Georg Kantor (foto word later in die artikel gegee) is 'n Duitse wiskundige wat versamelingsleer geskep het en die konsep van transfinite getalle, oneindig groot, maar verskillend van mekaar bekendgestel het. Hy het ook rang- en kardinale getalle gedefinieer en hul rekenkunde geskep.
Georg Kantor: kort biografie
Gebore in St. Petersburg op 1845-03-03. Sy pa was 'n Deen van die Protestantse geloof, Georg-Valdemar Kantor, wat besig was met handel, ook op die aandelebeurs. Sy ma Maria Bem was 'n Katoliek en kom uit 'n familie van prominente musikante. Toe Georg se pa in 1856 siek geword het, het die gesin eers na Wiesbaden en toe na Frankfurt verhuis op soek na 'n milder klimaat. Die seun se wiskundige talente het verskyn selfs voor sy 15de verjaardag terwyl hy by privaatskole en gimnasiums in Darmstadt en Wiesbaden studeer het. Op die ou end het Georg Cantor sy pa oortuig van sy vaste voorneme om 'n wiskundige te word, nie 'n ingenieur nie.
Ná 'n kort studie aan die Universiteit van Zürich, het Kantor in 1863 na die Universiteit van Berlyn oorgeplaas om fisika, filosofie en wiskunde te studeer. Daar homgeleer:
- Karl Theodor Weierstrass, wie se spesialisasie in analise waarskynlik die grootste invloed op Georg gehad het;
- Ernst Eduard Kummer, wat hoër rekenkunde onderrig het;
- Leopold Kronecker, get alteoretikus wat later Cantor teëgestaan het.
Nadat hy een semester aan die Universiteit van Göttingen in 1866 deurgebring het, skryf Georg die volgende jaar sy doktorale proefskrif getiteld "In wiskunde is die kuns om vrae te vra meer waardevol as om probleme op te los", oor 'n probleem wat Carl Friedrich Gauss gehad het. onopgelos gelaat in sy Disquisitiones Arithmeticae (1801). Nadat hy kort aan die Berlynse Meisieskool onderrig gegee het, het Kantor by die Universiteit van Halle begin werk, waar hy tot die einde van sy lewe gebly het, eers as onderwyser, vanaf 1872 as assistent-professor, en vanaf 1879 as professor.
Navorsing
Aan die begin van 'n reeks van 10 referate van 1869 tot 1873 het Georg Cantor get alteorie oorweeg. Die werk het sy passie vir die onderwerp, sy studies van Gauss en die invloed van Kronecker weerspieël. Op voorstel van Heinrich Eduard Heine, Cantor se kollega in Halle, wat sy wiskundige talent erken het, het hy hom tot die teorie van trigonometriese reekse gewend, waarin hy die konsep van reële getalle uitgebrei het.
Gegrond op die werk oor die funksie van 'n komplekse veranderlike deur die Duitse wiskundige Bernhard Riemann in 1854, het Kantor in 1870 gewys dat so 'n funksie net op een manier voorgestel kan word - deur trigonometriese reekse. Oorweging van 'n stel getalle (punte) watnie so 'n siening sou weerspreek nie, het hom eerstens in 1872 gelei tot die definisie van irrasionale getalle in terme van konvergente rye van rasionale getalle (breuke van heelgetalle) en verder na die begin van werk aan sy lewenswerk, versamelingsteorie en die konsep van transfinite getalle.
Versamelingsteorie
Georg Cantor, wie se versamelingsteorie in korrespondensie met die wiskundige van die Tegniese Instituut van Braunschweig Richard Dedekind ontstaan het, was van kleins af 'n vriend van hom. Hulle het tot die gevolgtrekking gekom dat versamelings, hetsy eindig of oneindig, versamelings van elemente is (bv. getalle, {0, ±1, ±2…}) wat 'n sekere eienskap het terwyl hulle hul individualiteit behou. Maar toe Georg Cantor 'n een-tot-een-korrespondensie (byvoorbeeld {A, B, C} tot {1, 2, 3}) gebruik om hul eienskappe te bestudeer, het hy vinnig besef dat hulle verskil in hul mate van lidmaatskap, selfs as hulle oneindige versamelings was., dit wil sê versamelings, waarvan 'n deel of subversameling soveel voorwerpe as dit self insluit. Sy metode het gou wonderlike resultate gelewer.
In 1873 het Georg Cantor (wiskundige) getoon dat rasionale getalle, hoewel oneindig, telbaar is omdat hulle in een-tot-een-ooreenstemming met natuurlike getalle geplaas kan word (d.i. 1, 2, 3, ens.). d.). Hy het getoon dat die stel reële getalle, bestaande uit irrasionele en rasionales, oneindig en ontelbaar is. Meer paradoksaal genoeg het Cantor bewys dat die versameling van alle algebraïese getalle soveel elemente bevat ashoeveel is die versameling van alle heelgetalle, en dat transendentale getalle, wat nie algebraïes is nie, wat 'n subversameling van irrasionale getalle is, ontelbaar is en daarom is hul getal groter as heelgetalle, en moet dit as oneindig beskou word.
Teenstanders en ondersteuners
Maar Kantor se referaat, waarin hy die eerste keer hierdie resultate voorgehou het, is nie in Krell gepubliseer nie, aangesien een van die resensente, Kronecker, heftig gekant was. Maar na die tussenkoms van Dedekind is dit in 1874 gepubliseer onder die titel "Oor die kenmerkende eienskappe van alle reële algebraïese getalle."
