Wat is rekenkunde? Wanneer het die mensdom getalle begin gebruik en daarmee saamgewerk? Waar gaan die wortels van sulke alledaagse begrippe soos getalle, breuke, aftrekking, optelling en vermenigvuldiging, wat 'n mens onlosmaaklik deel van sy lewens- en wêreldbeskouing gemaak het? Antieke Griekse geeste het wetenskappe soos wiskunde, rekenkunde en meetkunde bewonder as die mooiste simfonieë van menslike logika.
Miskien is rekenkunde nie so diep soos ander wetenskappe nie, maar wat sal daarmee gebeur as 'n persoon die elementêre vermenigvuldigingstabel vergeet? Die logiese denke wat vir ons gewoon is, met die gebruik van getalle, breuke en ander gereedskap, was nie maklik vir mense nie en was vir 'n lang tyd ontoeganklik vir ons voorvaders. Trouens, voor die ontwikkeling van rekenkunde was geen gebied van menslike kennis werklik wetenskaplik nie.
Rekenkunde is die ABC van wiskunde
Rekenkunde is die wetenskap van getalle, waarmee enige persoon begin kennis maak met die fassinerende wêreld van wiskunde. Soos M. V. Lomonosov gesê het, is rekenkunde die poort van leer, wat die weg na wêreldkennis vir ons oopmaak. Maar hy is regIs die kennis van die wêreld kan geskei word van die kennis van syfers en letters, wiskunde en spraak? Miskien in die ou dae, maar nie in die moderne wêreld nie, waar die vinnige ontwikkeling van wetenskap en tegnologie sy eie wette bepaal.
Die woord "rekenkunde" (Grieks "arithmos") van Griekse oorsprong, beteken "getal". Sy bestudeer getalle en alles wat daarmee verbind kan word. Dit is die wêreld van getalle: verskeie bewerkings op getalle, numeriese reëls, oplossing van probleme wat verband hou met vermenigvuldiging, aftrekking, ens.
Dit word algemeen aanvaar dat rekenkunde die aanvanklike stap van wiskunde is en 'n stewige grondslag vir sy meer komplekse afdelings, soos algebra, wiskundige analise, hoër wiskunde, ens.
Hoofobjek van rekenkunde
Die basis van rekenkunde is 'n heelgetal, waarvan die eienskappe en patrone in hoër rekenkunde of get alteorie oorweeg word. Trouens, die sterkte van die hele gebou - wiskunde - hang af van hoe korrek die benadering geneem word om so 'n klein blokkie as 'n natuurlike getal te beskou.
Daarom kan die vraag wat rekenkunde is eenvoudig beantwoord word: dit is die wetenskap van getalle. Ja, oor die gewone sewe, nege en al hierdie diverse gemeenskap. En net soos jy nie goeie of selfs die mees middelmatige poësie sonder 'n elementêre alfabet kan skryf nie, kan jy nie eers 'n elementêre probleem sonder rekenkunde oplos nie. Dit is hoekom al die wetenskappe eers gevorder het na die ontwikkeling van rekenkunde en wiskunde, voor dit net 'n stel aannames was.
Rekenkunde is 'n spookwetenskap
Wat is rekenkunde - natuurwetenskap of spook? Trouens, soos die antieke Griekse filosowe aangevoer het, bestaan nie getalle of syfers in werklikheid nie. Dit is net 'n spook wat in menslike denke geskep word wanneer die omgewing met sy prosesse in ag geneem word. Inderdaad, wat is 'n getal? Nêrens sien ons so iets wat 'n getal genoem kan word nie, 'n getal is eerder 'n manier van die menslike verstand om die wêreld te bestudeer. Of is dit dalk die studie van onsself van binne? Filosowe stry al baie eeue in 'n ry hieroor, so ons onderneem nie om 'n volledig antwoord te gee nie. Op een of ander manier het rekenkunde daarin geslaag om sy plek so stewig in te neem dat niemand in die moderne wêreld as sosiaal aangepas beskou kan word sonder om die basiese beginsels daarvan te ken nie.
Hoe het die natuurlike getal verskyn
Natuurlik is die hoofvoorwerp waarop rekenkunde werk, 'n natuurlike getal, soos 1, 2, 3, 4, …, 152… ens. Die rekenkunde van natuurlike getalle is die resultaat van die tel van gewone voorwerpe, soos koeie in 'n wei. Tog het die definisie van "baie" of "min" eens opgehou om mense te pas, en hulle moes meer gevorderde teltegnieke uitvind.
