Maclaurin-reeks en uitbreiding van sommige funksies

2024 Outeur: Angel Austin | [email protected]. Laas verander: 2023-12-17 05:14

Studente van hoër wiskunde moet bewus wees dat die som van sommige magreekse wat aan die interval van konvergensie van die gegewe reeks behoort, blyk 'n kontinue en onbeperkte aantal keer gedifferensieerde funksie te wees. Die vraag ontstaan: is dit moontlik om te beweer dat 'n gegewe arbitrêre funksie f(x) die som van een of ander magreeks is? Dit wil sê, onder watter omstandighede kan die funksie f(x) deur 'n magreeks voorgestel word? Die belangrikheid van hierdie vraag lê daarin dat dit moontlik is om die funksie f(x) by benadering te vervang deur die som van die eerste paar terme van die magreeks, dit wil sê deur 'n polinoom. So 'n vervanging van 'n funksie deur 'n redelik eenvoudige uitdrukking - 'n polinoom - is ook gerieflik wanneer sommige probleme van wiskundige analise opgelos word, naamlik: wanneer integrale opgelos word, wanneer differensiaalvergelykings bereken word, ens.

Dit is bewys dat vir een of ander funksie f(х) waar afgeleides tot (n+1)de orde, insluitend die laaste een, in die buurt bereken kan word (α _{- R; x}0 _{+ R) van een of ander punt x=α die formule is geldig:}

Hierdie formule is vernoem na die bekende wetenskaplike Brook Taylor. Die reeks wat van die vorige een verkry word, word die Maclaurin-reeks genoem:

Die reël wat dit moontlik maak om in 'n Maclaurin-reeks uit te brei:

1. Bepaal afgeleides van die eerste, tweede, derde… ordes.
2. Bereken waaraan die afgeleides by x=0 gelyk is.
3. Tek die Maclaurin-reeks vir hierdie funksie op, en bepaal dan die interval van sy konvergensie.
4. Bepaal die interval (-R;R) waar die res van die Maclaurin-formule

R (x) -> 0 vir n -> oneindigheid. As een bestaan, moet die funksie f(x) daarin saamval met die som van die Maclaurin-reeks.

Oorweeg nou die Maclaurin-reeks vir individuele funksies.

1. Dus, die eerste een sal f(x)=e^x wees. Natuurlik, volgens sy kenmerke, het so 'n funksie afgeleides van verskillende ordes, en f^(k)(x)=e^x, waar k gelyk is aan almal natuurlike getalle. Kom ons vervang x=0. Ons kry f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{sal so lyk:}

2. Die Maclaurin-reeks vir die funksie f(x)=sin x. Maak dadelik duidelik dat die funksie vir alle onbekendes afgeleides sal hê, behalwe f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), waar k gelyk is aan enige natuurlike getal. Dit wil sê, nadat ons eenvoudige berekeninge gemaak het, kan ons tot die gevolgtrekking kom dat die reeks vir f(x)=sin x so sal lyk:}

3. Kom ons probeer nou om die funksie f(x)=cos x te oorweeg. Sy is vir al die onbekendehet afgeleides van arbitrêre volgorde, en |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Weereens, nadat ons 'n paar berekeninge gedoen het, kry ons dat die reeks vir f(x)=cos x so sal lyk:

So, ons het die belangrikste funksies gelys wat in die Maclaurin-reeks uitgebrei kan word, maar hulle word aangevul deur Taylor-reekse vir sommige funksies. Nou sal ons hulle lys. Dit is ook opmerklik dat Taylor- en Maclaurin-reekse 'n belangrike deel is van die praktyk om reekse in hoër wiskunde op te los. Dus, Taylor-reeks.

1. Die eerste sal 'n reeks wees vir f-ii f(x)=ln(1+x). Soos in die vorige voorbeelde, gegewe ons f (x)=ln (1 + x), kan ons 'n reeks byvoeg deur die algemene vorm van die Maclaurin-reeks te gebruik. vir hierdie funksie kan die Maclaurin-reeks egter baie eenvoudiger verkry word. Nadat 'n sekere meetkundige reeks geïntegreer is, kry ons 'n reeks vir f(x)=ln(1+x) van hierdie monster:

2. En die tweede, wat finaal in ons artikel sal wees, sal 'n reeks wees vir f (x) u003d arctg x. Vir x wat aan die interval [-1;1] behoort, is die uitbreiding geldig:

Dit is dit. Hierdie artikel het die mees gebruikte Taylor- en Maclaurin-reekse in hoër wiskunde ondersoek, veral in ekonomiese en tegniese universiteite.