Dikwels is daar in wiskundige wetenskap 'n aantal probleme en vrae, en baie van die antwoorde is nie altyd duidelik nie. Geen uitsondering was so 'n onderwerp soos die kardinaliteit van stelle nie. Trouens, dit is niks meer as 'n numeriese uitdrukking van die aantal voorwerpe nie. In 'n algemene sin is 'n versameling 'n aksioma; dit het geen definisie nie. Dit is gebaseer op enige voorwerpe, of eerder hul versameling, wat leeg, eindig of oneindig kan wees. Daarbenewens bevat dit heelgetalle of natuurlike getalle, matrikse, rye, segmente en lyne.
Meer oor bestaande veranderlikes
'n Nul of leë versameling sonder intrinsieke waarde word as 'n kardinale element beskou omdat dit 'n subset is. Die versameling van alle substelle van 'n nie-leë versameling S is 'n stel stelle. Dus word die kragversameling van 'n gegewe versameling as baie, denkbaar, maar enkel beskou. Hierdie versameling word die versameling magte van S genoem en word deur P (S) aangedui. As S N elemente bevat, dan bevat P(S) 2^n subversamelings, aangesien 'n subversameling van P(S) óf ∅ is óf 'n subversameling wat r elemente van S bevat, r=1, 2, 3, … Saamgestel uit alles oneindigversameling M word 'n drywingshoeveelheid genoem en word simbolies deur P (M) aangedui.
Elemente van versamelingteorie
Hierdie kennisveld is ontwikkel deur George Cantor (1845-1918). Vandag word dit in byna alle vertakkings van wiskunde gebruik en dien dit as die fundamentele deel daarvan. In versamelingsteorie word elemente in die vorm van 'n lys voorgestel en word gegee deur tipes (leë versameling, enkelton, eindige en oneindige versamelings, gelyk en ekwivalent, universeel), vereniging, snypunt, verskil en optelling van getalle. In die alledaagse lewe praat ons dikwels van 'n versameling voorwerpe soos 'n bos sleutels, 'n swerm voëls, 'n pak kaarte, ens. In wiskunde graad 5 en verder is daar natuurlike, heelgetal-, priem- en saamgestelde getalle.
Die volgende stelle kan oorweeg word:
- natuurlike getalle;
- letters van die alfabet;
- primêre kans;
- driehoeke met verskillende sye.
Dit kan gesien word dat hierdie gespesifiseerde voorbeelde goed gedefinieerde stelle voorwerpe is. Oorweeg nog 'n paar voorbeelde:
- vyf beroemdste wetenskaplikes in die wêreld;
- sewe pragtige meisies in die samelewing;
- drie beste chirurge.
Hierdie kardinaliteitsvoorbeelde is nie goed gedefinieerde versamelings van voorwerpe nie, want die kriteria vir "beroemdste", "mooiste", "beste" verskil van persoon tot persoon.
Sets
Hierdie waarde is 'n goed gedefinieerde aantal verskillende voorwerpe. Aanvaar dat:
- woordstel is 'n sinoniem, samestelling, klas en bevat elemente;
- voorwerpe, lede is gelyke terme;
- stelle word gewoonlik met hoofletters A, B, C aangedui;
- setelemente word voorgestel deur kleinletters a, b, c.
As "a" 'n element van die versameling A is, dan word gesê dat "a" aan A behoort. Kom ons dui die frase "behoort" aan met die Griekse karakter "∈" (epsilon). Dit blyk dus dat a ∈ A. As 'b' 'n element is wat nie aan A behoort nie, word dit voorgestel as b ∉ A. Sommige belangrike stelle wat in graad 5-wiskunde gebruik word, word met die drie volgende metodes voorgestel:
- aansoeke;
- registers of tabelvorm;
- reël vir die skep van 'n formasie.
