Die oplossing van vergelykings in wiskunde het 'n spesiale plek. Hierdie proses word voorafgegaan deur baie ure se bestudering van die teorie, waartydens die student leer hoe om vergelykings op te los, hul vorm te bepaal en die vaardigheid tot volle outomatisme te bring. Die soeke na wortels maak egter nie altyd sin nie, aangesien dit dalk eenvoudig nie bestaan nie. Daar is spesiale metodes om wortels te vind. In hierdie artikel sal ons die hooffunksies, hul omvang, sowel as gevalle waar hul wortels afwesig is, ontleed.
Watter vergelyking het geen wortels nie?
'n Vergelyking het geen wortels as daar nie sulke reële argumente x is waarvoor die vergelyking identies waar is nie. Vir 'n nie-spesialis lyk hierdie formulering, soos die meeste wiskundige stellings en formules, baie vaag en abstrak, maar dit is in teorie. In die praktyk word alles uiters eenvoudig. Byvoorbeeld: die vergelyking 0x=-53 het geen oplossing nie, aangesien daar nie so 'n getal x is nie, waarvan die produk met nul iets anders as nul sou gee.
Nou sal ons kyk na die mees basiese tipes vergelykings.
1. Lineêre vergelyking
'n Vergelyking word lineêr genoem as sy regter- en linkerdele as lineêre funksies voorgestel word: ax + b=cx + d of in 'n algemene vorm kx + b=0. Waar a, b, c, d bekend is getalle, en x is 'n onbekende hoeveelheid. Watter vergelyking het geen wortels nie? Voorbeelde van lineêre vergelykings word in die illustrasie hieronder getoon.
Basies, lineêre vergelykings word opgelos deur bloot die getaldeel na een deel en die inhoud van x na die ander deel te skuif. Dit blyk 'n vergelyking van die vorm mx \u003d n, waar m en n getalle is, en x 'n onbekende is. Om x te vind, is dit genoeg om beide dele deur m te deel. Dan x=n/m. Basies het lineêre vergelykings net een wortel, maar daar is gevalle wanneer daar óf oneindig baie wortels is óf glad nie. Met m=0 en n=0 neem die vergelyking die vorm aan 0x=0. Absoluut enige getal sal die oplossing vir so 'n vergelyking wees.
Maar watter vergelyking het geen wortels nie?
Wanneer m=0 en n=0, het die vergelyking geen wortels van die stel reële getalle nie. 0x=-1; 0x=200 - hierdie vergelykings het geen wortels nie.
2. Kwadratiese vergelyking
'n Kwadratiese vergelyking is 'n vergelyking met die vorm ax2 + bx + c=0 vir a=0. Die mees algemene manier om 'n kwadratiese vergelyking op te los is om dit op te los deur die diskriminant. Die formule om die diskriminant van 'n kwadratiese vergelyking te vind: D=b2 - 4ac. Dan is daar twee wortels x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Wanneer D > 0 het, het die vergelyking twee wortels, wanneer D=0 - een wortel. Maar watter kwadratiese vergelyking het geen wortels nie?Die maklikste manier om die aantal wortels van 'n kwadratiese vergelyking waar te neem, is op die grafiek van 'n funksie, wat 'n parabool is. By 'n > 0 is die takke opwaarts gerig, by 'n < 0 word die takke laat sak. As die diskriminant negatief is, het so 'n kwadratiese vergelyking geen wortels in die stel reële getalle nie.
Jy kan ook die aantal wortels visueel bepaal sonder om die diskriminant te bereken. Om dit te doen, moet jy die bokant van die parabool vind en bepaal in watter rigting die takke gerig word. Jy kan die x-koördinaat van 'n hoekpunt bepaal deur die formule te gebruik: x0 =-b / 2a. In hierdie geval word die y-koördinaat van die hoekpunt gevind deur bloot die x0 waarde in die oorspronklike vergelyking te vervang.
