Matrikse: Gauss-metode. Gauss Matriks Berekening: Voorbeelde

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2023-12-17 05:14

Lineêre algebra, wat in verskeie spesialiteite aan universiteite onderrig word, kombineer baie komplekse onderwerpe. Sommige van hulle hou verband met matrikse, sowel as die oplossing van stelsels lineêre vergelykings deur die Gauss- en Gauss-Jordaniese metodes. Nie alle studente kry dit reg om hierdie onderwerpe, algoritmes om verskeie probleme op te los, te verstaan nie. Kom ons verstaan saam die matrikse en metodes van Gauss en Gauss-Jordanië.

Basiese konsepte

'n Matriks in lineêre algebra is 'n reghoekige reeks elemente (tabel). Hieronder is stelle elemente wat tussen hakies ingesluit is. Dit is matrikse. Uit die voorbeeld hierbo kan gesien word dat die elemente in reghoekige skikkings nie net getalle is nie. Die matriks kan bestaan uit wiskundige funksies, algebraïese simbole.

Om sommige konsepte te verstaan, kom ons maak 'n matriks A van die elemente a_ij. Indekse is nie net letters nie: i is die nommer van die ry in die tabel, en j is die nommer van die kolom, in die area van die snypunt waarvan die element geleë isa_ij. Dus, ons sien dat ons 'n matriks van elemente het soos 'n₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ ensovoorts. Die letter n dui die aantal kolomme aan, en die letter m dui die aantal rye aan. Die simbool m × n dui die dimensie van die matriks aan. Dit is die konsep wat die aantal rye en kolomme in 'n reghoekige reeks elemente definieer.

Opsioneel moet die matriks verskeie kolomme en rye hê. Met 'n afmeting van 1 × n is die skikking van elemente enkelry, en met 'n afmeting van m × 1 is dit 'n enkelkolom-skikking. Wanneer die aantal rye en die aantal kolomme gelyk is, word die matriks vierkant genoem. Elke vierkantige matriks het 'n determinant (det A). Hierdie term verwys na die nommer wat aan die matriks A toegeken word.

'n Paar meer belangrike konsepte om te onthou om matrikse suksesvol op te los, is die hoof- en sekondêre hoeklyne. Die hoof diagonaal van 'n matriks is die diagonaal wat afgaan na die regterhoek van die tabel vanaf die boonste linkerhoek. Die syskuins gaan na die regterhoek op van die linkerhoek van onder af.

Trapmatriksaansig

Kyk na die prentjie hieronder. Daarop sal jy 'n matriks en 'n diagram sien. Kom ons behandel eers die matriks. In lineêre algebra word 'n matriks van hierdie soort 'n stapmatriks genoem. Dit het een eienskap: as a_ij die eerste nie-nul element in die i-de ry is, dan is alle ander elemente van die matriks onder en links van a_ij , is nul (d.w.s. al daardie elemente wat die letterbenaming a_kl gegee kan word, waar k>i enl<j).

Beskou nou die diagram. Dit weerspieël die getrapte vorm van die matriks. Die skema toon 3 tipes selle. Elke tipe dui sekere elemente aan:

• leë selle - nul elemente van die matriks;
• geskakeerde selle is arbitrêre elemente wat beide nul en nie-nul kan wees;
• swart blokkies is nie-nul elemente, wat hoekelemente, "trappe" genoem word (in die matriks wat langsaan gewys word, is sulke elemente die getalle –1, 5, 3, 8).

Wanneer matrikse opgelos word, is die gevolg soms dat die "lengte" van die stap groter as 1 is. Dit word toegelaat. Slegs die "hoogte" van die trappe maak saak. In 'n stapmatriks moet hierdie parameter altyd gelyk wees aan een.

Matriksvermindering na stapvorm

Enige reghoekige matriks kan na 'n trapvorm omgeskakel word. Dit word gedoen deur middel van elementêre transformasies. Dit sluit in:

• herrangskik snare;
• Die byvoeging van nog 'n reël by een reël, indien nodig vermenigvuldig met een of ander getal (jy kan ook 'n aftrekbewerking uitvoer).

Kom ons oorweeg elementêre transformasies in die oplossing van 'n spesifieke probleem. Die figuur hieronder toon die matriks A, wat na 'n trapvorm gereduseer moet word.

