Die student ontmoet die meeste oppervlaktes van die 2de orde in die eerste jaar. Aanvanklik lyk take oor hierdie onderwerp dalk eenvoudig, maar soos jy hoër wiskunde bestudeer en die wetenskaplike kant verdiep, kan jy uiteindelik ophou om jouself te oriënteer in wat gebeur. Om te voorkom dat dit gebeur, is dit nodig om nie net te memoriseer nie, maar om te verstaan hoe hierdie of daardie oppervlak verkry word, hoe die verandering van die koëffisiënte dit beïnvloed en die ligging daarvan relatief tot die oorspronklike koördinaatstelsel, en hoe om 'n nuwe stelsel te vind. (een waarin sy middelpunt saamval met die oorsprongkoördinate, en die simmetrie-as parallel aan een van die koördinaat-asse is). Kom ons begin van die begin af.
Definisie
GMT word 'n 2de-orde oppervlak genoem, waarvan die koördinate voldoen aan die algemene vergelyking van die volgende vorm:
F(x, y, z)=0.
Dit is duidelik dat elke punt wat aan die oppervlak behoort drie koördinate in een of ander aangewese basis moet hê. Alhoewel in sommige gevalle die lokus van punte kan ontaard, byvoorbeeld in 'n vliegtuig. Dit beteken net dat een van die koördinate konstant is en gelyk is aan nul in die hele reeks aanvaarbare waardes.
Die volledige geverfde vorm van die gelykheid wat hierbo genoem word, lyk soos volg:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – sommige konstantes, x, y, z – veranderlikes wat ooreenstem met affiene koördinate van een of ander punt. In hierdie geval moet ten minste een van die konstante faktore nie gelyk aan nul wees nie, dit wil sê, geen punt sal met die vergelyking ooreenstem nie.
In die oorgrote meerderheid van voorbeelde is baie numeriese faktore steeds identies gelyk aan nul, en die vergelyking is baie vereenvoudig. In die praktyk is dit nie moeilik om te bepaal of 'n punt aan 'n oppervlak behoort nie (dit is genoeg om sy koördinate in die vergelyking te vervang en te kyk of die identiteit waargeneem word). Die sleutelpunt in sulke werk is om laasgenoemde tot 'n kanonieke vorm te bring.
Die vergelyking hierbo geskryf definieer enige (almal hieronder gelys) oppervlaktes van die 2de orde. Ons sal voorbeelde hieronder oorweeg.
tipes oppervlaktes van die 2de orde
Vergelykings van oppervlaktes van die 2de orde verskil slegs in die waardes van die koëffisiënte Anm. Vanuit die algemene siening, vir sekere waardes van die konstantes, kan verskeie oppervlaktes verkry word, soos volg geklassifiseer:
- Silinders.
- Elliptiese tipe.
- hiperboliese tipe.
- Koniese tipe.
- Paraboliese tipe.
- Vliegtuie.
Elkeen van die gelyste tipes het 'n natuurlike en denkbeeldige vorm: in die denkbeeldige vorm ontaard die lokus van werklike punte óf in 'n eenvoudiger figuur, óf is heeltemal afwesig.
Silinders
Dit is die eenvoudigste tipe, aangesien 'n relatief komplekse kromme net by die basis lê en as 'n gids dien. Die kragopwekkers is reguit lyne loodreg op die vlak waarin die basis lê.
Die grafiek toon 'n sirkelvormige silinder, 'n spesiale geval van 'n elliptiese silinder. In die XY-vlak sal sy projeksie 'n ellips wees (in ons geval, 'n sirkel) - 'n gids, en in XZ - 'n reghoek - aangesien die kragopwekkers parallel aan die Z-as is. Om dit uit die algemene vergelyking te kry, moet jy om die koëffisiënte die volgende waardes te gee:
In plaas van die gewone simbole word x, y, z, x met 'n reeksnommer gebruik - dit maak nie saak nie.
Trouens, 1/a2en die ander konstantes wat hier aangedui word, is dieselfde koëffisiënte wat in die algemene vergelyking aangedui word, maar dit is gebruiklik om dit in hierdie vorm te skryf - dit is die kanonieke voorstelling. Verder sal slegs so 'n notasie gebruik word.
Dit is hoe 'n hiperboliese silinder gedefinieer word. Die skema is dieselfde - die hiperbool sal die riglyn wees.
y2=2px
'n Paraboliese silinder word ietwat anders gedefinieer: sy kanoniese vorm sluit 'n koëffisiënt p in, wat 'n parameter genoem word. Trouens, die koëffisiënt is gelyk aan q=2p, maar dit is gebruiklik om dit te verdeel in die twee faktore wat aangebied word.
