'n Vlak is 'n geometriese voorwerp waarvan die eienskappe gebruik word wanneer projeksies van punte en lyne gebou word, asook wanneer afstande en tweehoekige hoeke tussen elemente van driedimensionele figure bereken word. Kom ons kyk in hierdie artikel watter vergelykings gebruik kan word om die ligging van vlakke in die ruimte te bestudeer.
Vliegtuigdefinisie
Almal verbeel intuïtief watter voorwerp bespreek sal word. Vanuit 'n meetkundige oogpunt is 'n vlak 'n versameling punte, waartussen enige vektore loodreg op een vektor moet wees. Byvoorbeeld, as daar m verskillende punte in die ruimte is, dan kan m(m-1) / 2 verskillende vektore daaruit gemaak word, wat die punte in pare verbind. As alle vektore loodreg op een of ander rigting is, dan is dit 'n voldoende voorwaarde dat alle punte m aan dieselfde vlak behoort.
Algemene vergelyking
In ruimtelike meetkunde word 'n vlak beskryf deur gebruik te maak van vergelykings wat oor die algemeen drie onbekende koördinate bevat wat ooreenstem met die x-, y- en z-asse. Omkry die algemene vergelyking in vlakkoördinate in die ruimte, veronderstel daar is 'n vektor n¯(A; B; C) en 'n punt M(x0; y0; z0). Deur hierdie twee voorwerpe te gebruik, kan die vlak uniek gedefinieer word.
Inderdaad, veronderstel daar is een of ander tweede punt P(x; y; z) waarvan die koördinate onbekend is. Volgens die definisie hierbo gegee, moet die vektor MP¯ loodreg op n¯ wees, dit wil sê, die skalaarproduk vir hulle is gelyk aan nul. Dan kan ons die volgende uitdrukking skryf:
(n¯MP¯)=0 of
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0)=0
Deur die hakies oop te maak en 'n nuwe koëffisiënt D bekend te stel, kry ons die uitdrukking:
Ax + By + Cz + D=0 waar D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Hierdie uitdrukking word die algemene vergelyking vir die vlak genoem. Dit is belangrik om te onthou dat die koëffisiënte voor x, y en z die koördinate van die vektor n¯(A; B; C) loodreg op die vlak vorm. Dit val saam met die normale en is 'n gids vir die vliegtuig. Om die algemene vergelyking te bepaal, maak dit nie saak waarheen hierdie vektor gerig is nie. Dit wil sê, die vlakke gebou op die vektore n¯ en -n¯ sal dieselfde wees.
Die figuur hierbo toon 'n vlak, 'n vektor normaal daarop, en 'n lyn loodreg op die vlak.
Segmente afgesny deur die vlak op die asse en die ooreenstemmende vergelyking
Die algemene vergelyking laat die gebruik van eenvoudige wiskundige bewerkings toe om te bepaal, inop watter punte die vliegtuig die koördinaat-asse sal sny. Dit is belangrik om hierdie inligting te ken om 'n idee te hê oor die posisie in die ruimte van die vliegtuig, asook wanneer dit in die tekeninge uitgebeeld word.
Om die benoemde snypunte te bepaal, word 'n vergelyking in segmente gebruik. Dit word so genoem omdat dit uitdruklik die waardes bevat van die lengtes van die segmente wat deur die vlak op die koördinaat-asse afgesny is, wanneer vanaf die punt (0; 0; 0) getel word. Kom ons kry hierdie vergelyking.
Skryf die algemene uitdrukking vir die vliegtuig soos volg:
Ax + By + Cz=-D
Die linker- en regterdele kan deur -D gedeel word sonder om gelykheid te skend. Ons het:
A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 of
x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1
Ontwerp die noemers van elke term met 'n nuwe simbool, ons kry:
p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C dan
x/p + y/q + z/r=1
Dit is die vergelyking wat hierbo in segmente genoem word. Dit volg daaruit dat die waarde van die noemer van elke term die koördinaat van die kruising met die ooreenstemmende as van die vlak aandui. Byvoorbeeld, dit sny die y-as by die punt (0; q; 0). Dit is maklik om te verstaan as jy die nul x- en z-koördinate in die vergelyking vervang.