Om die probleem op te los, sal ons die algoritme volg:

• Dit is gerieflik om transformasies op 'n matriks mee uit te voerdie eerste element in die boonste linkerhoek (d.w.s. die "leidende" element) is 1 of -1. In ons geval is die eerste element in die boonste ry 2, so kom ons ruil die eerste en tweede rye om.
• Kom ons voer aftrekbewerkings uit, wat rye 2, 3 en 4 affekteer. Ons behoort nulle in die eerste kolom onder die "leidende" element te kry. Om hierdie resultaat te bereik: van die elemente van reël nr. 2, trek ons opeenvolgend die elemente van reël nr. 1 af, vermenigvuldig met 2; van die elemente van reël nr. 3 trek ons die elemente van reël nr. 1 opeenvolgend af, vermenigvuldig met 4; van die elemente van reël nr. 4 trek ons die elemente van reël nr. 1 opeenvolgend af.
• Volgende sal ons met 'n afgekapte matriks werk (sonder kolom 1 en sonder ry 1). Die nuwe "leidende" element, wat by die kruising van die tweede kolom en die tweede ry staan, is gelyk aan -1. Dit is nie nodig om die lyne te herrangskik nie, daarom herskryf ons die eerste kolom en die eerste en tweede rye sonder veranderinge. Kom ons voer aftrekbewerkings uit om nulle in die tweede kolom onder die "leidende" element te kry: van die elemente van die derde reël trek ons die elemente van die tweede reël opeenvolgend af, vermenigvuldig met 3; trek die elemente van die tweede reël vermenigvuldig met 2 af van die elemente van die vierde reël.
• Dit bly om die laaste reël te verander. Van sy elemente trek ons agtereenvolgens die elemente van die derde ry af. Ons het dus 'n getrapte matriks gekry.

Reduksie van matrikse na 'n stapvorm word gebruik om stelsels lineêre vergelykings (SLE) deur die Gauss-metode op te los. Voordat ons na hierdie metode kyk, kom ons verstaan sommige van die terme wat met SLN verband hou.

Matrikse en stelsels lineêre vergelykings

Matrikse word in verskeie wetenskappe gebruik. Deur tabelle van getalle te gebruik, kan jy byvoorbeeld lineêre vergelykings wat in 'n stelsel gekombineer is, oplos deur die Gauss-metode te gebruik. Kom ons maak eers kennis met 'n paar terme en hul definisies, en kyk ook hoe 'n matriks gevorm word uit 'n stelsel wat verskeie lineêre vergelykings kombineer.

SLU – verskeie gekombineerde algebraïese vergelykings met eerste mag onbekendes en geen produkterme nie.

SLE-oplossing – gevind waardes van onbekendes, wat die vergelykings in die stelsel identiteite word vervang.

'n Gesamentlike SLE is 'n stelsel van vergelykings wat ten minste een oplossing het.

Inkonsekwente SLE is 'n stelsel van vergelykings wat geen oplossings het nie.

Hoe word 'n matriks gevorm op grond van 'n stelsel wat lineêre vergelykings kombineer? Daar is konsepte soos die hoof- en uitgebreide matrikse van die stelsel. Om die hoofmatriks van die stelsel te verkry, is dit nodig om al die koëffisiënte vir die onbekendes in die tabel te plaas. Die uitgebreide matriks word verkry deur 'n kolom vrye terme by die hoofmatriks te voeg (dit sluit bekende elemente in waaraan elke vergelyking in die stelsel gelykgestel word). Jy kan hierdie hele proses verstaan deur die prent hieronder te bestudeer.

Die eerste ding wat ons in die prent sien, is 'n stelsel wat lineêre vergelykings insluit. Die elemente daarvan: a_ij – numeriese koëffisiënte, x_j – onbekende waardes, b_i – konstante terme (waar i=1, 2, …, m, en j=1, 2, …, n). Die tweede element in die prent is die hoofmatriks van koëffisiënte. Uit elke vergelyking word die koëffisiënte in 'n ry geskryf. Gevolglik is daar soveel rye in die matriks as wat daar vergelykings in die stelsel is. Die aantal kolomme is gelyk aan die grootste aantal koëffisiënte in enige vergelyking. Die derde element in die prent is 'n aangevulde matriks met 'n kolom van vrye terme.

Algemene inligting oor die Gauss-metode

In lineêre algebra is die Gauss-metode die klassieke manier om SLE op te los. Dit dra die naam van Carl Friedrich Gauss, wat in die 18de-19de eeue geleef het. Dit is een van die grootste wiskundiges van alle tye. Die kern van die Gauss-metode is om elementêre transformasies op 'n stelsel lineêre algebraïese vergelykings uit te voer. Met behulp van transformasies word die SLE gereduseer tot 'n ekwivalente stelsel van 'n driehoekige (gestapte) vorm, waaruit alle veranderlikes gevind kan word.

Dit is opmerklik dat Carl Friedrich Gauss nie die ontdekker is van die klassieke metode om 'n stelsel lineêre vergelykings op te los nie. Die metode is baie vroeër uitgevind. Die eerste beskrywing daarvan word gevind in die ensiklopedie van kennis van antieke Chinese wiskundiges, genaamd "Wiskunde in 9 boeke".