Daar is 'n ander tipe silinder: denkbeeldig. Geen werklike punt behoort aan so 'n silinder nie. Dit word deur die vergelyking beskryfelliptiese silinder, maar in plaas van eenheid is -1.
Elliptiese tipe
'n Ellipsoïed kan langs een van die asse gestrek word (waarlangs dit afhang van die waardes van die konstantes a, b, c, hierbo aangedui; dit is duidelik dat 'n groter koëffisiënt met die groter as sal ooreenstem).
Daar is ook 'n denkbeeldige ellipsoïed - mits die som van die koördinate vermenigvuldig met die koëffisiënte -1: is
Hyperboloïede
Wanneer 'n minus in een van die konstantes voorkom, verander die ellipsoïedvergelyking in die vergelyking van 'n enkelbladhiperboloïed. Dit moet verstaan word dat hierdie minus nie voor die x3-koördinaat geleë hoef te wees nie! Dit bepaal slegs watter van die asse die rotasie-as van die hiperboloïed sal wees (of parallel daaraan, aangesien bykomende terme in die vierkant verskyn (byvoorbeeld, (x-2)2) die middelpunt van die figuur skuif, as gevolg daarvan beweeg die oppervlak parallel met die koördinaat-asse). Dit geld vir alle 2de-orde oppervlaktes.
Boonop moet jy verstaan dat die vergelykings in kanoniese vorm aangebied word en hulle kan verander word deur die konstantes te verander (met die teken behoue!); terwyl hul vorm (hiperboloïed, keël, ensovoorts) dieselfde sal bly.
Hierdie vergelyking word reeds gegee deur 'n hiperboloïed met twee velle.
Koniese oppervlak
Daar is geen eenheid in die keëlvergelyking nie - gelykheid aan nul.
Slegs 'n begrensde keëloppervlak word 'n keël genoem. Die prent hieronder wys dat daar in werklikheid twee sogenaamde keëls op die grafiek sal wees.
Belangrike nota: in alle beskou kanonieke vergelykings, word die konstantes by verstek positief geneem. Andersins kan die teken die finale grafiek beïnvloed.
Die koördinaatvlakke word die vlakke van simmetrie van die keël, die middelpunt van simmetrie is by die oorsprong geleë.
Daar is net pluspunte in die denkbeeldige keëlvergelyking; dit besit een enkele werklike punt.
Paraboloïede
Oppervlaktes van 2de orde in die ruimte kan verskillende vorms aanneem selfs met soortgelyke vergelykings. Daar is byvoorbeeld twee tipes paraboloïede.
x2/a2+y2/b2=2z
'n Elliptiese paraboloïed, wanneer die Z-as loodreg op die tekening is, sal in 'n ellips geprojekteer word.
x2/a2-y2/b2=2z
Hiperboliese paraboloïed: dele met vlakke parallel aan ZY sal parabole produseer, en dele met vlakke parallel met XY sal hiperbole produseer.
Kruisende vliegtuie
Daar is gevalle wanneer oppervlaktes van die 2de orde in 'n vlak ontaard. Hierdie vliegtuie kan op verskeie maniere gerangskik word.
Beskou eers die kruisende vlakke:
x2/a2-y2/b2=0
Hierdie wysiging van die kanoniese vergelyking lei tot net twee snyvlakke (denkbeeldig!); alle reële punte is op die as van die koördinaat wat in die vergelyking ontbreek (in die kanoniese - die Z-as).
Parallelle vliegtuie
y2=a2
Wanneer daar net een koördinaat is, ontaard die oppervlaktes van die 2de orde in 'n paar parallelle vlakke. Onthou, enige ander veranderlike kan die plek van Y inneem; dan sal vlakke parallel met ander asse verkry word.
y2=−a2
In hierdie geval word hulle denkbeeldig.
Samevallende vliegtuie
y2=0
Met so 'n eenvoudige vergelyking ontaard 'n paar vliegtuie in een - hulle val saam.
Moenie vergeet dat in die geval van 'n driedimensionele basis, bogenoemde vergelyking nie die reguitlyn y=0 definieer nie! Dit het nie die ander twee veranderlikes nie, maar dit beteken net dat hul waarde konstant en gelyk aan nul is.
Gebou
Een van die moeilikste take vir 'n student is die konstruksie van oppervlaktes van die 2de orde. Dit is selfs moeiliker om van een koördinaatstelsel na 'n ander te beweeg, gegewe die hoeke van die kromme met betrekking tot die asse en die verskuiwing van die middelpunt. Kom ons herhaal hoe om die toekomstige aansig van die tekening konsekwent met 'n analitiese te bepaalmanier.
Om 'n 2de-orde oppervlak te bou, benodig jy:
- bring die vergelyking na kanonieke vorm;
- bepaal die tipe oppervlak wat bestudeer word;
- konstruksie gebaseer op koëffisiëntwaardes.
