Vir baie mense is wiskundige analise net 'n stel onverstaanbare getalle, ikone en definisies wat ver van die werklike lewe is. Die wêreld waarin ons bestaan is egter gebou op numeriese patrone, waarvan die identifisering nie net help om van die wêreld om ons te leer en die komplekse probleme daarvan op te los nie, maar ook om alledaagse praktiese take te vereenvoudig. Wat bedoel 'n wiskundige as hy sê dat 'n getallery konvergeer? Dit moet in meer besonderhede bespreek word.
Wat is 'n infinitesimaal?
Kom ons stel ons matrjosjka-poppe voor wat die een in die ander pas. Hul groottes, geskryf in die vorm van getalle, wat begin met die grootste en eindig met die kleinste van hulle, vorm 'n ry. As jy jou 'n oneindige aantal sulke helder figure voorstel, sal die gevolglike ry fantasties lank wees. Dit is 'n konvergente getalreeks. En dit neig na nul, aangesien die grootte van elke daaropvolgende nespop, wat katastrofies afneem, geleidelik in niks verander nie. Dit is dus maklikkan verduidelik word: wat is oneindig klein.
'n Soortgelyke voorbeeld sal 'n pad wees wat na die verte lei. En die visuele afmetings van die motor wat daarlangs van die waarnemer wegry, wat geleidelik krimp, verander in 'n vormlose spikkel wat soos 'n kolletjie lyk. Dus word die masjien, soos 'n voorwerp wat in 'n onbekende rigting wegbeweeg, oneindig klein. Die parameters van die gespesifiseerde liggaam sal nooit nul wees in die letterlike sin van die woord nie, maar neig altyd na hierdie waarde in die finale limiet. Daarom konvergeer hierdie ry weer na nul.
Bereken alles druppel vir druppel
Kom ons stel ons nou 'n wêreldse situasie voor. Die dokter het die pasiënt voorgeskryf om die medisyne te neem, begin met tien druppels per dag en voeg twee elke volgende dag by. En so het die dokter voorgestel om voort te gaan totdat die inhoud van die bottel medisyne, waarvan die volume 190 druppels is, opraak. Dit volg uit die voorafgaande dat die aantal sulkes, geskeduleer volgens dag, die volgende nommerreekse sal wees: 10, 12, 14 ensovoorts.
Hoe om die tyd uit te vind om die hele kursus te voltooi en die aantal lede van die reeks? Hier kan mens natuurlik druppels op primitiewe wyse tel. Maar dit is baie makliker, gegewe die patroon, om die formule te gebruik vir die som van 'n rekenkundige progressie met 'n stap d=2. En deur hierdie metode te gebruik, vind uit dat die aantal lede van die getallereeks 10 is. In hierdie geval, a10=28. Die penisnommer dui die aantal dae van die neem van die medisyne aan, en 28 stem ooreen met die aantal druppels wat die pasiënt moetgebruik op die laaste dag. Konvergeer hierdie volgorde? Nee, want ten spyte van die feit dat dit beperk is tot 10 van onder en 28 van bo, het so 'n getallereeks geen beperking nie, anders as die vorige voorbeelde.
Wat is die verskil?
Kom ons probeer nou om te verduidelik: wanneer die getallereeks 'n konvergente ry blyk te wees. 'n Definisie van hierdie soort, soos uit bogenoemde afgelei kan word, hou direk verband met die konsep van 'n eindige limiet, waarvan die teenwoordigheid die essensie van die saak openbaar. So wat is die fundamentele verskil tussen die vorige voorbeelde? En hoekom in die laaste van hulle kan die getal 28 nie as die limiet van die getalreeks X =10 + 2(n-1) beskou word nie?
Om hierdie vraag te verduidelik, oorweeg nog 'n ry wat deur die formule hieronder gegee word, waar n tot die versameling natuurlike getalle behoort.
Hierdie gemeenskap van lede is 'n stel gewone breuke, waarvan die teller 1 is, en die noemer neem voortdurend toe: 1, ½ …
Boonop nader elke opeenvolgende verteenwoordiger van hierdie reeks 0 meer en meer in terme van ligging op die getallelyn. En dit beteken dat so 'n buurt verskyn waar die punte rondom nul groepeer, wat die limiet is. En hoe nader hulle daaraan is, hoe digter word hul konsentrasie op die getallelyn. En die afstand tussen hulle word rampspoedig verminder, en verander in 'n oneindige een. Dit is 'n teken dat die ry konvergeer.
