Planimetrie is 'n tak van meetkunde wat die eienskappe van vlakke figure bestudeer. Dit sluit nie net bekende driehoeke, vierkante, reghoeke in nie, maar ook reguit lyne en hoeke. In planimetrie is daar ook konsepte soos hoeke in 'n sirkel: sentraal en ingeskryf. Maar wat beteken hulle?
Wat is die sentrale hoek?
Om te verstaan wat 'n sentrale hoek is, moet jy 'n sirkel definieer. 'n Sirkel is 'n versameling van alle punte ewe ver van 'n gegewe punt af (die middelpunt van die sirkel).
Dit is baie belangrik om dit van 'n sirkel te onderskei. Daar moet onthou word dat 'n sirkel 'n geslote lyn is, en 'n sirkel is 'n deel van 'n vlak wat daardeur begrens word. 'n Veelhoek of 'n hoek kan in 'n sirkel ingeskryf word.
'n Sentrale hoek is 'n hoek waarvan die hoekpunt met die middel van die sirkel saamval en waarvan die sye die sirkel by twee punte sny. Die boog, wat die hoek deur snypunte beperk, word die boog genoem waarop die gegewe hoek rus.
Beskou voorbeeld 1.
In die prentjie is hoek AOB sentraal, want die hoekpunt van die hoek en die middelpunt van die sirkel is een punt O. Dit rus op die boog AB, wat nie punt C bevat nie.
Hoe verskil 'n ingeskrewe hoek van 'n sentrale een?
Behalwe die sentrale is daar egter ook ingeskrewe hoeke. Wat is hul verskil? Net soos die sentrale een, rus die hoek wat in 'n sirkel ingeskryf is op 'n sekere boog. Maar sy hoekpunt val nie saam met die middelpunt van die sirkel nie, maar lê daarop.
Kom ons neem die volgende voorbeeld.
Hoek ACB word 'n hoek genoem wat in 'n sirkel ingeskryf is by punt O. Punt C behoort aan die sirkel, dit wil sê, lê daarop. Die hoek rus op die boog AB.
Wat is die sentrale hoek
Om probleme in meetkunde suksesvol te hanteer, is dit nie genoeg om tussen ingeskrewe en sentrale hoeke te kan onderskei nie. As 'n reël, om dit op te los, moet jy presies weet hoe om die sentrale hoek in 'n sirkel te vind, en die waarde daarvan in grade te kan bereken.
Dus, die sentrale hoek is gelyk aan die graadmaat van die boog waarop dit rus.
In die prentjie rus die hoek AOB op die boog AB gelyk aan 66°. Dus is die hoek AOB ook gelyk aan 66°.
Dus, die sentrale hoeke gebaseer op gelyke boë is gelyk.
In die figuur is boog GS gelyk aan boog AB. Dus is hoek AOB gelyk aan hoek DOC.
Hoe om 'n ingeskrewe hoek te vind
Dit mag lyk asof die hoek wat in die sirkel geskryf is, gelyk is aan die sentrale hoek,wat op dieselfde boog staatmaak. Dit is egter 'n growwe fout. Om die waarheid te sê, selfs deur net na die tekening te kyk en hierdie hoeke met mekaar te vergelyk, kan jy sien dat hul graadmate verskillende waardes sal hê. So, wat is die hoek wat in die sirkel ingeskryf is?
Die graadmaat van 'n ingeskrewe hoek is die helfte van die boog waarop dit rus, of die helfte van die sentrale hoek as hulle op dieselfde boog staatmaak.
Kom ons kyk na 'n voorbeeld. Hoek ACB is gebaseer op 'n boog gelyk aan 66°.
Dus die hoek DIA=66°: 2=33°
Kom ons kyk na 'n paar gevolge van hierdie stelling.
- Ingeskrewe hoeke, as hulle op dieselfde boog, koord of gelyke boë gebaseer is, is gelyk.
- As die ingeskrewe hoeke op dieselfde koord gebaseer is, maar hulle hoekpunte aan teenoorgestelde kante daarvan lê, is die som van die graadmate van sulke hoeke 180°, aangesien beide hoeke in hierdie geval op boë gebaseer is, waarvan die totale graadmaat 360° is (hele sirkel), 360°: 2=180°
- As die ingeskrewe hoek gebaseer is op die deursnee van die gegewe sirkel, is die graadmaat 90°, aangesien die deursnee 'n boog gelyk aan 180° onderspan, 180°: 2=90°
- As die sentrale en ingeskrewe hoeke in 'n sirkel op dieselfde boog of koord gebaseer is, dan is die ingeskrewe hoek gelyk aan die helfte van die sentrale een.
Waar kan probleme oor hierdie onderwerp gevind word? Hulle tipes en oplossings
Aangesien die sirkel en sy eienskappe een van die belangrikste afdelings van meetkunde is, veral planimetrie, is die ingeskrewe en sentrale hoeke in die sirkel 'n onderwerp wat wyd en in detail isin die skoolkurrikulum gestudeer. Take wat aan hul eiendomme gewy word, word gevind in die hoofstaateksamen (OGE) en die verenigde staatseksamen (USE). As 'n reël, om hierdie probleme op te los, moet jy die hoeke op die sirkel in grade vind.