Maar die werklike deurbraak het plaasgevind toe menslike denke die punt bereik het dat dit moontlik is om 2 kilogram, en 2 bakstene en 2 dele met dieselfde getal "twee" aan te dui. Die feit is dat jy van die vorms, eienskappe en betekenis van voorwerpe moet abstraheer, dan kan jy 'n paar aksies met hierdie voorwerpe in die vorm van natuurlike getalle uitvoer. So is die rekenkunde van getalle gebore, watverder ontwikkel en uitgebrei, wat steeds groter posisies in die samelewingslewe beklee.
Sulke in-diepte konsepte van getal soos nul en negatiewe getal, breuke, aanduidings van getalle deur getalle en op ander maniere, het 'n ryk en interessante geskiedenis van ontwikkeling.
Rekenkundige en praktiese Egiptenare
Die twee oudste menslike metgeselle om die wêreld om ons te verken en alledaagse probleme op te los, is rekenkunde en meetkunde.
Daar word geglo dat die geskiedenis van rekenkunde in die Antieke Ooste ontstaan: in Indië, Egipte, Babilon en China. Dus, die Rinda papirus van Egiptiese oorsprong (so genoem omdat dit aan die eienaar met dieselfde naam behoort het), dateer uit die 20ste eeu. BC bevat, benewens ander waardevolle data, die uitbreiding van een breuk in die som van breuke met verskillende noemers en 'n teller gelyk aan een.
Byvoorbeeld: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Maar wat is die punt van so 'n komplekse ontbinding? Die feit is dat die Egiptiese benadering nie abstrakte gedagtes oor getalle duld nie, inteendeel, berekeninge is slegs vir praktiese doeleindes gemaak. Dit wil sê, die Egiptenaar sal so iets soos berekeninge doen, net om byvoorbeeld 'n graf te bou. Dit was nodig om die lengte van die rand van die struktuur te bereken, en dit het 'n persoon gedwing om agter die papirus te gaan sit. Soos jy kan sien, is die Egiptiese vordering in berekeninge eerder veroorsaak deur massakonstruksie as deur liefde vir wetenskap.
Om hierdie rede kan die berekeninge wat op die papirus gevind word, nie refleksies oor die onderwerp van breuke genoem word nie. Heel waarskynlik is dit 'n praktiese voorbereiding wat in die toekoms gehelp het.los probleme met breuke op. Die antieke Egiptenare, wat nie die vermenigvuldigingstabelle geken het nie, het taamlik lang berekeninge gemaak, wat in baie subtake ontbind is. Miskien is dit een van daardie subtake. Dit is maklik om te sien dat berekeninge met sulke werkstukke baie moeisaam en onbelowend is. Miskien om hierdie rede sien ons nie die groot bydrae van Antieke Egipte tot die ontwikkeling van wiskunde nie.
Antieke Griekeland en filosofiese rekenkunde
Baie kennis van die Antieke Ooste is suksesvol bemeester deur die antieke Grieke, bekende liefhebbers van abstrakte, abstrakte en filosofiese refleksies. Hulle was nie minder geïnteresseerd in die praktyk nie, maar dit is moeilik om die beste teoretici en denkers te vind. Dit het die wetenskap bevoordeel, aangesien dit onmoontlik is om in rekenkunde te delf sonder om dit van die werklikheid af te breek. Sekerlik, jy kan 10 koeie en 100 liter melk vermeerder, maar jy sal nie baie ver kom nie.
Die diepdenkende Grieke het 'n betekenisvolle merk op die geskiedenis gelaat, en hulle geskrifte het op ons neergekom:
- Euclid en die elemente.
- Pythagoras.
- Archimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
En natuurlik was die Grieke, wat alles in filosofie verander het, en veral die opvolgers van die werk van Pythagoras, so gefassineer deur getalle dat hulle dit as die misterie van die harmonie van die wêreld beskou het. Getalle is tot so 'n mate bestudeer en nagevors dat aan sommige van hulle en hul pare spesiale eienskappe toegeken is. Byvoorbeeld:
- Volmaakte getalle is dié wat gelyk is aan die som van al hul delers, behalwe die getal self (6=1+2+3).
