Hoe om die oppervlakte van 'n piramide te bereken: basis, sy en vol?

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2023-12-17 05:14

Wanneer hulle vir die eksamen in wiskunde voorberei, moet studente hul kennis van algebra en meetkunde sistematiseer. Ek wil graag alle bekende inligting kombineer, byvoorbeeld hoe om die oppervlakte van 'n piramide te bereken. Verder, vanaf die basis en syvlakke na die hele oppervlak. As die situasie duidelik is met die syvlakke, aangesien dit driehoeke is, dan is die basis altyd anders.

Hoe om die area van die basis van die piramide te vind?

Dit kan absoluut enige vorm wees: van 'n arbitrêre driehoek tot 'n n-gon. En hierdie basis, benewens die verskil in die aantal hoeke, kan 'n gereelde figuur of 'n verkeerde een wees. In die GEBRUIK-take wat vir skoolkinders van belang is, is daar slegs take met die korrekte syfers aan die basis. Daarom sal ons net oor hulle praat.

Gereelde Driehoek

Dit is gelyksydig. Een waarin alle sye gelyk is en met die letter "a" aangedui word. In hierdie geval word die oppervlakte van die basis van die piramide bereken deur die formule:

S=(a2√3) / 4.

Square

Die formule vir die berekening van sy oppervlakte is die eenvoudigste,hier is "a" weer die kant:

S=a2.

Arbitrêre gereelde n-gon

Die sy van 'n veelhoek het dieselfde benaming. Vir die aantal hoeke word die Latynse letter n gebruik.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

Hoe om sy- en totale oppervlakte te bereken?

Aangesien die basis 'n gereelde figuur is, is alle kante van die piramide gelyk. Verder is elkeen van hulle 'n gelykbenige driehoek, aangesien die syrande gelyk is. Dan, om die laterale area van die piramide te bereken, benodig jy 'n formule wat bestaan uit die som van identiese monomiale. Die aantal terme word bepaal deur die aantal sye van die basis.

Die oppervlakte van 'n gelykbenige driehoek word bereken deur die formule waarin die helfte van die produk van die basis met die hoogte vermenigvuldig word. Hierdie hoogte in die piramide word apotem genoem. Die benaming daarvan is "A". Die algemene formule vir sy-oppervlakte is:

S=½ PA, waar P die omtrek van die basis van die piramide is.

Daar is situasies wanneer die sye van die basis nie bekend is nie, maar die syrande (c) en die plat hoek by sy hoekpunt (α) word gegee. Dan is dit veronderstel om hierdie formule te gebruik om die laterale area van die piramide te bereken:

S=n/2in2 sin α.

Probleem 1

Toestand. Vind die totale oppervlakte van die piramide as sy basis 'n gelyksydige driehoek met 'n sy van 4 cm is, en die apoteem is √3 cm.

Besluit. SyneJy moet begin deur die omtrek van die basis te bereken. Aangesien dit 'n gereelde driehoek is, dan is P \u003d 34 \u003d 12 cm. Aangesien die apotem bekend is, kan jy dadelik die oppervlakte van die hele syoppervlak bereken: ½12√3=6 √3 cm 2.

Vir 'n driehoek by die basis kry jy die volgende oppervlaktewaarde: (4²√3) / 4=4√3 cm^2.

Om die totale oppervlakte te bepaal, moet jy die twee resulterende waardes bytel: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.

Antwoord. 10√3cm2.

Probleem 2

Toestand. Daar is 'n gereelde vierhoekige piramide. Die lengte van die kant van die basis is 7 mm, die syrand is 16 mm. Jy moet sy oppervlakte ken.

Besluit. Aangesien die veelvlak vierhoekig en gereeld is, is die basis daarvan 'n vierkant. Nadat u die oppervlaktes van die basis- en syvlakke geleer het, sal dit moontlik wees om die oppervlakte van die piramide te bereken. Die formule vir die vierkant word hierbo gegee. En by die syvlakke is alle sye van die driehoek bekend. Daarom kan jy Heron se formule gebruik om hul oppervlaktes te bereken.

Die eerste berekeninge is eenvoudig en lei tot hierdie getal: 49 mm². Vir die tweede waarde sal jy die semi-omtrek moet bereken: (7 + 162): 2=19,5 mm. Nou kan jy die oppervlakte van 'n gelykbenige driehoek bereken: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)²)=√2985.9375=54.644 mm ^{2. Daar is net vier sulke driehoeke, so wanneer jy die finale getal bereken, sal jy dit met 4 moet vermenigvuldig.}

Dit blyk: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Antwoord. Gewenste waarde 267 576mm2.

Probleem 3

Toestand. Vir 'n gereelde vierhoekige piramide moet jy die oppervlakte bereken. Dit ken die sy van die vierkant - 6 cm en die hoogte - 4 cm.

Besluit. Die maklikste manier is om die formule te gebruik met die produk van die omtrek en die apotem. Die eerste waarde is maklik om te vind. Die tweede is 'n bietjie moeiliker.

Ons sal die Pythagoras-stelling moet onthou en 'n reghoekige driehoek moet oorweeg. Dit word gevorm deur die hoogte van die piramide en die apoteem, wat die skuinssy is. Die tweede been is gelyk aan die helfte van die sy van die vierkant, aangesien die hoogte van die veelvlak in sy middel val.

Die verlangde apoteem (die skuinssy van 'n reghoekige driehoek) is √(3² + 4^{2)=5 (cm).}

Nou kan jy die vereiste waarde bereken: ½(46)5+6²=96 (sien^2).

Antwoord. 96 cm2.

Probleem 4

Toestand. Gegee 'n gereelde seskantige piramide. Die sye van sy basis is 22 mm, die syribbe is 61 mm. Wat is die laterale oppervlakte van hierdie veelvlak?

Besluit. Die redenasie daarin is dieselfde as beskryf in probleem nr. 2. Net daar is 'n piramide gegee met 'n vierkant by die basis, en nou is dit 'n seshoek.

In die eerste plek word die oppervlakte van die basis bereken deur die formule hierbo te gebruik: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm^2.

Nou moet jy die semi-omtrek van 'n gelykbenige driehoek uitvind, wat die syvlak is. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Dit bly om die oppervlakte van die strand te berekendriehoek, en vermenigvuldig dit dan met ses en tel dit by die een wat vir die basis uitgedraai het.

Berekening deur Heron se formule: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 cm² . Berekeninge wat die laterale oppervlakarea sal gee: 6606=3960 cm². Dit bly om hulle op te tel om die hele oppervlak uit te vind: 5217, 47≈5217 cm^2.

Antwoord. Basis - 726√3cm², syoppervlak - 3960cm², totale oppervlakte - 5217cm^2.