Bertrand se paradoks is 'n probleem in die klassieke interpretasie van waarskynlikheidsteorie. Joseph het dit in sy werk Calcul des probabilités (1889) bekendgestel as 'n voorbeeld dat waarskynlikhede nie goed gedefinieer kan word as 'n meganisme of metode 'n ewekansige veranderlike produseer nie.
Probleemverklaring
Bertrand se paradoks is soos volg.
Beskou eers 'n gelyksydige driehoek wat in 'n sirkel ingeskryf is. In hierdie geval word die deursnee lukraak gekies. Wat is die waarskynlikheid dat dit langer as die sy van die driehoek is?
Bertrand het drie argumente gemaak, wat almal korrek blyk te wees, maar verskillende resultate gee.
Eindpuntmetode
Jy moet twee plekke op die sirkel kies en 'n boog teken wat hulle verbind. Vir die berekening word Bertrand se waarskynlikheidsparadoks in ag geneem. Dit is nodig om te dink dat die driehoek geroteer word sodat sy hoekpunt saamval met een van die eindpunte van die koord. Die moeite werd om te betaallet daarop dat as die ander deel op 'n boog tussen twee plekke is, is die sirkel langer as die sy van die driehoek. Die lengte van die boog is een derde van die sirkel, so die waarskynlikheid dat 'n ewekansige koord langer is, is 1/3.
Seleksiemetode
Dit is nodig om die radius van die sirkel en 'n punt daarop te kies. Daarna moet jy 'n koord deur hierdie plek bou, loodreg op die deursnee. Om die oorwoë paradoks van Bertrand van waarskynlikheidsteorie te bereken, moet 'n mens jou voorstel dat die driehoek geroteer word sodat die sy loodreg op die radius is. Die koord is langer as die been as die geselekteerde punt nader aan die middel van die sirkel is. En in hierdie geval halveer die sy van die driehoek die radius. Daarom is die waarskynlikheid dat die akkoord langer as die kant van die ingeskrewe figuur is 1/2.
Ewekansige akkoorde
Midpuntmetode. Dit is nodig om 'n plek op die sirkel te kies en 'n koord met 'n gegewe middel te skep. Die as is langer as die rand van die ingeskrewe driehoek, as die geselekteerde ligging binne 'n konsentriese sirkel van radius 1/2 is. Die oppervlakte van die kleiner sirkel is een kwart van die groter figuur. Daarom is die waarskynlikheid van 'n ewekansige koord langer as die sy van die ingeskrewe driehoek en is gelyk aan 1/4.
Soos hierbo aangebied, verskil seleksiemetodes in die gewig wat hulle aan sekere akkoorde gee, wat deursnee is. In metode 1 kan elke akkoord op presies een manier gekies word, of dit nou 'n deursnee is of nie.
In metode 2 kan elke reguit lyn op twee maniere gekies word. Terwyl enige ander akkoord gekies sal wordnet een van die moontlikhede.
In metode 3 het elke middelpuntkeuse 'n enkele parameter. Behalwe vir die middelpunt van die sirkel, wat die middelpunt van alle diameters is. Hierdie probleme kan vermy word deur alle vrae te "orden" om parameters uit te sluit sonder om die gevolglike waarskynlikhede te beïnvloed.
Kose metodes kan ook soos volg gevisualiseer word. 'n Koord wat nie 'n deursnee is nie, word uniek aan sy middelpunt geïdentifiseer. Elk van die drie seleksiemetodes wat hierbo aangebied word, produseer 'n ander verspreiding van die middel. En opsies 1 en 2 verskaf twee verskillende nie-uniforme partisies, terwyl metode 3 'n eenvormige verspreiding gee.
Die klassieke paradoks om Bertrand se probleem op te los hang af van die metode waardeur die akkoord "lukraak" gekies word. Dit blyk dat as 'n metode van ewekansige seleksie vooraf gespesifiseer word, die probleem 'n goed gedefinieerde oplossing het. Dit is omdat elke individuele metode sy eie verspreiding van akkoorde het. Die drie beslissings wat Bertrand getoon het, stem ooreen met verskillende wyses van seleksie en, in die afwesigheid van verdere inligting, is daar geen rede om die een bo die ander te bevoordeel nie. Gevolglik het die gestelde probleem nie 'n enkele oplossing nie.