- Vriendelike nommers is daardie nommers, waarvan eenis gelyk aan die som van alle delers van die tweede, en omgekeerd (die Pythagoreërs het net een so 'n paar geken: 220 en 284).
Die Grieke, wat geglo het dat die wetenskap liefgehê moet word, en nie daarby moet wees ter wille van wins nie, het groot sukses behaal deur syfers te verken, te speel en by te voeg. Daar moet kennis geneem word dat nie al hul navorsing wyd gebruik is nie, sommige van hulle het net "vir skoonheid" gebly.
Oosterse denkers van die Middeleeue
Op dieselfde manier, in die Middeleeue, het rekenkunde sy ontwikkeling aan Oosterse tydgenote te danke. Die Indiërs het vir ons die getalle gegee wat ons aktief gebruik, soos 'n konsep soos "nul", en die posisionele weergawe van die calculus, bekend aan moderne persepsie. Van Al-Kashi, wat in die 15de eeu in Samarkand gewerk het, het ons desimale breuke geërf, waarsonder dit moeilik is om moderne rekenkunde voor te stel.
Op baie maniere het Europa se kennismaking met die prestasies van die Ooste moontlik geword danksy die werk van die Italiaanse wetenskaplike Leonardo Fibonacci, wat die werk "The Book of the Abacus" geskryf het, wat Oosterse innovasies bekendgestel het. Dit het die hoeksteen geword van die ontwikkeling van algebra en rekenkunde, navorsing en wetenskaplike aktiwiteite in Europa.
Russiese rekenkunde
En uiteindelik het rekenkunde, wat sy plek gevind het en in Europa wortel geskiet het, na Russiese lande begin versprei. Die eerste Russiese rekenkunde is in 1703 gepubliseer - dit was 'n boek oor rekenkunde deur Leonty Magnitsky. Dit het lank die enigste handboek in wiskunde gebly. Dit bevat die aanvanklike momente van algebra en meetkunde. Die getalle wat in die voorbeelde deur die eerste rekenhandboek in Rusland gebruik word, is Arabies. Alhoewel Arabiese syfers al voorheen gesien is, op gravures wat uit die 17de eeu dateer.
Die boek self is versier met beelde van Archimedes en Pythagoras, en op die eerste vel - die beeld van rekenkunde in die vorm van 'n vrou. Sy sit op 'n troon, onder haar is 'n woord in Hebreeus geskryf wat die naam van God aandui, en op die trappe wat na die troon lei, is die woorde "verdeling", "vermenigvuldiging", "optelling", ens. waarhede ingeskryf. wat nou as alledaags beskou word.
'n Handboek van 600 bladsye dek beide basiese beginsels soos die optel- en vermenigvuldigingstabelle en toepassings op navigasiewetenskappe.
Dit is nie verbasend dat die skrywer beelde van Griekse denkers vir sy boek gekies het nie, want hy was self geboei deur die skoonheid van rekenkunde, deur te sê: "Rekenkunde is die teller, daar is kuns eerlik, onbenydenswaardig …". Hierdie benadering tot rekenkunde is redelik geregverdig, want dit is die wydverspreide bekendstelling daarvan wat beskou kan word as die begin van die vinnige ontwikkeling van wetenskaplike denke in Rusland en algemene onderwys.
Onprimeerpunte
'n Priemgetal is 'n natuurlike getal wat slegs 2 positiewe delers het: 1 en homself. Alle ander getalle, behalwe 1, word saamgestelde genoem. Voorbeelde van priemgetalle: 2, 3, 5, 7, 11 en alle ander wat geen delers anders as 1 en homself het nie.
Wat die nommer 1 betref, dit is op 'n spesiale rekening - daar is 'n ooreenkoms dat dit nie eenvoudig of saamgesteld beskou moet word nie. Eenvoudig met die eerste oogopslag, 'n eenvoudige nommer verberg baie onopgeloste raaisels binne homself.
Euclides se stelling sê dat daar 'n oneindige aantal priemgetalle is, en Eratosthenes het 'n spesiale rekenkundige "sif" uitgevind wat nie-priemgetalle uitskakel en net eenvoudiges oorbly.
Die essensie daarvan is om die eerste nie-deurgestreepte getal te onderstreep, en om dan dié wat veelvoude daarvan is, deur te trek. Ons herhaal hierdie prosedure baie keer - en ons kry 'n tabel van priemgetalle.