By nadere ondersoek is die aansoekvorm op die volgende gebaseer. In hierdie geval word 'n duidelike beskrywing van die elemente van die stel gegee. Hulle is almal in krullerige draadjies ingesluit. Byvoorbeeld:
- stel van onewe getalle minder as 7 - geskryf as {minder as 7};
- 'n stel getalle groter as 30 en minder as 55;
- getal studente in 'n klas wat meer weeg as die onderwyser.
In die register (tabel) vorm, die elemente van 'n stel is gelys binne 'n paar hakies {} en geskei deur kommas. Byvoorbeeld:
- Laat N die versameling van die eerste vyf natuurlike getalle aandui. Daarom, N=→ registreer vorm
- Stel van alle vokale van die Engelse alfabet. Vandaar V={a, e, i, o, u, y} → registervorm
- Die versameling van alle onewe getalle is minder as 9. Daarom is X={1, 3, 5, 7} → vormregister
- Stel van alle letters in die woord "Wisk". Daarom, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Registervorm
- W is die stel van die laaste vier maande van die jaar. Daarom, W={September, Oktober, November, Desember} → register.
Let daarop dat die volgorde waarin die elemente gelys word nie saak maak nie, maar hulle moet nie herhaal word nie. 'n Gevestigde vorm van konstruksie, in 'n gegewe geval, 'n reël, formule of operateur word in 'n paar hakies geskryf sodat die versameling korrek gedefinieer is. In die stelbouervorm moet alle elemente dieselfde eienskap hê om 'n lid van die betrokke waarde te word.
In hierdie vorm van versamelingsvoorstelling word 'n element van die versameling beskryf met die karakter "x" of enige ander veranderlike gevolg deur 'n dubbelpunt (":" of "|" word gebruik om aan te dui). Laat P byvoorbeeld die versameling telbare getalle groter as 12 wees. P in die versamelingbouvorm word geskryf as - {telbare getal en groter as 12}. Dit sal op 'n sekere manier lees. Dit wil sê, "P is 'n stel x elemente sodat x telbaar en groter as 12 is."
Voorbeeld opgelos deur drie versamelingsvoorstellingsmetodes te gebruik: aantal heelgetalle tussen -2 en 3. Hieronder is voorbeelde van verskillende tipes stelle:
- 'n Leë of nulversameling wat geen element bevat nie en met die simbool ∅ aangedui word en as phi gelees word. In lysvorm word ∅ geskryf {}. Die eindige versameling is leeg, aangesien die aantal elemente 0 is. Byvoorbeeld, die stel heelgetalwaardes is minder as 0.
- Natuurlik moet daar nie <0 wees nie. Daarom, ditleë stel.
- 'n Versameling wat slegs een veranderlike bevat, word 'n enkeltonversameling genoem. Is nóg eenvoudig nóg saamgestel.
Eindige stel
'n Versameling wat 'n sekere aantal elemente bevat, word 'n eindige of oneindige versameling genoem. Leeg verwys na die eerste. Byvoorbeeld, 'n stel van al die kleure in die reënboog.
Infinity is 'n stel. Die elemente daarin kan nie opgesom word nie. Dit wil sê, om soortgelyke veranderlikes te bevat, word 'n oneindige versameling genoem. Voorbeelde:
- krag van die stel van alle punte in die vliegtuig;
- stel van alle priemgetalle.
Maar jy moet verstaan dat alle kardinaliteite van die vereniging van 'n stel nie in die vorm van 'n lys uitgedruk kan word nie. Byvoorbeeld, reële getalle, aangesien hul elemente nie met enige spesifieke patroon ooreenstem nie.
Die kardinale getal van 'n versameling is die aantal verskillende elemente in 'n gegewe hoeveelheid A. Dit word aangedui met n (A).
Byvoorbeeld:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Daarom, n (A)=4.
- B=stel letters in die woord ALGEBRA.
Ekwivalente stelle vir stelvergelyking
Twee kardinaliteite van 'n versameling A en B is so as hul kardinale getal dieselfde is. Die simbool vir die ekwivalente stel is "↔". Byvoorbeeld: A ↔ B.