'n Voorbeeld van hoe om 'n algemene antwoord uniek te maak, is om te spesifiseer dat die eindpunte van die koord eweredig tussen 0 en c gespasieer is, waar c die omtrek van die sirkel is. Hierdie verspreiding is dieselfde as in Bertrand se eerste argument en die gevolglike unieke waarskynlikheid sal 1/3 wees.
Hierdie Bertrand Russell-paradoks en ander uniekhede van klassiekinterpretasies van moontlikheid regverdig strenger formulerings. Insluitend waarskynlikheidsfrekwensie en subjektivistiese Bayesiaanse teorie.
Wat onderlê Bertrand se paradoks
In sy 1973-artikel "The Well-posed Problem," het Edwin Jaynes sy unieke oplossing aangebied. Hy het opgemerk dat Bertrand se paradoks gebaseer is op 'n uitgangspunt gebaseer op die beginsel van "maksimum onkunde". Dit beteken dat jy geen inligting moet gebruik wat nie in die probleemstelling verskaf word nie. Jaynes het daarop gewys dat Bertrand se probleem nie die posisie of grootte van die sirkel bepaal nie. En het aangevoer dat enige definitiewe en objektiewe besluit daarom "onverskillig" moet wees ten opsigte van grootte en posisie.
Vir illustrasiedoeleindes
Veronderstel dat al die akkoorde lukraak op 'n 2 cm-sirkel geplaas is, moet jy nou van ver af strooitjies daarvoor gooi.
Dan moet jy nog 'n sirkel met 'n kleiner deursnee (byvoorbeeld 1 sentimeter) neem wat in 'n groter figuur pas. Dan moet die verdeling van akkoorde op hierdie kleiner sirkel dieselfde wees as op die maksimum een. As die tweede figuur ook binne die eerste beweeg, behoort die waarskynlikheid in beginsel nie te verander nie. Dit is baie maklik om te sien dat vir metode 3 die volgende verandering sal plaasvind: die verspreiding van akkoorde op die klein rooi sirkel sal kwalitatief verskil van die verspreiding op die groot sirkel.
Dieselfde gebeur vir metode 1. Alhoewel dit moeiliker is om in die grafiese aansig te sien.
Metode 2 is die enigste eenwat beide 'n skaal en 'n vertaalonveranderlike blyk te wees.
Metode nommer 3 blyk eenvoudig uit te brei.
Metode 1 is nie een nie.
Janes het egter nie maklik invariante gebruik om hierdie metodes te aanvaar of te verwerp nie. Dit sou die moontlikheid laat dat daar 'n ander onbeskrewe metode is wat by sy aspekte van redelike betekenis sal pas. Jaynes het integraalvergelykings toegepas wat invariansies beskryf. Om die waarskynlikheidsverdeling direk te bepaal. In sy probleem het die integraalvergelykings inderdaad 'n unieke oplossing, en dit is presies wat die tweede ewekansige radiusmetode hierbo genoem is.
In 'n referaat van 2015 voer Alon Drory aan dat Jaynes se beginsel ook twee ander Bertrand-oplossings kan oplewer. Die skrywer verseker dat die wiskundige implementering van bogenoemde eienskappe van invariansie nie uniek is nie, maar afhang van die basiese ewekansige seleksieprosedure wat 'n persoon besluit om te gebruik. Hy toon aan dat elk van die drie Bertrand-oplossings verkry kan word deur gebruik te maak van rotasie-, skaal- en translasie-invariansie. Terselfdertyd, tot die gevolgtrekking dat die Jaynes-beginsel net so onderhewig is aan interpretasie as die wyse van onverskilligheid self.
Fisiese eksperimente
Metode 2 is die enigste oplossing wat voldoen aan die transformasie-invariante wat in spesifieke fisiologiese konsepte soos statistiese meganika en gasstruktuur teenwoordig is. Ook in die voorgesteldeJanes se eksperiment om strooitjies uit 'n klein sirkel te gooi.
Ander praktiese eksperimente kan egter ontwerp word wat antwoorde volgens ander metodes verskaf. Byvoorbeeld, om by 'n oplossing vir die eerste ewekansige eindpuntmetode uit te kom, kan jy 'n teller aan die middel van die area heg. En laat die resultate van twee onafhanklike rotasies die laaste plekke van die akkoord uitlig. Om by 'n oplossing vir die derde metode uit te kom, kan 'n mens die sirkel met byvoorbeeld melasse bedek en die eerste punt waarop die vlieg land as die middelste koord merk. Verskeie kontempleerders het studies geskep om verskillende gevolgtrekkings te maak en het die resultate empiries bevestig.