SoortgelykDus, die veelkleurige reghoeke wat in die figuur getoon word, wanneer hulle wegbeweeg in die ruimte, is visueel meer druk, in die hipotetiese limiet verander in weglaatbaar.
Oneindig groot rye
Nadat ons die definisie van 'n konvergente ry ontleed het, kom ons gaan aan na teenvoorbeelde. Baie van hulle is sedert antieke tye aan die mens bekend. Die eenvoudigste variante van divergente rye is die reeks natuurlike en ewe getalle. Hulle word op 'n ander manier oneindig groot genoem, aangesien hul lede, wat voortdurend toeneem, toenemend positiewe oneindigheid nader.
'n Voorbeeld hiervan kan ook enige van die rekenkundige en meetkundige progressies wees met onderskeidelik stap en noemer groter as nul. Boonop word numeriese reekse as divergente rye beskou, wat glad nie 'n limiet het nie. Byvoorbeeld, X =(-2) -1.
Fibonacci-reeks
Die praktiese voordele van die voorheen genoemde nommerreeks vir die mensdom is onmiskenbaar. Maar daar is talle ander goeie voorbeelde. Een van hulle is die Fibonacci-reeks. Elkeen van sy lede, wat met een begin, is die som van die voriges. Sy eerste twee verteenwoordigers is 1 en 1. Die derde 1+1=2, die vierde 1+2=3, die vyfde 2+3=5. Verder, volgens dieselfde logika, volg die getalle 8, 13, 21 ensovoorts.
Hierdie reeks getalle neem onbepaald toe en het geenfinale limiet. Maar dit het nog 'n wonderlike eiendom. Die verhouding van elke vorige getal tot die volgende een kom al hoe nader in sy waarde aan 0,618. Hier kan jy die verskil tussen 'n konvergente en divergente ry verstaan, want as jy 'n reeks ontvangde parsiële verdelings maak, sal die aangeduide numeriese stelsel het 'n eindige limiet gelyk aan 0,618.
Opeenvolging van Fibonacci-verhoudings
Die nommerreeks wat hierbo aangedui word, word wyd gebruik vir praktiese doeleindes vir die tegniese ontleding van markte. Maar dit is nie beperk tot sy vermoëns nie, wat die Egiptenare en Grieke geken het en in die antieke tye in die praktyk kon toepas. Dit word bewys deur die piramides wat hulle gebou het en die Parthenon. Die getal 0,618 is immers 'n konstante koëffisiënt van die goue snit, wat in die ou dae bekend was. Volgens hierdie reël kan enige arbitrêre segment verdeel word sodat die verhouding tussen sy dele sal saamval met die verhouding tussen die grootste van die segmente en die totale lengte.
Kom ons konstrueer 'n reeks van die aangeduide verwantskappe en probeer om hierdie ry te ontleed. Die getallereeks sal soos volg wees: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 ensovoorts. Deur op hierdie manier voort te gaan, kan ons seker maak dat die limiet van die konvergente ry wel 0,618 sal wees. Dit is egter nodig om te let op ander eienskappe van hierdie reëlmaat. Hier lyk dit of die getalle ewekansig verloop, en glad nie in stygende of dalende volgorde nie. Dit beteken dat hierdie konvergente ry nie eentonig is nie. Hoekom dit so is, sal verder bespreek word.
Monotonisiteit en beperking
Lede van die nommerreeks kan duidelik verminder met toenemende getal (as x1>x2>x3>…>x >…) of toenemend (as x1<x2<x3<…<x <…). In hierdie geval word gesê dat die volgorde streng eentonies is. Ander patrone kan ook waargeneem word, waar die numeriese reeks nie-afnemend en nie-toenemend sal wees (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… of x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), dan is die opeenvolgende konvergente een ook eentonies, net nie in die streng sin nie. 'n Goeie voorbeeld van die eerste van hierdie opsies is die getallereeks wat deur die volgende formule gegee word.
Nadat jy die nommers van hierdie reeks geverf het, kan jy sien dat enige van sy lede, wat onbepaald 1 nader, nooit hierdie waarde sal oorskry nie. In hierdie geval word gesê dat die konvergente ry begrens is. Dit gebeur wanneer daar so 'n positiewe getal M is, wat altyd groter is as enige van die terme van die reeks modulo. As 'n getallereeks tekens van eentonigheid het en 'n limiet het, en dus konvergeer, dan is dit noodwendig met so 'n eienskap toegerus. En die teendeel hoef nie waar te wees nie. Dit word bewys deur die begrensheidstelling vir 'n konvergente ry.
