Heksagonale prisma en sy hoofkenmerke

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2024-01-02 17:39

Ruimtelike meetkunde is die studie van prismas. Hul belangrike kenmerke is die volume daarin, die oppervlakte en die aantal samestellende elemente. In die artikel sal ons al hierdie eienskappe vir 'n seskantige prisma oorweeg.

Van watter prisma praat ons?

'n Seskantige prisma is 'n figuur wat gevorm word deur twee veelhoeke met ses sye en ses hoeke, en ses parallelogramme wat die gemerkte seshoeke in 'n enkele geometriese formasie verbind.

Die figuur toon 'n voorbeeld van hierdie prisma.

Die seshoek wat in rooi gemerk is, word die basis van die figuur genoem. Dit is duidelik dat die getal van sy basisse gelyk is aan twee, en albei is identies. Die geel-groen vlakke van 'n prisma word sy sye genoem. In die figuur word hulle deur vierkante voorgestel, maar oor die algemeen is dit parallelogramme.

Die seskantige prisma kan skuins en reguit wees. In die eerste geval is die hoeke tussen die basis en die sye nie reguit nie, in die tweede geval is hulle gelyk aan 90o. Hierdie prisma kan ook korrek en verkeerd wees. Gereelde seskantigedie prisma moet reguit wees en 'n gereelde seshoek aan die basis hê. Die bogenoemde prisma in die figuur voldoen aan hierdie vereistes, dus word dit korrek genoem. Verder in die artikel sal ons slegs die eienskappe daarvan bestudeer, as 'n algemene geval.

Elements

Vir enige prisma is sy hoofelemente rande, vlakke en hoekpunte. Die seskantige prisma is geen uitsondering nie. Die figuur hierbo laat jou toe om die aantal van hierdie elemente te tel. Dus, ons kry 8 vlakke of sye (twee basisse en ses laterale parallelogramme), die aantal hoekpunte is 12 (6 hoekpunte vir elke basis), die aantal rande van 'n seskantige prisma is 18 (ses laterale en 12 vir die basisse).

In die 1750's het Leonhard Euler ('n Switserse wiskundige) vir alle veelvlakke, wat 'n prisma insluit, 'n wiskundige verwantskap tussen die getalle van die aangeduide elemente vasgestel. Hierdie verhouding lyk soos volg:

aantal rande=aantal vlakke + aantal hoekpunte - 2.

Bogenoemde syfers voldoen aan hierdie formule.

Prisma-hoeklyne

Alle hoeklyne van 'n seskantige prisma kan in twee tipes verdeel word:

• die wat in die vlakke van sy gesigte lê;
• dié wat tot die hele volume van die figuur behoort.

Die prent hieronder wys al hierdie hoeklyne.

Dit kan gesien word dat D₁ die syskuins is, D₂ en D₃ is die hoeklyne die hele prisma, D₄ en D_{5 - die hoeklyne van die basis.}

Die lengtes van die hoeklyne van die sye is gelyk aan mekaar. Dit is maklik om hulle te bereken deur die bekende Pythagoras-stelling te gebruik. Laat a die lengte van die sy van die seshoek wees, b die lengte van die syrand. Dan het die diagonaal lengte:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonal D₄ is ook maklik om te bepaal. As ons onthou dat 'n reëlmatige seshoek in 'n sirkel met radius a pas, dan is D_{4 die deursnee van hierdie sirkel, dit wil sê, ons kry die volgende formule:}

D_4=2a.

Diagonale D₅basisse is ietwat moeiliker om te vind. Om dit te doen, oorweeg 'n gelyksydige driehoek ABC (sien Fig.). Vir hom is AB=BC=a, die hoek ABC is 120^{o. As ons die hoogte vanaf hierdie hoek verlaag (dit sal ook die middellyn en mediaan wees), dan sal die helfte van die AC-basis gelyk wees aan:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Die AC-kant is die diagonaal van D_{5, so ons kry:}

D_5=AC=√3a.

Nou bly dit om die hoeklyne D₂en D_{3van 'n gereelde seskantige prisma te vind. Om dit te doen, moet jy sien dat hulle die skuinssy van die ooreenstemmende reghoekige driehoeke is. Deur die Pythagoras-stelling te gebruik, kry ons:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Dus, die grootste diagonaal vir enige waardes van a en b isD_2.

Opervlakte

Om te verstaan wat op die spel is, is die maklikste manier om die ontwikkeling van hierdie prisma te oorweeg. Dit word in die prentjie gewys.

Dit kan gesien word dat om die oppervlakte van alle kante van die figuur wat oorweeg word te bepaal, dit nodig is om die oppervlakte van die vierhoek en die oppervlakte van die seshoek afsonderlik te bereken, en dan te vermenigvuldig deur die ooreenstemmende heelgetalle gelyk aan die getal van elke n-gon in die prisma, en voeg die resultate by. Seshoeke 2, reghoeke 6.

Vir die oppervlakte van 'n reghoek kry ons:

S_1=ab.

Dan is die sy-oppervlakte:

S_2=6ab.

Om die oppervlakte van 'n seshoek te bepaal, is die maklikste manier om die ooreenstemmende formule te gebruik, wat lyk soos:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Deur die getal n gelyk aan 6 in hierdie uitdrukking te vervang, kry ons die oppervlakte van een seshoek:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Hierdie uitdrukking moet met twee vermenigvuldig word om die oppervlakte van die basisse van die prisma te kry:

S_os=3√3a^2.

Dit bly nog om S_os en S_{2 by te voeg om die totale oppervlakte van die figuur te kry:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Prism volume

Na die formule viroppervlakte van 'n seskantige basis, die berekening van die volume in die betrokke prisma is so maklik soos om pere te dop. Om dit te doen, moet jy net die oppervlakte van die beenbasis (seshoek) vermenigvuldig met die hoogte van die figuur, waarvan die lengte gelyk is aan die lengte van die syrand. Ons kry die formule:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Let daarop dat die produk van die basis en die hoogte die waarde gee van die volume van absoluut enige prisma, insluitend die skuins een. In laasgenoemde geval is die berekening van die hoogte egter ingewikkeld, aangesien dit nie meer gelyk sal wees aan die lengte van die syrib nie. Wat 'n gereelde seskantige prisma betref, is die waarde van sy volume 'n funksie van twee veranderlikes: sye a en b.