The Fundamental Stelling of Rekenkunde
Onder die waarnemings oor priemgetalle, moet die fundamentele stelling van rekenkunde op 'n spesiale manier genoem word.
Die fundamentele stelling van rekenkunde sê dat enige heelgetal groter as 1 óf priem is, óf dit kan ontbind word in 'n produk van priemgetalle tot in die volgorde van die faktore, en op 'n unieke manier.
Die hoofstelling van rekenkunde is redelik omslagtig bewys, en om dit te verstaan, lyk nie meer na die eenvoudigste basiese beginsels nie.
Met die eerste oogopslag is priemgetalle 'n elementêre konsep, maar dit is nie. Fisika het ook eens die atoom as elementêr beskou, totdat dit die hele heelal daarin gevind het. 'n Wonderlike verhaal deur die wiskundige Don Tzagir "The First Fifty Million Primes" is opgedra aan priemgetalle.
Van "drie appels" tot deduktiewe wette
Wat werklik die versterkte fondament van alle wetenskap genoem kan word, is die wette van rekenkunde. Selfs in die kinderjare word almal gekonfronteer met rekenkunde, wat die aantal bene en arms van poppe bestudeer,die aantal blokkies, appels, ens. Dit is hoe ons rekenkunde bestudeer, wat dan in meer komplekse reëls ingaan.
Ons hele lewe maak ons bekend met die reëls van rekenkunde, wat vir die gewone mens die nuttigste geword het van alles wat die wetenskap gee. Die studie van getalle is "arithmetic-baby", wat 'n persoon in die vroeë kinderjare aan die wêreld van getalle in die vorm van getalle bekendstel.
Hoër rekenkunde is 'n deduktiewe wetenskap wat die wette van rekenkunde bestudeer. Ons ken die meeste van hulle, hoewel ons dalk nie hul presiese bewoording ken nie.
Die wet van optelling en vermenigvuldiging
Twee enige natuurlike getalle a en b kan uitgedruk word as 'n som a+b, wat ook 'n natuurlike getal sal wees. Die volgende wette is van toepassing op byvoeging:
- Kommutatief, wat sê dat die som nie van die herrangskikking van terme verander nie, of a+b=b+a.
- Associative, wat sê dat die som nie afhang van die manier waarop die terme in plekke gegroepeer is nie, of a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Die reëls van rekenkunde, soos optelling, is van die mees elementêre, maar dit word deur alle wetenskappe gebruik, om nie eers te praat van die alledaagse lewe nie.
Twee enige natuurlike getalle a en b kan uitgedruk word as 'n produk ab of ab, wat ook 'n natuurlike getal is. Dieselfde kommutatiewe en assosiatiewe wette is van toepassing op die produk as by byvoeging:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Ek wonderdat daar 'n wet is wat optelling en vermenigvuldiging verenig, ook genoem 'n distributiewe of distributiewe wet:
a(b+c)=ab+ac
Hierdie wet leer ons eintlik om met hakies te werk deur hulle uit te brei, dus kan ons met meer komplekse formules werk. Dit is die wette wat ons deur die bisarre en komplekse wêreld van algebra sal lei.
Die wet van rekenkundige volgorde
Die wet van orde word elke dag deur menslike logika gebruik deur horlosies te vergelyk en banknote te tel. En, nietemin, dit moet geformaliseer word in die vorm van spesifieke formulerings.
As ons twee natuurlike getalle a en b het, dan is die volgende opsies moontlik:
- a is gelyk aan b, of a=b;
- a is minder as b, of a < b;
- a is groter as b, of a > b.
Uit drie opsies kan net een regverdig wees. Die basiese wet wat die orde beheer, sê: as a < b en b < c, dan a< c.
Daar is ook wette wat verband hou met volgorde van vermenigvuldiging en optelling: as a< b is, dan is a + c < b+c en ac< bc.
Die wette van rekenkunde leer ons om met getalle, tekens en hakies te werk, wat alles in 'n harmonieuse simfonie van getalle verander.
Posisionele en nie-posisionele berekening
Daar kan gesê word dat getalle 'n wiskundige taal is, waarvan baie afhang. Daar is baie getallestelsels, wat, soos die alfabet van verskillende tale, van mekaar verskil.