Gelyke versamelings: twee kardinaliteite van versamelings A en B as hulle dieselfde elemente bevat. Elke koëffisiënt van A is 'n veranderlike van B, en elkeen van B is die gespesifiseerde waarde van A. Daarom, A=B. Die verskillende tipes kardinaliteitsverenigings en hul definisies word verduidelik deur die voorbeelde wat verskaf word.
Wese van eindigheid en oneindigheid
Wat is die verskille tussen die kardinaliteit van 'n eindige versameling en 'n oneindige versameling?
Die eerste waarde het die volgende naam as dit óf leeg is óf 'n eindige aantal elemente het. In 'n eindige versameling kan 'n veranderlike gespesifiseer word as dit 'n beperkte telling het. Gebruik byvoorbeeld die natuurlike getal 1, 2, 3. En die lysproses eindig by een of ander N. Die aantal verskillende elemente wat in die eindige versameling S getel word, word deur n (S) aangedui. Dit word ook orde of kardinaal genoem. Simbolies aangedui volgens die standaardbeginsel. Dus, as die versameling S die Russiese alfabet is, dan bevat dit 33 elemente. Dit is ook belangrik om te onthou dat 'n element nie meer as een keer in 'n stel voorkom nie.
Oneindig in die stel
'n Versameling word oneindig genoem as die elemente nie opgenoem kan word nie. As dit 'n onbeperkte (dit is ontelbare) natuurlike getal 1, 2, 3, 4 vir enige n het.’n Versameling wat nie eindig is nie, word oneindig genoem. Ons kan nou voorbeelde bespreek van die numeriese waardes wat oorweeg word. Eindwaarde-opsies:
- Laat Q={natuurlike getalle minder as 25}. Dan is Q 'n eindige versameling en n (P)=24.
- Laat R={heelgetalle tussen 5 en 45}. Dan is R 'n eindige versameling en n (R)=38.
- Laat S={getalle modulo 9}. Dan S={-9, 9} is 'n eindige versameling en n (S)=2.
- Stel van alle mense.
- Getal van alle voëls.
Oneindige voorbeelde:
- aantal bestaande punte op die vliegtuig;
- nommer van alle punte in die lynsegment;
- die stel positiewe heelgetalle wat deur 3 deelbaar is, is oneindig;
- alle heel en natuurlike getalle.
Dus, uit bogenoemde redenasie, is dit duidelik hoe om tussen eindige en oneindige versamelings te onderskei.
Krag van die kontinuumstel
As ons die stel en ander bestaande waardes vergelyk, dan word 'n byvoeging aan die stel geheg. As ξ universeel is en A 'n subset van ξ is, dan is die komplement van A die getal van alle elemente van ξ wat nie elemente van A is nie. Simbolies is die komplement van A met betrekking tot ξ A'. Byvoorbeeld, 2, 4, 5, 6 is die enigste elemente van ξ wat nie aan A behoort nie. Daarom is A'={2, 4, 5, 6}
'n Stel met kardinaliteit kontinuum het die volgende kenmerke:
- komplement van die universele hoeveelheid is die leë waarde ter sprake;
- hierdie nulstelveranderlike is universeel;
- bedrag en sy komplement is onsamehangend.
Byvoorbeeld:
- Laat die aantal natuurlike getalle 'n universele versameling wees en A ewe wees. Dan is A '{x: x 'n onewe versameling met dieselfde syfers}.
- Laat ξ=stel letters in die alfabet. A=stel konsonante. Dan A '=aantal vokale.
- Die aanvulling tot die universele stel is die leë hoeveelheid. Kan met ξ aangedui word. Dan ξ '=Die versameling van daardie elemente wat nie by ξ ingesluit is nie. Die leë versameling φ word geskryf en aangedui. Daarom ξ=φ. Dus, die komplement tot die universele versameling is leeg.