Hoeke gebaseer op dieselfde boog
Hierdie tipe probleme is miskien een van die maklikste, want om dit op te los, hoef jy net twee eenvoudige eienskappe te ken: as albei hoeke ingeskryf is en op dieselfde koord leun, is hulle gelyk, as een van hulle is sentraal, dan is die ooreenstemmende ingeskrewe hoek gelyk aan die helfte daarvan. Wanneer u dit egter oplos, moet u uiters versigtig wees: soms is dit moeilik om hierdie eiendom raak te sien, en studente, wanneer hulle sulke eenvoudige probleme oplos, kom tot 'n doodloopstraat. Beskou 'n voorbeeld.
Probleem 1
Gegee 'n sirkel gesentreer by punt O. Hoek AOB is 54°. Vind die graadmaat van die hoek DIA.
Hierdie taak word in een stap opgelos. Die enigste ding wat jy nodig het om vinnig die antwoord daarop te vind, is om op te let dat die boog waarop albei hoeke rus 'n algemene een is. As u dit sien, kan u die reeds bekende eiendom toepas. Hoek ACB is die helfte van die hoek AOB. Dus
1) AOB=54°: 2=27°.
Antwoord: 54°.
Hoeke gebaseer op verskillende boë van dieselfde sirkel
Soms word die grootte van die boog waarop die vereiste hoek rus, nie direk in die toestande van die probleem gespesifiseer nie. Om dit te kan bereken, moet jy die grootte van hierdie hoeke ontleed en dit met die bekende eienskappe van die sirkel vergelyk.
Probleem 2
In 'n sirkel gesentreer op O, hoek AOCis 120°, en die hoek AOB is 30°. Vind die hoek JY.
Om mee te begin, is dit die moeite werd om te sê dat dit moontlik is om hierdie probleem op te los deur die eienskappe van gelykbenige driehoeke te gebruik, maar dit sal meer wiskundige bewerkings verg. Daarom sal ons hier die oplossing ontleed deur die eienskappe van sentrale en ingeskrewe hoeke in 'n sirkel te gebruik.
Dus, die hoek AOC rus op die boog AC en is sentraal, wat beteken dat die boog AC gelyk is aan die hoek AOC.
AC=120°
Op dieselfde manier rus die hoek AOB op die boog AB.
AB=30°.
Om dit en die graadmaat van die hele sirkel (360°) te ken, kan jy maklik die grootte van die boog vC vind.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Die hoekpunt van die hoek CAB, punt A, lê op die sirkel. Gevolglik is die hoek CAB ingeskryf en gelyk aan die helfte van die boog CB.
CAB-hoek=210°: 2=110°
Antwoord: 110°
Probleme gebaseer op boogverhoudings
Sommige probleme bevat glad nie data oor hoeke nie, daarom moet hulle net op grond van bekende stellings en eienskappe van 'n sirkel gesoek word.
Probleem 1
Vind die hoek ingeskryf in 'n sirkel wat ondersteun word deur 'n koord gelyk aan die radius van die gegewe sirkel.
As jy verstandelik lyne trek wat die punte van die segment met die middel van die sirkel verbind, kry jy 'n driehoek. Nadat jy dit ondersoek het, kan jy sien dat hierdie lyne die radiusse van die sirkel is, wat beteken dat alle sye van die driehoek gelyk is. Ons weet dat alle hoeke van 'n gelyksydige driehoekis gelyk aan 60°. Gevolglik is die boog AB wat die hoekpunt van die driehoek bevat gelyk aan 60°. Van hier af vind ons die boog AB, waarop die verlangde hoek gebaseer is.
AB=360° - 60°=300°
Angle ABC=300°: 2=150°
Antwoord: 150°
Probleem 2
In 'n sirkel wat by punt O gesentreer is, word die boë as 3:7 verwant. Vind die kleiner ingeskrewe hoek.
Vir die oplossing dui ons een deel as X aan, dan is een boog gelyk aan 3X, en die tweede, onderskeidelik, 7X. Met die wete dat die graadmaat van 'n sirkel 360° is, kan ons 'n vergelyking skryf.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Volgens die toestand moet jy 'n kleiner hoek vind. Uiteraard, as die waarde van die hoek direk eweredig is aan die boog waarop dit rus, dan stem die vereiste (kleiner) hoek ooreen met 'n boog gelyk aan 3X.
Dus die kleiner hoek is (36°3): 2=108°: 2=54°
Antwoord: 54°
Probleem 3
In 'n sirkel wat by punt O gesentreer is, is die hoek AOB 60° en die lengte van die kleiner boog is 50. Bereken die lengte van die groter boog.
Om die lengte van 'n groter boog te bereken, moet jy 'n proporsie maak - hoe die kleiner boog met die groter een verband hou. Om dit te doen, bereken ons die grootte van beide boë in grade. Die kleiner boog is gelyk aan die hoek wat daarop rus. Sy graadmaat is 60°. Die groter boog is gelyk aan die verskil tussen die graadmaat van die sirkel (dit is gelyk aan 360° ongeag ander data) en die kleiner boog.
Die groot boog is 360° - 60°=300°.
Sedert 300°: 60°=5, is die groter boog 5 keer die kleiner een.
Groot boog=505=250
Antwoord: 250
So, natuurlik, daar is anderbenaderings om soortgelyke probleme op te los, maar almal is op een of ander manier gebaseer op die eienskappe van sentrale en ingeskrewe hoeke, driehoeke en sirkels. Om dit suksesvol op te los, moet jy die tekening noukeurig bestudeer en dit met die data van die probleem vergelyk, asook jou teoretiese kennis in die praktyk kan toepas.