'n Voorbeeld van die oplossing van die SLE deur die Gauss-metode

Kom ons kyk na die oplossing van stelsels deur die Gauss-metode op 'n spesifieke voorbeeld. Ons sal met die SLU werk wat in die prentjie gewys word.

Oplosalgoritme:

1. Ons sal die stelsel tot 'n stapvorm verminder deur die direkte skuif van die Gauss-metode, maar eersons sal 'n uitgebreide matriks van numeriese koëffisiënte en gratis lede saamstel.
2. Om die matriks op te los deur gebruik te maak van die Gaussiese metode (d.w.s. bring dit in 'n trapvorm), van die elemente van die tweede en derde rye, trek ons die elemente van die eerste ry opeenvolgend af. Ons kry nulle in die eerste kolom onder die "leidende" element. Vervolgens sal ons die tweede en derde lyne op plekke verander vir gerief. Voeg die elemente van die tweede ry opeenvolgend by die elemente van die laaste ry, vermenigvuldig met 3.
3. As gevolg van die berekening van die matriks deur die Gauss-metode, het ons 'n getrapte reeks elemente gekry. Op grond daarvan sal ons 'n nuwe stelsel lineêre vergelykings saamstel. Deur die omgekeerde verloop van die Gauss-metode vind ons die waardes van die onbekende terme. Dit kan uit die laaste lineêre vergelyking gesien word dat x₃ gelyk is aan 1. Ons vervang hierdie waarde in die tweede reël van die stelsel. Jy kry die vergelyking x₂ – 4=–4. Dit volg dat x₂ gelyk is aan 0. Vervang x₂ en x₃ in die eerste vergelyking van die stelsel: x1 _{+ 0 +3=2. Die onbekende term is -1.}

Antwoord: met behulp van die matriks, die Gaussiese metode, het ons die waardes van die onbekendes gevind; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordaniese metode

In lineêre algebra is daar ook iets soos die Gauss-Jordaniese metode. Dit word beskou as 'n wysiging van die Gaussiese metode en word gebruik om die inverse matriks te vind, onbekende terme van vierkante stelsels van algebraïese lineêre vergelykings te bereken. Die Gauss-Jordaniese metode is gerieflik omdat dit die oplossing van die SLE in een stap moontlik maak (sonder die gebruik van direkte en omgekeerdebeweeg).

Kom ons begin met die term "inverse matriks". Gestel ons het 'n matriks A. Die inverse daarvoor sal die matriks A^-1 wees, terwyl die voorwaarde noodwendig bevredig word: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, dit wil sê die produk van hierdie matrikse is gelyk aan die identiteitsmatriks (die elemente van die hoofhoeklyn van die identiteitsmatriks is ene, en die oorblywende elemente is nul).}

'n Belangrike nuanse: in lineêre algebra is daar 'n stelling oor die bestaan van 'n inverse matriks. 'n Voldoende en noodsaaklike voorwaarde vir die bestaan van die matriks A^-1 is dat die matriks A nie-enkelvoud is.

Basiese stappe waarop die Gauss-Jordaniese metode gebaseer is:

1. Kyk na die eerste ry van 'n spesifieke matriks. Die Gauss-Jordaniese metode kan begin word as die eerste waarde nie gelyk is aan nul nie. As die eerste plek 0 is, ruil dan die rye om sodat die eerste element 'n nie-nul waarde het (dit is wenslik dat die getal nader aan een is).
2. Verdeel alle elemente van die eerste ry deur die eerste getal. Jy sal eindig met 'n string wat met een begin.
3. Van die tweede reël af, trek die eerste reël vermenigvuldig met die eerste element van die tweede reël af, d.w.s. op die ou einde sal jy 'n lyn kry wat vanaf nul begin. Doen dieselfde vir die res van die lyne. Deel elke reël deur sy eerste nie-nul element om 1'e skuins te kry.
4. Gevolglik sal jy die boonste driehoekige matriks kry deur die Gauss - Jordan-metode te gebruik. Daarin word die hoofhoeklyn deur eenhede voorgestel. Die onderste hoek is gevul met nulle, enboonste hoek - verskeie waardes.
5. Van die voorlaaste reël af, trek die laaste reël vermenigvuldig met die vereiste koëffisiënt af. Jy moet 'n string met nulle en een kry. Herhaal dieselfde aksie vir die res van die reëls. Na al die transformasies sal die identiteitsmatriks verkry word.

'n Voorbeeld van die vind van die inverse matriks deur gebruik te maak van die Gauss-Jordaniese metode

Om die inverse matriks te bereken, moet jy die vergrote matriks A|E skryf en die nodige transformasies uitvoer. Kom ons kyk na 'n eenvoudige voorbeeld. Die figuur hieronder toon die matriks A.