Wetenskap en privaat lewe
Dieselfde jaar, terwyl hy op sy wittebrood saam met sy vrou Wally Gutman in Interlaken, Switserland was, ontmoet Kantor Dedekind, wat gunstig oor sy nuwe teorie gepraat het. George se salaris was klein, maar met die geld van sy pa, wat in 1863 oorlede is, het hy 'n huis vir sy vrou en vyf kinders gebou. Baie van sy referate is in Swede gepubliseer in die nuwe joernaal Acta Mathematica, geredigeer en gestig deur Gesta Mittag-Leffler, wat van die eerstes was wat die talent van die Duitse wiskundige erken het.
Verband met metafisika
Cantor se teorie het 'n heeltemal nuwe vak van studie geword rakende die wiskunde van die oneindige (bv. reekse 1, 2, 3, ens., en meer komplekse versamelings), wat baie afhanklik was van een-tot-een korrespondensie. Kantor se ontwikkeling van nuwe verhoogmetodesvrae oor kontinuïteit en oneindigheid het sy navorsing 'n dubbelsinnige karakter gegee.
Toe hy aangevoer het dat oneindige getalle werklik bestaan, het hy hom na antieke en Middeleeuse filosofie oor werklike en potensiële oneindigheid gewend, asook na die vroeë godsdiensonderrig wat sy ouers hom gegee het. In 1883, in sy boek Foundations of General Set Theory, het Kantor sy konsep met Plato se metafisika gekombineer.
Kronecker, wat beweer het dat net heelgetalle “bestaan” (“God het die heelgetalle geskep, die res is die werk van die mens”), het vir baie jare sy redenasie heftig verwerp en sy aanstelling by die Universiteit van Berlyn verhinder.
Transfinite numbers
In 1895-97. Georg Cantor het sy idee van kontinuïteit en oneindigheid, insluitend oneindige rang- en kardinale getalle, volledig gevorm in sy bekendste werk, gepubliseer as Contributions to the Establishment of the Theory of Transfinite Numbers (1915). Hierdie opstel bevat sy konsep, waarheen hy gelei is deur te demonstreer dat 'n oneindige versameling in 'n een-tot-een korrespondensie met een van sy subversamelings geplaas kan word.
Onder die minste transfinite kardinale getal het hy bedoel die kardinaliteit van enige versameling wat in een-tot-een korrespondensie met natuurlike getalle geplaas kan word. Cantor het dit aleph-nul genoem. Groot transfiniete versamelings word aangedui alef-een, alef-twee, ens. Hy het die rekenkunde van transfinite getalle verder ontwikkel, wat analoog aan eindige rekenkunde was. so hyhet die konsep van oneindigheid verryk.
Die opposisie wat hy in die gesig gestaar het en die tyd wat dit geneem het vir sy idees om ten volle aanvaar te word, is te wyte aan die moeilikheid om die antieke vraag oor wat 'n getal is te herevalueer. Cantor het gewys dat die stel punte op 'n lyn 'n hoër kardinaliteit het as alef-nul. Dit het gelei tot die bekende probleem van die kontinuumhipotese – daar is geen kardinale getalle tussen alef-nul en die krag van punte op die lyn nie. Hierdie probleem in die eerste en tweede helfte van die 20ste eeu het groot belangstelling gewek en is deur baie wiskundiges bestudeer, insluitend Kurt Gödel en Paul Cohen.
Depressie
Die biografie van Georg Kantor sedert 1884 is deur sy geestesongesteldheid oorskadu, maar hy het voortgegaan om aktief te werk. In 1897 het hy gehelp om die eerste internasionale wiskundige kongres in Zürich te hou. Deels omdat Kronecker hom teëgestaan het, het hy dikwels simpatie gehad met jong aspirantwiskundiges en probeer om 'n manier te vind om hulle te red van die teistering van onderwysers wat deur nuwe idees bedreig gevoel het.
Erkenning
Teen die draai van die eeu is sy werk ten volle erken as die basis vir funksieteorie, analise en topologie. Daarbenewens het die boeke van Kantor Georg gedien as 'n stukrag vir die verdere ontwikkeling van die intuïsionistiese en formalistiese skole van die logiese grondslae van wiskunde. Dit het die onderrigstelsel aansienlik verander en word dikwels geassosieer met die "nuwe wiskunde".
In 1911 was Kantor onder diegene wat genooi isviering van die 500ste bestaansjaar van die Universiteit van St. Andrews in Skotland. Hy het soontoe gegaan in die hoop om Bertrand Russell te ontmoet, wat in sy onlangs gepubliseerde werk Principia Mathematica herhaaldelik na die Duitse wiskundige verwys het, maar dit het nie gebeur nie. Die universiteit het 'n eregraad aan Kantor toegeken, maar weens siekte kon hy nie die toekenning persoonlik aanvaar nie.
Kantor het in 1913 afgetree, in armoede geleef en gedurende die Eerste Wêreldoorlog uitgehonger. Vieringe ter ere van sy 70ste verjaardag in 1915 is weens die oorlog gekanselleer, maar 'n klein seremonie het by sy huis plaasgevind. Hy sterf op 1918-06-01 in Halle, in 'n psigiatriese hospitaal, waar hy die laaste jare van sy lewe deurgebring het.
Georg Kantor: biografie. Familie
Op 9 Augustus 1874 het 'n Duitse wiskundige met Wally Gutmann getrou. Die egpaar het 4 seuns en 2 dogters gehad. Die laaste kind is in 1886 gebore in 'n nuwe huis wat deur Kantor gekoop is. Sy pa se erfporsie het hom gehelp om sy gesin te onderhou. Kantor se gesondheid is grootliks beïnvloed deur die dood van sy jongste seun in 1899, en depressie het hom sedertdien nie verlaat nie.
