging, tesame met distributiewe wette. Daarom gee dit dit meer struktuur as 'n ring. Lineêre matriksalgebra laat ook 'n buitenste bewerking van vermenigvuldiging met skalare toe wat elemente van die onderliggende veld F is. Byvoorbeeld, die versameling van alle beskoude transformasies vanaf 'n vektorruimte V na homself oor 'n veld F word oor F gevorm. Nog 'n voorbeeld van lineêre algebra is die versameling van alle reële vierkante matrikse oor 'n veld R reële getalle.