Die toepassing van sulke waarnemings in die praktyk is baie nuttig. Kom ons gee 'n spesifieke voorbeeld deur die eienskappe van die ry X =te ondersoekn/n+1, en bewys die konvergensie daarvan. Dit is maklik om te wys dat dit eentonig is, aangesien (x +1 – x) 'n positiewe getal is vir enige n waardes. Die limiet van die ry is gelyk aan die getal 1, wat beteken dat al die voorwaardes van die bogenoemde stelling, ook genoem die Weierstrass-stelling, bevredig is. Die stelling oor die begrensdheid van 'n konvergente ry sê dat as dit 'n limiet het, dan blyk dit in elk geval dat dit begrens is. Kom ons neem egter die volgende voorbeeld. Die getallereeks X =(-1) word van onder deur -1 en van bo deur 1 begrens. Maar hierdie ry is nie eentonies nie, het geen beperk, en konvergeer dus nie. Dit wil sê die bestaan van 'n limiet en konvergensie volg nie altyd uit beperking nie. Vir dit om te werk, moet die onderste en boonste limiete ooreenstem, soos in die geval van Fibonacci-verhoudings.
getalle en wette van die heelal
Die eenvoudigste variante van 'n konvergente en divergente ry is miskien die numeriese reeks X =n en X =1/n. Die eerste daarvan is 'n natuurlike reeks getalle. Dit is, soos reeds genoem, oneindig groot. Die tweede konvergente ry is begrens, en sy terme is naby aan oneindig klein in grootte. Elkeen van hierdie formules verpersoonlik een van die kante van die veelvlakkige Heelal, wat 'n persoon help om iets onkenbaars voor te stel en te bereken, ontoeganklik vir beperkte persepsie in die taal van getalle en tekens.
Die wette van die heelal, wat wissel van gering tot ongelooflik groot, druk ook die goue verhouding van 0,618 uit.hulle glo dat dit die basis van die wese van dinge is en deur die natuur gebruik word om sy dele te vorm. Die verhoudings tussen die volgende en die vorige lede van die Fibonacci-reeks, wat ons reeds genoem het, voltooi nie die demonstrasie van die wonderlike eienskappe van hierdie unieke reeks nie. As ons die kwosiënt oorweeg om die vorige term deur die volgende een deur een te deel, dan kry ons 'n reeks van 0.5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 en so aan. Dit is interessant dat hierdie beperkte volgorde konvergeer, dit is nie eentonig nie, maar die verhouding van die naburige getalle uiterste vanaf 'n sekere lid is altyd ongeveer gelyk aan 0,382, wat ook in argitektuur, tegniese ontleding en ander industrieë gebruik kan word.
Daar is ander interessante koëffisiënte van die Fibonacci-reeks, hulle speel almal 'n spesiale rol in die natuur, en word ook deur die mens vir praktiese doeleindes gebruik. Wiskundiges is seker dat die Heelal ontwikkel volgens 'n sekere "goue spiraal", gevorm uit die aangeduide koëffisiënte. Met hul hulp is dit moontlik om baie verskynsels wat op aarde en in die ruimte voorkom, te bereken, van die groei in die aantal sekere bakterieë tot die beweging van verafgeleë komete. Soos dit blyk, gehoorsaam die DNS-kode soortgelyke wette.
Afnemende meetkundige progressie
Daar is 'n stelling wat die uniekheid van die limiet van 'n konvergente ry bevestig. Dit beteken dat dit nie twee of meer limiete kan hê nie, wat ongetwyfeld belangrik is om sy wiskundige kenmerke te vind.
Kom ons kyk na 'n paargevalle. Enige numeriese reeks wat saamgestel is uit lede van 'n rekenkundige progressie is divergent, behalwe vir die geval met 'n nulstap. Dieselfde geld vir 'n meetkundige progressie waarvan die noemer groter as 1 is. Die limiete van sulke numeriese reekse is die "plus" of "minus" van oneindigheid. As die noemer minder as -1 is, is daar geen limiet nie. Ander opsies is moontlik.
Beskou die nommerreeks wat deur die formule X =(1/4) -1 in ag geneem word. Met die eerste oogopslag is dit maklik om te sien dat hierdie konvergente volgorde begrens is omdat dit streng afneem en geensins in staat is om negatiewe waardes te neem nie.
