Matriks is 'n spesiale voorwerp in wiskunde. Dit word uitgebeeld in die vorm van 'n reghoekige of vierkantige tabel, saamgestel uit 'n sekere aantal rye en kolomme. In wiskunde is daar 'n wye verskeidenheid tipes matrikse, wat verskil in grootte of inhoud. Die nommers van sy rye en kolomme word bestellings genoem. Hierdie voorwerpe word in wiskunde gebruik om die skryf van stelsels lineêre vergelykings te organiseer en gerieflik na hul resultate te soek. Vergelykings met behulp van 'n matriks word opgelos deur die metode van Carl Gauss, Gabriel Cramer, mineur- en algebraïese optellings en baie ander maniere te gebruik. Die basiese vaardigheid wanneer jy met matrikse werk, is om dit na 'n standaardvorm te bring. Kom ons kyk egter eers uit watter tipe matrikse deur wiskundiges onderskei word.
Nul tipe
Alle komponente van hierdie soort matriks is nulle. Intussen is die aantal rye en kolomme heeltemal anders.
vierkantige tipe
Die aantal kolomme en rye van hierdie tipe matriks is dieselfde. Met ander woorde, dit is 'n "vierkantige" vormtafel. Die aantal kolomme (of rye) word die volgorde genoem. Spesiale gevalle is die bestaan van 'n matriks van die tweede orde (matriks 2x2), vierde orde (4x4), tiende (10x10), sewentiende (17x17) ensovoorts.
Kolomvektor
Dit is een van die eenvoudigste tipes matrikse, wat slegs een kolom bevat, wat drie numeriese waardes insluit. Dit verteenwoordig 'n reeks vrye terme (getalle onafhanklik van veranderlikes) in stelsels lineêre vergelykings.
Ry-vektor
Bekyk soortgelyk aan die vorige een. Bestaan uit drie numeriese elemente, op hul beurt in een reël georganiseer.
Diagonale tipe
Slegs komponente van die hoofhoeklyn (in groen uitgelig) neem numeriese waardes in die diagonale vorm van die matriks aan. Die hoof diagonaal begin onderskeidelik met die element in die boonste linkerhoek en eindig met die element in die onderste regterkantste hoek. Die res van die komponente is nul. Die diagonale tipe is slegs 'n vierkantige matriks van een of ander orde. Onder matrikse van die diagonale vorm kan 'n mens 'n skalêre een uitsonder. Al sy komponente neem dieselfde waardes aan.
Identiteitsmatriks
'n Subspesie van die diagonale matriks. Al sy numeriese waardes is eenhede. Gebruik 'n enkele tipe matrikstabelle, voer sy basiese transformasies uit of vind 'n matriks inverse van die oorspronklike een.
Kanonieke tipe
Die kanonieke vorm van 'n matriks word as een van die belangrikstes beskou; dit is dikwels nodig om te werk. Die aantal rye en kolomme in die kanonieke matriks is anders, dit behoort nie noodwendig tot die vierkantige tipe nie. Dit is ietwat soortgelyk aan die identiteitsmatriks, maar in sy geval neem nie alle komponente van die hoofdiagonaal 'n waarde gelyk aan een aan nie. Daar kan twee of vier hoof diagonale eenhede wees (dit hang alles af van die lengte en breedte van die matriks). Of daar mag glad nie eenhede wees nie (dan word dit as nul beskou). Die oorblywende komponente van die kanonieke tipe, sowel as die elemente van die diagonaal en identiteit, is gelyk aan nul.
Driehoektipe
Een van die belangrikste tipes matriks, wat gebruik word wanneer na die determinant daarvan gesoek word en wanneer eenvoudige bewerkings uitgevoer word. Die driehoekige tipe kom van die diagonale tipe, so die matriks is ook vierkantig. Die driehoekige aansig van die matriks is verdeel in boonste driehoekige en onderste driehoekige.
In die boonste driehoekige matriks (Fig. 1), neem slegs elemente wat bo die hoofhoeklyn is 'n waarde gelyk aan nul aan. Die komponente van die diagonaal self en die deel van die matriks daaronder bevat numeriese waardes.
In die onderste driehoekige matriks (Fig. 2), inteendeel, is die elemente wat in die onderste deel van die matriks geleë is gelyk aan nul.
Stap Matrix
Die aansig is nodig om die rangorde van 'n matriks te vind, sowel as vir elementêre bewerkings daarop (saam met die driehoekige tipe). Die stapmatriks is so genoem omdat dit kenmerkende "stappe" van nulle bevat (soos in die figuur getoon). In die trapvorm word 'n diagonaal van nulle gevorm (nie noodwendig die hoof een nie), en alle elemente onder hierdie diagonaal het ook waardes gelyk aan nul. 'n Voorvereiste is die volgende: as daar 'n nul-ry in die stapmatriks is, dan bevat die oorblywende rye daaronder ook nie numeriese waardes nie.