In wiskunde word "kontinuum" soms gebruik om 'n regte lyn voor te stel. En meer algemeen, om soortgelyke voorwerpe te beskryf:
- kontinuum (in versamelingsteorie) - reële lyn of ooreenstemmende kardinale getal;
- lineêr - enige geordende stel wat sekere eienskappe van 'n regte lyn deel;
- kontinuum (in topologie) - nie-leë kompakte gekoppelde metrieke spasie (soms Hausdorff);
- die hipotese dat geen oneindige versamelings groter as heelgetalle is nie, maar kleiner as reële getalle;
- die krag van die kontinuum is 'n kardinale getal wat die grootte van die stel reële getalle verteenwoordig.
In wese, 'n kontinuum (meting), teorieë of modelle wat geleidelike oorgange van een toestand na 'n ander verduidelik sonder enige skielike verandering.
Probleme van unie en kruising
Dit is bekend dat die snypunt van twee of meer versamelings die getal is wat al die elemente bevat wat algemeen in hierdie waardes voorkom. Woordtake op versamelings word opgelos om basiese idees te kry oor hoe om die vereniging- en kruisingseienskappe van versamelings te gebruik. Die hoofprobleme van woorde op opgelosstelle lyk so:
Laat A en B twee eindige versamelings wees. Hulle is so dat n (A)=20, n (B)=28 en n (A ∪ B)=36, vind n (A ∩ B)
Verwantskap in stelle deur Venn-diagram te gebruik:
- Die vereniging van twee versamelings kan voorgestel word deur 'n geskakeerde area wat A ∪ B verteenwoordig. A ∪ B wanneer A en B onsamehangende versamelings is.
- Die kruising van twee versamelings kan deur 'n Venn-diagram voorgestel word. Met geskakeerde area wat A ∩ B voorstel.
- Die verskil tussen die twee stelle kan deur Venn-diagramme voorgestel word. Met 'n geskakeerde area wat A - B voorstel.
- Verwantskap tussen drie stelle deur 'n Venn-diagram te gebruik. As ξ 'n universele grootheid verteenwoordig, dan is A, B, C drie subversamelings. Hier oorvleuel al drie stelle.
som stel inligting op
Die kardinaliteit van 'n stel word gedefinieer as die totale aantal individuele elemente in die stel. En die laaste gespesifiseerde waarde word beskryf as die aantal van alle substelle. Wanneer sulke kwessies bestudeer word, word metodes, metodes en oplossings vereis. Dus, vir die kardinaliteit van 'n stel, kan die volgende voorbeelde dien as:
Laat A={0, 1, 2, 3}| |=4, waar | A | verteenwoordig die kardinaliteit van versameling A.
Nou kan jy jou kragpak vind. Dit is ook redelik eenvoudig. Soos reeds gesê, word die drywingsversameling uit alle deelversamelings van 'n gegewe getal gestel. So mens moet basies al die veranderlikes, elemente en ander waardes van A definieer,wat {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3} is, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Nou krag bereken P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} wat 16 elemente het. Dus, die kardinaliteit van die versameling A=16. Uiteraard is dit 'n vervelige en omslagtige metode om hierdie probleem op te los. Daar is egter 'n eenvoudige formule waarmee jy direk die aantal elemente in die magversameling van 'n gegewe getal kan ken. | P |=2 ^ N, waar N die aantal elemente in sommige A is. Hierdie formule kan verkry word deur eenvoudige kombinatorika te gebruik. Die vraag is dus 2^11 aangesien die aantal elemente in versameling A 11 is.
Dus, 'n stel is enige numeries uitgedrukte hoeveelheid, wat enige moontlike voorwerp kan wees. Byvoorbeeld, motors, mense, getalle. In 'n wiskundige sin is hierdie konsep wyer en meer veralgemeen. As in die aanvanklike stadiums die getalle en opsies vir hul oplossing uitgesorteer word, dan is die toestande en take in die middel en hoër stadiums ingewikkeld. Trouens, die kardinaliteit van die vereniging van 'n versameling word bepaal deur die behoort van die voorwerp aan enige groep. Dit wil sê, een element behoort aan 'n klas, maar het een of meer veranderlikes.