Jongste geleenthede
In sy 2007-artikel "The Bertrand Paradox and the Indifference Principle," voer Nicholas Shackel aan dat meer as 'n eeu later die probleem steeds onopgelos bly. Sy gaan voort om die beginsel van onverskilligheid te weerlê. Verder, in sy 2013 referaat, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical," wys Darrell R. Robottom dat al die voorgestelde beslissings niks met sy eie vraag te doen het nie. Dit het dus geblyk dat die paradoks baie moeiliker sou wees om op te los as wat voorheen gedink is.
Shackel beklemtoon dat tot dusver baie wetenskaplikes en mense ver van die wetenskap probeer het om Bertrand se paradoks op te los. Dit word steeds oorkom met behulp van twee verskillende benaderings.
Diegene waarin die verskil tussen nie-ekwivalente probleme oorweeg is, en dié waarin die probleem altyd as korrek beskou is. Shackel haal Louis aan in sy boekeMarinoff (as 'n tipiese eksponent van die strategie van differensiasie) en Edwin Jaynes (as die skrywer van 'n goed deurdagte teorie).
Diederik Aerts en Massimiliano Sassoli de Bianchi glo egter in hul onlangse werk Solving a Complex Problem dat die perseel in 'n gemengde strategie gesoek moet word om die Bertrand-paradoks op te los. Volgens hierdie skrywers is die eerste stap om die probleem op te los deur die aard van die entiteit wat ewekansig gemaak word, duidelik te stel. En eers nadat dit gedoen is, kan enige probleem as korrek beskou word. Dis wat Janes dink.
Die beginsel van maksimum onkunde kan dus gebruik word om dit op te los. Vir hierdie doel, en aangesien die probleem nie spesifiseer hoe 'n akkoord gekies moet word nie, word die beginsel nie op die vlak van die verskillende moontlikhede toegepas nie, maar op 'n veel dieper een.
Seleksie van onderdele
Hierdie deel van die probleem vereis die berekening van 'n meta-gemiddelde oor alle moontlike maniere, wat die skrywers die universele gemiddelde noem. Om dit te hanteer, gebruik hulle die diskretiseringsmetode. Geïnspireer deur wat gedoen word in die definisie van die wet van waarskynlikheid in Wiener-prosesse. Hul resultaat stem ooreen met die numeriese uitvloeisel van Jaynes, hoewel hul goed gestelde probleem verskil van die oorspronklike skrywer se een.
In ekonomie en handel beskryf die Bertrand Paradox, vernoem na sy skepper Joseph Bertrand, 'n situasie waarin twee spelers (firmas) 'n Nash-ewewig bereik. Wanneer beide firmas 'n prys gelykstaande aan marginale koste stel(MS).
Bertrand se paradoks is gebaseer op 'n uitgangspunt. Dit lê in die feit dat in modelle soos Cournot-mededinging 'n toename in die aantal firmas geassosieer word met die konvergensie van pryse met marginale koste. In hierdie alternatiewe modelle is Bertrand se paradoks in 'n oligopolie van 'n klein aantal firmas wat positiewe winste verdien deur pryse bo kosprys te hef.
Om mee te begin, is dit die moeite werd om te aanvaar dat twee firmas A en B 'n homogene produk verkoop, wat elk dieselfde koste van produksie en verspreiding het. Dit volg dat kopers 'n produk uitsluitlik op grond van prys kies. Dit beteken dat die vraag oneindig pryselasties is. Nie A of B sal 'n hoër prys as die ander stel nie, want dit sal die hele Bertrand-paradoks laat ineenstort. Een van die markdeelnemers sal toegee aan sy mededinger. As hulle dieselfde prys vasstel, sal die maatskappye die winste deel.
Aan die ander kant, as enige firma sy prys selfs effens verlaag, sal dit die hele mark en 'n aansienlik hoër opbrengs kry. Aangesien A en B dit weet, sal hulle elkeen probeer om die mededinger te onderkry totdat die produk teen geen ekonomiese wins verkoop nie.