Hieronder is al die tipes wat oorweeg word:
Om te konsolideer, kom ons beskryf in detail een voorbeeld van hierdie tipe taak.
Voorbeelde
Sê nou daar is 'n vergelyking:
3(x2-2x+1)+6j2+2z2+ 60j+144=0
Kom ons bring dit na die kanonieke vorm. Laat ons die volle kwadrate uitsonder, dit wil sê ons rangskik die beskikbare terme op so 'n manier dat hulle die uitbreiding van die kwadraat van die som of verskil is. Byvoorbeeld: as (a+1)2=a2+2a+1, dan is 'n2+2a +1=(a+1)2. Ons sal die tweede operasie uitvoer. In hierdie geval is dit nie nodig om die hakies oop te maak nie, aangesien dit net die berekeninge sal bemoeilik, maar dit is nodig om die gemeenskaplike faktor 6 uit te haal (tussen hakies met die volle vierkant van die Y):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
Die veranderlike z kom in hierdie geval net een keer voor - jy kan dit vir eers laat staan.
Ons ontleed die vergelyking op hierdie stadium: alle onbekendes word deur 'n plusteken voorafgegaan; as dit deur ses gedeel word, bly een oor. Daarom het ons 'n vergelyking wat 'n ellipsoïed definieer.
Let daarop dat 144 in 150-6 verreken is, waarna die -6 na regs geskuif is. Hoekom moes dit so gedoen word? Natuurlik is die grootste deler in hierdie voorbeeld -6, sodat na deling daardeuras 'n mens aan die regterkant links is, is dit nodig om presies 6 vanaf 144 te "uitstel" (die feit dat 'n mens regs moet wees word aangedui deur die teenwoordigheid van 'n vrye term - 'n konstante wat nie met 'n onbekende vermenigvuldig word nie).
Deel alles deur ses en kry die kanoniese vergelyking van die ellipsoïed:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
In die voorheen gebruikte klassifikasie van oppervlaktes van die 2de orde, word 'n spesiale geval oorweeg wanneer die middelpunt van die figuur by die oorsprong van koördinate is. In hierdie voorbeeld is dit verreken.
Ons neem aan dat elke parentese met onbekendes 'n nuwe veranderlike is. Dit is: a=x-1, b=y+5, c=z. In die nuwe koördinate val die middelpunt van die ellipsoïed saam met die punt (0, 0, 0), dus a=b=c=0, waarvandaan: x=1, y=-5, z=0. In die aanvanklike koördinate lê die middelpunt van die figuur by die punt (1, -5, 0).
Ellipsoïed sal verkry word vanaf twee ellipse: die eerste in die XY-vlak en die tweede in die XZ-vlak (of YZ - dit maak nie saak nie). Die koëffisiënte waarmee die veranderlikes gedeel word, word in die kanoniese vergelyking gekwadraat. Daarom sal dit in die voorbeeld hierbo meer korrek wees om te deel deur die wortel van twee, een en die wortel van drie.
Die klein-as van die eerste ellips, parallel aan die Y-as, is twee. Die hoof-as parallel aan die x-as is twee wortels van twee. Die klein-as van die tweede ellips, parallel aan die Y-as, bly dieselfde - dit is gelyk aan twee. En die hoof-as, parallel aan die Z-as, is gelyk aan twee wortels van drie.
Met die hulp van die data verkry uit die oorspronklike vergelyking deur om te skakel na die kanonieke vorm, kan ons 'n ellipsoïed teken.
Opsomming
Gedek in hierdie artikeldie onderwerp is redelik omvangryk, maar eintlik, soos jy nou kan sien, nie baie ingewikkeld nie. Die ontwikkeling daarvan eindig in werklikheid op die oomblik wanneer jy die name en vergelykings van oppervlaktes memoriseer (en, natuurlik, hoe hulle lyk). In die voorbeeld hierbo het ons elke stap in detail bespreek, maar om die vergelyking na die kanonieke vorm te bring, vereis minimale kennis van hoër wiskunde en behoort geen probleme vir die student te veroorsaak nie.
Ontleding van die toekomstige skedule oor die bestaande gelykheid is reeds 'n moeiliker taak. Maar vir die suksesvolle oplossing daarvan is dit genoeg om te verstaan hoe die ooreenstemmende tweede-orde kurwes gebou is - ellipse, parabole en ander.
Degenerasiegevalle - 'n selfs eenvoudiger afdeling. Weens die afwesigheid van sommige veranderlikes word nie net die berekeninge vereenvoudig, soos vroeër genoem nie, maar ook die konstruksie self.
Sodra jy alle soorte oppervlaktes met selfvertroue kan noem, verander die konstantes en verander die grafiek in een of ander vorm - die onderwerp sal bemeester word.
Sukses in jou studies!