Kom ons kyk na die getallestelsels vanuit die oogpunt van die invloed van die posisie op die kwantitatiewe waardegetalle in hierdie posisie. So, byvoorbeeld, is die Romeinse stelsel nie-posisioneel, waar elke getal geënkodeer word deur 'n sekere stel spesiale karakters: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Hulle is onderskeidelik gelyk aan die getalle 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. In so 'n stelsel verander die getal nie sy kwantitatiewe definisie nie, afhangende van watter posisie dit is in: eerste, tweede, ens. Om ander getalle te kry, moet jy die basisgetalle byvoeg. Byvoorbeeld:
- DCC=700.
- CCM=800.
Die getallestelsel wat vir ons meer bekend is deur Arabiese syfers te gebruik, is posisioneel. In so 'n stelsel bepaal die syfer van 'n getal die aantal syfers, byvoorbeeld driesyfergetalle: 333, 567, ens. Die gewig van enige syfer hang af van die posisie waarin hierdie of daardie syfer geleë is, byvoorbeeld, die getal 8 in die tweede posisie het 'n waarde van 80. Dit is tipies vir die desimale stelsel, daar is ander posisionele stelsels, byvoorbeeld, binêre.
Binêre rekenkunde
Ons is vertroud met die desimale stelsel, wat bestaan uit enkelsyfergetalle en meersyfergetalle. Die getal aan die linkerkant van 'n meersyfergetal is tien keer meer betekenisvol as die een aan die regterkant. So, ons is gewoond daaraan om 2, 17, 467, ens. te lees. Die afdeling genaamd "binêre rekenkunde" het 'n heeltemal ander logika en benadering. Dit is nie verbasend nie, want binêre rekenkunde is nie vir menslike logika geskep nie, maar vir rekenaarlogika. As die rekenkunde van getalle ontstaan het uit die tel van voorwerpe, wat verder van die eienskappe van die voorwerp na "kaal" rekenkunde geabstraheer is, dan sal dit nie met 'n rekenaar werk nie. Om te kan deelmet sy kennis van 'n rekenaar, moes 'n persoon so 'n model van calculus uitvind.
Binêre rekenkunde werk met die binêre alfabet, wat slegs uit 0 en 1 bestaan. En die gebruik van hierdie alfabet word die binêre stelsel genoem.
Die verskil tussen binêre rekenkunde en desimale rekenkunde is dat die betekenis van die posisie aan die linkerkant nie meer 10 is nie, maar 2 keer. Binêre getalle is van die vorm 111, 1001, ens. Hoe om sulke getalle te verstaan? So, oorweeg die getal 1100:
- Die eerste syfer aan die linkerkant is 18=8, onthou dat die vierde syfer, wat beteken dat dit met 2 vermenigvuldig moet word, ons posisie 8 kry.
- Tweede syfer 14=4 (posisie 4).
- Derde syfer 02=0 (posisie 2).
- Vierde syfer 01=0 (posisie 1).
- So ons nommer is 1100=8+4+0+0=12.
Dit wil sê, wanneer na 'n nuwe syfer aan die linkerkant beweeg word, word die betekenis daarvan in die binêre stelsel vermenigvuldig met 2, en in desimale - met 10. So 'n stelsel het een minus: dit is 'n te groot toename in syfers wat nodig is om getalle te skryf. Voorbeelde van die voorstelling van desimale getalle as binêre getalle kan in die volgende tabel gevind word.
Desimale getalle in binêre vorm word hieronder getoon.
Beide oktale en heksadesimale stelsels word ook gebruik.
Hierdie geheimsinnige rekenkunde
Wat is rekenkunde, "twee keer twee" of onontginde geheimenisse van getalle? Soos jy kan sien, kan rekenkunde met die eerste oogopslag eenvoudig lyk, maar die onooglike gemak daarvan is bedrieglik. Dit kan ook bestudeer word deur kinders saam met Tannie Uil vanspotprent "Rekenkundige-baba", en jy kan jouself verdiep in diep wetenskaplike navorsing van 'n byna filosofiese orde. In die geskiedenis het sy gegaan van voorwerpe tel om die skoonheid van getalle te aanbid. Net een ding is vir seker bekend: met die vestiging van die basiese postulate van rekenkunde kan alle wetenskap op sy sterk skouer staatmaak.
