Prism is 'n veelvlak of veelvlak, wat in die skoolkursus van soliede meetkunde bestudeer word. Een van die belangrike eienskappe van hierdie veelvlak is sy volume. Kom ons kyk in die artikel hoe hierdie waarde bereken kan word, en gee ook die formules vir die volume van prismas - gereeld vierhoekig en seskantig.
Prism in stereometrie
Hierdie figuur word verstaan as 'n veelvlak, wat bestaan uit twee identiese veelhoeke wat in parallelle vlakke geleë is, en uit verskeie parallelogramme. Vir sekere soorte prismas kan parallelogramme reghoekige vierhoeke of vierkante verteenwoordig. Hieronder is 'n voorbeeld van 'n sogenaamde vyfhoekige prisma.
Om 'n figuur soos in die figuur hierbo te bou, moet jy 'n vyfhoek neem en sy parallelle oordrag tot 'n sekere afstand in die ruimte uitvoer. Deur die sye van twee vyfhoeke met parallellogramme te verbind, kry ons die verlangde prisma.
Elke prisma bestaan uit vlakke, hoekpunte en rande. Die hoekpunte van die prismaanders as die piramide, gelyk is, verwys elkeen van hulle na een van die twee basisse. Vlakke en rande is van twee tipes: dié wat aan die basisse behoort en dié wat aan die sye behoort.
Prisms is van verskeie tipes (korrek, skuins, konveks, reguit, konkaaf). Kom ons kyk later in die artikel met watter formule die volume van 'n prisma bereken word, met inagneming van die vorm van die figuur.
Algemene uitdrukking vir die bepaling van die volume van 'n prisma
Ongeag van watter tipe die figuur wat bestudeer word, behoort, of dit reguit of skuins, gereeld of onreëlmatig is, is daar 'n universele uitdrukking wat jou toelaat om die volume daarvan te bepaal. Die volume van 'n ruimtelike figuur is die area van die ruimte wat tussen sy vlakke ingesluit is. Die algemene formule vir die volume van 'n prisma is:
V=So × h.
Hier So verteenwoordig die oppervlakte van die basis. Daar moet onthou word dat ons van een basis praat, en nie van twee nie. Die h-waarde is die hoogte. Die hoogte van die figuur wat bestudeer word, word verstaan as die afstand tussen sy identiese basisse. As hierdie afstand saamval met die lengtes van die syribbe, dan praat mens van 'n reguit prisma. In 'n reguit figuur is alle sye reghoeke.
Dus, as 'n prisma skuins is en 'n onreëlmatige basispoligoon het, word die berekening van sy volume meer ingewikkeld. As die syfer reguit is, word die berekening van die volume slegs verminder tot die bepaling van die oppervlakte van die basis So.
Bepaal die volume van 'n gewone figuur
Reëlmatig is enige prisma wat reguit is en 'n veelhoekige basis het met sye en hoeke gelyk aan mekaar. Sulke reëlmatige veelhoeke is byvoorbeeld 'n vierkant en 'n gelyksydige driehoek. Terselfdertyd is 'n ruit nie 'n reëlmatige figuur nie, aangesien nie al sy hoeke gelyk is nie.
Die formule vir die volume van 'n reëlmatige prisma volg ondubbelsinnig uit die algemene uitdrukking vir V, wat in die vorige paragraaf van die artikel geskryf is. Voordat u voortgaan om die ooreenstemmende formule te skryf, is dit nodig om die oppervlakte van die korrekte basis te bepaal. Sonder om in wiskundige besonderhede in te gaan, bied ons die formule aan vir die bepaling van die aangeduide area. Dit is universeel vir enige gewone n-gon en het die volgende vorm:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Soos jy uit die uitdrukking kan sien, is die area Sn 'n funksie van twee parameters. 'n Heelgetal n kan waardes van 3 tot oneindig neem. Die waarde a is die lengte van die sy van die n-hoek.
Om die volume van 'n figuur te bereken, is dit net nodig om die oppervlakte S te vermenigvuldig met die hoogte h of met die lengte van die syrand b (h=b). Gevolglik kom ons by die volgende werksformule uit:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Let op dat om die volume van 'n prisma van 'n arbitrêre tipe te bepaal, jy verskeie hoeveelhede moet ken (lengtes van die sye van die basis, hoogte, tweehoekige hoeke van die figuur), maar om die waarde V van te bereken 'n reëlmatige prisma, hoef ons net twee lineêre parameters te ken, byvoorbeeld, a en h.
Die volume van 'n vierhoekige reëlmatige prisma
'n Vierhoekige prisma word 'n parallelepiped genoem. As al sy vlakke gelyk is en vierkante is, sal so 'n figuur 'n kubus wees. Elke student weet dat die volume van 'n reghoekige parallelepiped of kubus bepaal word deur sy drie verskillende sye (lengte, hoogte en breedte) te vermenigvuldig. Hierdie feit volg uit die geskrewe algemene bundeluitdrukking vir 'n reëlmatige figuur:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Hier is die kotangens van 45° gelyk aan 1. Let daarop dat die gelykheid van die hoogte h en die lengte van die sy van die basis a outomaties lei tot die formule vir die volume van 'n kubus.
Volume van seskantige reëlmatige prisma
Pas nou die teorie hierbo toe om die volume van 'n figuur met 'n seskantige basis te bepaal. Om dit te doen, moet jy net die waarde n=6 in die formule vervang:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Die geskrewe uitdrukking kan onafhanklik verkry word sonder om die universele formule vir S te gebruik. Om dit te doen, moet jy die reëlmatige seshoek in ses gelyksydige driehoeke verdeel. Die sy van elkeen van hulle sal gelyk wees aan a. Die oppervlakte van een driehoek stem ooreen met:
S3=√3/4 × a2.
Vermenigvuldig hierdie waarde met die aantal driehoeke (6) en met die hoogte, kry ons die formule hierbo vir die volume.