Ons het dus die belangrikste soorte matrikse oorweeg wat nodig is om daarmee te werk. Kom ons hanteer nou die taak om 'n matriks in die vereiste vorm om te skakel.
Verminder tot driehoekige vorm
Hoe om die matriks na 'n driehoekige vorm te bring? Dikwels, in opdragte, moet jy 'n matriks in 'n driehoekige vorm omskakel om die determinant daarvan te vind, anders genoem die determinant. Wanneer hierdie prosedure uitgevoer word, is dit uiters belangrik om die hoofdiagonaal van die matriks te "behou", want die determinant van 'n driehoekige matriks is presies die produk van die komponente van sy hoofdiagonaal. Laat ek jou ook herinner aan alternatiewe metodes om die determinant te vind. Die vierkant-tipe determinant word gevind met behulp van spesiale formules. Byvoorbeeld, jy kan die driehoekmetode gebruik. Vir ander matrikse word die metode van ontbinding volgens ry, kolom of hul elemente gebruik. Jy kan ook die metode van minderjariges en algebraïese komplemente van die matriks toepas.
BesonderhedeKom ons ontleed die proses om 'n matriks na 'n driehoekige vorm te bring deur voorbeelde van sommige take te gebruik.
Taak 1
Dit is nodig om die determinant van die aangebied matriks te vind deur die metode te gebruik om dit na 'n driehoekige vorm te bring.
Die matriks wat aan ons gegee is, is 'n vierkantige matriks van die derde orde. Daarom, om dit in 'n driehoekige vorm te omskep, moet ons twee komponente van die eerste kolom en een komponent van die tweede nietig maak.
Om dit na 'n driehoekige vorm te bring, begin die transformasie vanaf die onderste linkerhoek van die matriks - vanaf die getal 6. Om dit na nul te draai, vermenigvuldig die eerste ry met drie en trek dit van die laaste ry af.
Belangrik! Die boonste lyn verander nie, maar bly dieselfde as in die oorspronklike matriks. Jy hoef nie 'n string vier keer die oorspronklike een te skryf nie. Maar die waardes van die snare waarvan die komponente nietig verklaar moet word, verander voortdurend.
Volgende, kom ons handel oor die volgende waarde - die element van die tweede ry van die eerste kolom, nommer 8. Vermenigvuldig die eerste ry met vier en trek dit van die tweede ry af. Ons kry nul.
Slegs die laaste waarde bly oor - die element van die derde ry van die tweede kolom. Dit is die getal (-1). Om dit na nul te draai, trek die tweede van die eerste reël af.
Kom ons kyk:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Dus die antwoord op die taak is -22.
Taak 2
Ons moet die determinant van die matriks vind deur dit na 'n driehoekige vorm te bring.
Verteenwoordigde matriksbehoort aan die vierkanttipe en is 'n matriks van die vierde orde. Dit beteken dat drie komponente van die eerste kolom, twee komponente van die tweede kolom en een komponent van die derde kolom nulgestel moet word.
Kom ons begin die vermindering daarvan vanaf die element wat in die onderste linkerhoek geleë is – vanaf die nommer 4. Ons moet hierdie getal na nul draai. Die maklikste manier om dit te doen is om die boonste ry met vier te vermenigvuldig en dit dan van die vierde ry af te trek. Kom ons skryf die resultaat van die eerste fase van die transformasie neer.
Dus, die komponent van die vierde reël is op nul gestel. Kom ons gaan aan na die eerste element van die derde reël, na die nommer 3. Ons voer 'n soortgelyke bewerking uit. Vermenigvuldig die eerste reël met drie, trek dit van die derde reël af en skryf die resultaat neer.
Volgende sien ons die nommer 2 in die tweede reël. Ons herhaal die bewerking: vermenigvuldig die boonste ry met twee en trek dit af van die tweede een.
Ons het daarin geslaag om al die komponente van die eerste kolom van hierdie vierkantige matriks op nul te stel, behalwe vir die getal 1, die element van die hoofhoeklyn wat nie transformasie vereis nie. Nou is dit belangrik om die gevolglike nulle te hou, so ons sal transformasies met rye uitvoer, nie kolomme nie. Kom ons gaan aan na die tweede kolom van die aangebied matriks.
Kom ons begin weer van onder - vanaf die element van die tweede kolom van die laaste ry. Dit is die getal (-7). In hierdie geval is dit egter geriefliker om met die nommer (-1) te begin - die element van die tweede kolom van die derde ry. Om dit na nul te draai, trek die tweede ry van die derde ry af. Dan vermenigvuldig ons die tweede ry met sewe en trek dit van die vierde af. Ons het nul gekry in plaas van die element wat in die vierde ry van die tweede kolom geleë is. Kom ons gaan nou oor na die derdekolom.