Kom ons skryf 'n aantal van sy lede in 'n ry.
Dit sal blyk: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 en so aan. Redelik eenvoudige berekeninge is genoeg om te verstaan hoe vinnig hierdie meetkundige progressie vanaf die noemers 0<q<1 afneem. Terwyl die noemer van die terme onbepaald toeneem, word hulle self oneindig klein. Dit beteken dat die limiet van die getallereeks 0 is. Hierdie voorbeeld demonstreer weereens die beperkte aard van die konvergente ry.
Fundamentele rye
Augustin Louis Cauchy, 'n Franse wetenskaplike, het baie werke wat met wiskundige analise verband hou, aan die wêreld onthul. Hy het definisies gegee aan konsepte soos differensiaal, integraal, limiet en kontinuïteit. Hy het ook die basiese eienskappe van konvergente rye bestudeer. Om die essensie van sy idees te verstaan,'n paar belangrike besonderhede moet opgesom word.
Heel aan die begin van die artikel is daar gewys dat daar sulke sekwense is waarvoor daar 'n buurt is waar die punte wat die lede van 'n sekere reeks op die regte lyn verteenwoordig, begin groepeer en meer en meer in lyn kom dig. Terselfdertyd neem die afstand tussen hulle af namate die getal van die volgende verteenwoordiger toeneem, en word dit 'n oneindig klein een. Dit blyk dus dat in 'n gegewe woonbuurt 'n oneindige aantal verteenwoordigers van 'n gegewe reeks gegroepeer is, terwyl daar buite dit 'n eindige aantal van hulle is. Sulke rye word fundamenteel genoem.
Die bekende Cauchy-kriterium, geskep deur 'n Franse wiskundige, dui duidelik aan dat die teenwoordigheid van so 'n eienskap voldoende is om te bewys dat die volgorde konvergeer. Die omgekeerde is ook waar.
Daar moet op gelet word dat hierdie gevolgtrekking van die Franse wiskundige meestal van suiwer teoretiese belang is. Die toepassing daarvan in die praktyk word as 'n taamlik ingewikkelde saak beskou, daarom, om die konvergensie van reekse te verduidelik, is dit baie belangriker om die bestaan van 'n eindige limiet vir 'n ry te bewys. Andersins word dit as uiteenlopend beskou.
Wanneer probleme opgelos word, moet 'n mens ook die basiese eienskappe van konvergente rye in ag neem. Hulle word hieronder getoon.
Oneindige somme
So bekende wetenskaplikes van die oudheid soos Archimedes, Euclid, Eudoxus het die somme van oneindige getallereekse gebruik om die lengtes van krommes, volumes van liggame te berekenen areas van figure. In die besonder, op hierdie manier was dit moontlik om die area van die paraboliese segment uit te vind. Hiervoor is die som van die numeriese reeks van 'n meetkundige progressie met q=1/4 gebruik. Die volumes en oppervlaktes van ander arbitrêre figure is op 'n soortgelyke wyse gevind. Hierdie opsie is die "uitputting"-metode genoem. Die idee was dat die bestudeerde liggaam, kompleks van vorm, in dele opgebreek is, wat figure was met maklik gemeet parameters. Om hierdie rede was dit nie moeilik om hul oppervlaktes en volumes te bereken nie, en dan het hulle opgetel.
Terloops, soortgelyke take is baie bekend aan moderne skoolkinders en word in GEBRUIK-take gevind. Die unieke metode, wat deur verre voorouers gevind is, is verreweg die eenvoudigste oplossing. Selfs al is daar net twee of drie dele waarin die numeriese figuur verdeel is, is die optel van hul oppervlaktes steeds die som van die getallereeks.
Baie later as wat die antieke Griekse wetenskaplikes Leibniz en Newton, gebaseer op die ervaring van hul wyse voorgangers, die patrone van integrale berekening geleer het. Kennis van die eienskappe van rye het hulle gehelp om differensiaal- en algebraïese vergelykings op te los. Tans gee die teorie van reekse, geskep deur die pogings van baie generasies talentvolle wetenskaplikes, 'n kans om 'n groot aantal wiskundige en praktiese probleme op te los. En die studie van numeriese rye is die hoofprobleem wat deur wiskundige analise opgelos is sedert die ontstaan daarvan.