Oplossing:

1. Eers, kom ons vind die matriksdeterminant deur die Gaussiese metode (det A) te gebruik. As hierdie parameter nie gelyk is aan nul nie, sal die matriks as nie-enkelvoudig beskou word. Dit sal ons toelaat om tot die gevolgtrekking te kom dat A beslis A^-1 het. Om die determinant te bereken, transformeer ons die matriks na 'n stapsgewyse vorm deur elementêre transformasies. Kom ons tel die getal K gelyk aan die aantal rypermutasies. Ons het die lyne net 1 keer verander. Kom ons bereken die determinant. Die waarde daarvan sal gelyk wees aan die produk van die elemente van die hoofhoeklyn, vermenigvuldig met (–1)^K. Berekeningresultaat: det A=2.
2. Stel die vergrote matriks saam deur die identiteitsmatriks by die oorspronklike matriks te voeg. Die resulterende skikking van elemente sal gebruik word om die inverse matriks te vind deur die Gauss-Jordaniese metode.
3. Die eerste element in die eerste ry is gelyk aan een. Dit pas ons, want dit is nie nodig om die lyne te herrangskik en die gegewe lyn deur een of ander getal te deel nie. Kom ons begin werkmet die tweede en derde reëls. Om die eerste element in die tweede ry in 0 te verander, trek die eerste ry vermenigvuldig met 3 van die tweede ry af. Trek die eerste ry van die derde ry af (geen vermenigvuldiging nodig nie).
4. In die resulterende matriks is die tweede element van die tweede ry -4, en die tweede element van die derde ry is -1. Kom ons ruil die lyne vir gerief. Trek die tweede ry vermenigvuldig met 4 van die derde ry af. Deel die tweede ry met -1 en die derde ry met 2. Ons kry die boonste driehoekige matriks.
5. Kom ons trek die laaste reël vermenigvuldig met 4 van die tweede reël af, en die laaste reël vermenigvuldig met 5 van die eerste reël. Trek dan die tweede reël vermenigvuldig met 2 van die eerste reël af. Aan die linkerkant het ons die identiteitsmatriks. Aan die regterkant is die inverse matriks.

'n Voorbeeld van die oplossing van SLE deur die Gauss-Jordaniese metode

Die figuur toon 'n stelsel lineêre vergelykings. Dit word vereis om die waardes van onbekende veranderlikes te vind met behulp van 'n matriks, die Gauss-Jordaniese metode.

Oplossing:

1. Kom ons skep 'n uitgebreide matriks. Om dit te doen, sal ons die koëffisiënte en gratis terme in die tabel plaas.
2. Los die matriks op deur die Gauss-Jordaniese metode te gebruik. Van reël nr. 2 trek ons reël nr. 1 af. Van reël nr. 3 trek ons reël nr. 1 af, voorheen vermenigvuldig met 2.
3. Ruil rye 2 en 3.
4. Van reël 3 trek reël 2 vermenigvuldig met 2 af. Deel die resulterende derde reël met –1.
5. Trek reël 3 van reël 2 af.
6. Trek reël 1 van reël 1 af2 keer -1. Aan die kant het ons 'n kolom wat uit die getalle 0, 1 en -1 bestaan. Hieruit lei ons af dat x₁=0, x₂=1 en x₃ =–1.

As jy wil, kan jy die korrektheid van die oplossing kontroleer deur die berekende waardes in die vergelykings te vervang:

• 0 – 1=–1, die eerste identiteit van die stelsel is korrek;
• 0 + 1 + (–1)=0, die tweede identiteit van die stelsel is korrek;
• 0 – 1 + (–1)=–2, die derde identiteit van die stelsel is korrek.

Gevolgtrekking: deur die Gauss-Jordaniese metode te gebruik, het ons die korrekte oplossing gevind vir 'n kwadratiese stelsel wat lineêre algebraïese vergelykings kombineer.

Aanlyn sakrekenaars

Die lewe van vandag se jeug wat aan universiteite studeer en lineêre algebra studeer, is baie vereenvoudig. 'n Paar jaar gelede moes ons oplossings vind vir stelsels wat die Gauss en Gauss-Jordaniese metode op ons eie gebruik. Sommige studente het die take suksesvol hanteer, terwyl ander verward geraak het in die oplossing, foute gemaak en klasmaats om hulp gevra het. Vandag kan jy aanlyn sakrekenaars gebruik wanneer jy huiswerk doen. Om stelsels lineêre vergelykings op te los, soek vir inverse matrikse, is programme geskryf wat nie net die korrekte antwoorde demonstreer nie, maar ook die vordering van die oplossing van 'n bepaalde probleem toon.

Daar is baie hulpbronne op die internet met ingeboude aanlyn sakrekenaars. Gaussiese matrikse, stelsels vergelykings word binne 'n paar sekondes deur hierdie programme opgelos. Studente hoef slegs die vereiste parameters te spesifiseer (byvoorbeeld die aantal vergelykings,aantal veranderlikes).