Onlangse werk het getoon dat daar 'n bykomende ewewig in Bertrand se gemengde strategie-paradoks kan wees, met positiewe ekonomiese winste, mits die monopoliesom oneindig is. Vir die geval van finale wins, is aangetoon dat 'n positiewe verhoging onder prysmededinging onmoontlik is in gemengde ewewigte en selfs in die meer algemene gevalgekorreleerde stelsels.
Om die waarheid te sê, Bertrand se paradoks in ekonomie word selde in die praktyk gesien, want werklike produkte word byna altyd op 'n ander manier as prys gedifferensieer (byvoorbeeld om te veel vir 'n etiket te betaal). Maatskappye het beperkings op hul vermoë om te produseer en te versprei. Dit is hoekom twee besighede selde dieselfde koste het.
Bertrand se resultaat is paradoksaal, want as die aantal firmas van een na twee toeneem, daal die prys van monopolie na mededingend en bly op dieselfde vlak as die aantal firmas wat daarna toeneem. Dit is nie baie realisties nie, want in werklikheid is markte met min firmas met markkrag geneig om pryse bo marginale koste te hef. Empiriese ontleding toon dat die meeste bedrywe met twee mededingers positiewe winste genereer.
In die moderne wêreld probeer wetenskaplikes oplossings vind vir die paradoks wat meer ooreenstem met die Cournot-model van mededinging. Waar twee firmas in 'n mark positiewe winste maak wat iewers tussen volmaak mededingende en monopolievlakke is.
Sommige redes waarom Bertrand se paradoks nie direk met ekonomie verband hou nie:
- Kapasiteitsbeperkings. Soms het ondernemings nie voldoende kapasiteit om aan alle vraag te voldoen nie. Hierdie punt is eers deur Francis Edgeworth geopper en het aanleiding gegee tot die Bertrand-Edgeworth-model.
- Geheelgetalpryse. Pryse bo die MC is uitgesluit omdat een firma 'n ander lukraak kan onderkry.'n klein hoeveelheid. As pryse diskreet is (byvoorbeeld, hulle moet heelgetalwaardes neem), dan moet een firma die ander met ten minste een roebel onderkry. Dit impliseer dat die waarde van die klein geldeenheid bo die MC is. As 'n ander firma die prys daarvoor hoër stel, kan 'n ander firma dit verlaag en die hele mark verower, Bertrand se paradoks bestaan juis hierin. Dit sal haar geen wins bring nie. Hierdie besigheid sal verkies om verkope 50/50 met 'n ander firma te deel en 'n suiwer positiewe inkomste te ontvang.
- Produkdifferensiasie. As die produkte van verskillende firmas van mekaar verskil, sal verbruikers dalk nie heeltemal oorskakel na produkte met 'n laer prys nie.
- Dynamiese kompetisie. Herhaalde interaksie of herhaalde prysmededinging kan lei tot 'n ewewig van waarde.
- Meer items vir 'n hoër bedrag. Dit volg uit herhaalde interaksie. As een maatskappy sy prys 'n bietjie hoër stel, sal dit steeds min of meer dieselfde aantal aankope kry, maar meer wins per item. Daarom sal die ander maatskappy sy opmaak verhoog, ens. (Slegs in herhalings, anders gaan die dinamika in die ander rigting).
Oligopolie
As twee maatskappye oor 'n prys kan ooreenkom, is dit in hul langtermynbelang om die ooreenkoms na te kom: waardeverminderingsinkomste is minder as twee keer die inkomste uit nakoming van die ooreenkoms en duur net totdat die ander firma sy eie pryse.
Teoriewaarskynlikhede (soos die res van wiskunde) is eintlik 'n onlangse uitvinding. En die ontwikkeling was nie glad nie. Die eerste pogings om die waarskynlikheidsberekening te formaliseer, is deur die markies de Laplace aangewend, wat voorgestel het om die konsep te definieer as die verhouding van die aantal gebeurtenisse wat tot 'n uitkoms lei.
Dit maak natuurlik net sin as die getal van alle moontlike gebeurtenisse eindig is. En buitendien, alle gebeurtenisse is ewe waarskynlik.
Dit het dus gelyk of hierdie konsepte destyds geen vaste grondslag gehad het nie. Pogings om die definisie uit te brei na die geval van 'n oneindige aantal gebeurtenisse het tot selfs groter probleme gelei. Bertrand se paradoks is een so 'n ontdekking wat wiskundiges versigtig gemaak het vir die hele konsep van waarskynlikheid.