In hierdie kolom moet ons net een getal na nul draai - 4. Dit is maklik om te doen: voeg net die derde by die laaste reël en sien die nul wat ons nodig het.
Na al die transformasies het ons die voorgestelde matriks na 'n driehoekige vorm gebring. Nou, om sy determinant te vind, hoef jy net die resulterende elemente van die hoof diagonaal te vermenigvuldig. Ons kry: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Daarom is die oplossing die getal 160.
So, nou sal die vraag om die matriks na 'n driehoekige vorm te bring dit nie vir jou moeilik maak nie.
Vermindering na trapvorm
In elementêre bewerkings op matrikse word die trapvorm minder "gevra" as die driehoekige een. Dit word die meeste gebruik om die rangorde van 'n matriks te vind (d.w.s. die getal van sy nie-nul rye) of om lineêr afhanklike en onafhanklike rye te bepaal. Die getrapte matriksaansig is egter meer veelsydig, aangesien dit nie net geskik is vir die vierkantige tipe nie, maar vir alle ander.
Om 'n matriks na 'n trapvorm te reduseer, moet jy eers die determinant daarvan vind. Hiervoor is bogenoemde metodes geskik. Die doel van die vind van die determinant is om uit te vind of dit in 'n stapmatriks omgeskakel kan word. As die determinant groter of minder as nul is, kan jy veilig voortgaan met die taak. As dit gelyk is aan nul, sal dit nie werk om die matriks na 'n trapvorm te verminder nie. In hierdie geval moet jy kyk of daar enige foute in die rekord of in die matrikstransformasies is. As daar nie sulke onakkuraathede is nie, kan die taak nie opgelos word nie.
Kom ons kyk hoebring die matriks na 'n trapvorm deur voorbeelde van verskeie take te gebruik.
Taak 1. Vind die rangorde van die gegewe matrikstabel.
Voor ons is 'n vierkantige matriks van die derde orde (3x3). Ons weet dat om die rang te vind, dit nodig is om dit tot 'n trapvorm te verminder. Daarom moet ons eers die determinant van die matriks vind. Gebruik die driehoekmetode: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. Dit is groter as nul, wat beteken dat die matriks na 'n trapvorm gereduseer kan word. Kom ons begin sy transformasies.
Kom ons begin dit met die element van die linkerkolom van die derde ry – die getal 2. Vermenigvuldig die boonste ry met twee en trek dit af van die derde een. Danksy hierdie bewerking het beide die element wat ons benodig en die getal 4 - die element van die tweede kolom van die derde ry - in nul verander.
Draai dan die element van die tweede ry van die eerste kolom na nul - die getal 3. Om dit te doen, vermenigvuldig die boonste ry met drie en trek dit af van die tweede een.
Ons sien dat die vermindering gelei het tot 'n driehoekige matriks. In ons geval kan die transformasie nie voortgesit word nie, aangesien die oorblywende komponente nie na nul gedraai kan word nie.
Dus, ons kom tot die gevolgtrekking dat die aantal rye wat numeriese waardes in hierdie matriks (of sy rangorde) bevat 3 is. Antwoord op die taak: 3.
Taak 2. Bepaal die aantal lineêr onafhanklike rye van hierdie matriks.
Ons moet stringe vind wat nie deur enige transformasies omgekeer kan word nietot nul. Trouens, ons moet die aantal nie-nul rye vind, of die rangorde van die voorgestelde matriks. Om dit te doen, kom ons vereenvoudig dit.
Ons sien 'n matriks wat nie aan die vierkanttipe behoort nie. Dit het afmetings 3x4. Kom ons begin ook die rolverdeling vanaf die element van die onderste linkerhoek - die nommer (-1).
Voeg die eerste reël by die derde een. Trek dan die tweede daarvan af om die getal 5 na nul te draai.
Verdere transformasies is onmoontlik. Dus, ons kom tot die gevolgtrekking dat die aantal lineêr onafhanklike lyne daarin en die antwoord op die taak 3 is.
Om nou die matriks in 'n trapvorm te bring, is nie vir jou 'n onmoontlike taak nie.
Op die voorbeelde van hierdie take het ons die reduksie van 'n matriks na 'n driehoekige vorm en 'n trapvorm ontleed. Om die verlangde waardes van matrikstabelle nietig te maak, is dit in sommige gevalle nodig om verbeelding te toon en hul kolomme of rye korrek te transformeer. Sterkte met wiskunde en werk met matrikse!