Die kwadratiese vergelyking x2 – 8x + 72=0 het geen wortels nie, want dit het 'n negatiewe diskriminant D=(–8)2 - 4172=-224. Dit beteken dat die parabool nie aan die x-as raak nie en die funksie neem nooit die waarde 0 nie, dus het die vergelyking geen reële wortels nie.
3. Trigonometriese vergelykings
Trigonometriese funksies word op 'n trigonometriese sirkel beskou, maar kan ook in 'n Cartesiese koördinaatstelsel voorgestel word. In hierdie artikel gaan ons kyk na twee basiese trigonometriese funksies en hul vergelykings: sinx en cosx. Aangesien hierdie funksies 'n trigonometriese sirkel met radius 1 vorm, |sinx| en |cosx| kan nie groter as 1 wees nie. So watter sinx-vergelyking het geen wortels nie? Beskou die grafiek van die sinx-funksie wat in die prent aangebied wordhieronder.
Ons sien dat die funksie simmetries is en 'n herhalingsperiode van 2pi het. Op grond hiervan kan ons sê dat die maksimum waarde van hierdie funksie 1 kan wees, en die minimum -1. Byvoorbeeld, die uitdrukking cosx=5 sal nie wortels hê nie, aangesien sy modulo groter as een is.
Dit is die eenvoudigste voorbeeld van trigonometriese vergelykings. Trouens, hul oplossing kan baie bladsye neem, aan die einde daarvan besef jy dat jy die verkeerde formule gebruik het en jy moet van voor af begin. Soms, selfs met die korrekte bevinding van die wortels, kan jy vergeet om die beperkings op die ODZ in ag te neem, en daarom verskyn 'n ekstra wortel of interval in die antwoord, en die hele antwoord verander in 'n foutiewe een. Volg dus streng al die beperkings, want nie alle wortels pas in die omvang van die taak nie.
4. Stelsels van vergelykings
'n Stelsel vergelykings is 'n stel vergelykings gekombineer met krullerige of vierkantige hakies. Krullerhakies dui die gesamentlike uitvoering van alle vergelykings aan. Dit wil sê, as ten minste een van die vergelykings geen wortels het nie of die ander weerspreek, het die hele stelsel geen oplossing nie. Vierkante hakies dui die woord "of" aan. Dit beteken dat as ten minste een van die vergelykings van die stelsel 'n oplossing het, dan het die hele stelsel 'n oplossing.
Die antwoord van die stelsel met vierkantige hakies is die totaliteit van al die wortels van die individuele vergelykings. En stelsels met krullerige draadjies het net gemeenskaplike wortels. Stelsels vergelykings kan absoluut uiteenlopende funksies insluit, so hierdie kompleksiteit is nielaat jou toe om dadelik te sê watter vergelyking geen wortels het nie.
Veralgemening en wenke om die wortels van die vergelyking te vind
In probleemboeke en handboeke is daar verskillende tipes vergelykings: dié wat wortels het, en dié wat dit nie het nie. Eerstens, as jy nie wortels kan vind nie, moenie dink hulle bestaan glad nie. Jy het dalk iewers 'n fout gemaak, kyk dan net na jou oplossing.
Ons het die mees basiese vergelykings en hul tipes gedek. Nou kan jy sien watter vergelyking geen wortels het nie. In die meeste gevalle is dit glad nie moeilik om te doen nie. Om sukses in die oplossing van vergelykings te behaal, word slegs aandag en konsentrasie vereis. Oefen meer, dit sal jou help om die materiaal baie beter en vinniger te navigeer.
Dus, die vergelyking het geen wortels as:
- in die lineêre vergelyking mx=n die waarde m=0 en n=0;
- in 'n kwadratiese vergelyking as die diskriminant minder as nul is;
- in 'n trigonometriese vergelyking van die vorm cosx=m / sinx=n, as |m| > 0, |n| > 0;
- in 'n stelsel van vergelykings met krullerige hakies as ten minste een vergelyking geen wortels het nie, en met vierkantige hakies as alle vergelykings geen wortels het nie.