Let daarop dat as daar geen veranderlike in die vergelyking in die segmente is nie, dit beteken dat die vlak nie die ooreenstemmende as sny nie. Byvoorbeeld, gegewe die uitdrukking:
x/p + y/q=1
Dit beteken dat die vlak die segmente p en q op die x- en y-asse onderskeidelik sal afsny, maar dit sal parallel met die z-as wees.
Gevolgtrekking oor die gedrag van die vliegtuig wanneerdie afwesigheid van een of ander veranderlike in haar vergelyking is ook waar vir 'n algemene tipe uitdrukking, soos getoon in die figuur hieronder.
Vektorparametriese vergelyking
Daar is 'n derde soort vergelyking wat dit moontlik maak om 'n vlak in die ruimte te beskryf. Dit word 'n parametriese vektor genoem omdat dit gegee word deur twee vektore wat in die vlak lê en twee parameters wat arbitrêre onafhanklike waardes kan neem. Kom ons wys hoe hierdie vergelyking verkry kan word.
Sê nou daar is 'n paar bekende vektore u ¯(a1; b1; c1) en v¯(a2; b2; c2). As hulle nie parallel is nie, kan hulle gebruik word om 'n spesifieke vlak te stel deur die begin van een van hierdie vektore by 'n bekende punt M(x0; y0; z0). As 'n arbitrêre vektor MP¯ voorgestel kan word as 'n kombinasie van lineêre vektore u¯ en v¯, dan beteken dit dat die punt P(x; y; z) aan dieselfde vlak as u¯, v¯ behoort. Dus kan ons die gelykheid skryf:
MP¯=αu¯ + βv¯
Of deur hierdie gelykheid in terme van koördinate te skryf, kry ons:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a1; b1; c1) + β(a 2; b2; c2)
Die voorgestelde gelykheid is 'n parametriese vektorvergelyking vir die vlak. BYvektorruimte op die vlak u¯ en v¯ word opwekkers genoem.
Volgende, wanneer die probleem opgelos word, sal daar gewys word hoe hierdie vergelyking tot 'n algemene vorm vir 'n vliegtuig gereduseer kan word.
Hoek tussen vliegtuie in die ruimte
Intuïtief kan vliegtuie in 3D-ruimte óf kruis of nie. In die eerste geval is dit van belang om die hoek tussen hulle te vind. Die berekening van hierdie hoek is moeiliker as die hoek tussen lyne, aangesien ons van 'n tweevlakkige geometriese voorwerp praat. Die reeds genoemde gidsvektor vir die vliegtuig kom egter tot die redding.
Dit is meetkundig vasgestel dat die tweehoekige hoek tussen twee vlakke wat mekaar sny presies gelyk is aan die hoek tussen hul gidsvektore. Kom ons dui hierdie vektore aan as n1¯(a1; b1; c1) en n2¯(a2; b2; c2). Die cosinus van die hoek tussen hulle word bepaal uit die skalêre produk. Dit wil sê, die hoek self in die spasie tussen die vlakke kan bereken word deur die formule:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Hier word die modulus in die noemer gebruik om die waarde van die stompe hoek weg te gooi (tussen snyende vlakke is dit altyd minder as of gelyk aan 90o).
In koördinaatvorm kan hierdie uitdrukking soos volg herskryf word:
φ=arccos(|a1a2 + b1b 2 +c1c2|/(√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b22 + c 22)))
vlakke loodreg en parallel
As die vlakke sny en die tweehoekige hoek wat deur hulle gevorm word, is 90o, dan sal hulle loodreg wees. 'n Voorbeeld van sulke vlakke is 'n reghoekige prisma of 'n kubus. Hierdie figure word deur ses vlakke gevorm. By elke hoekpunt van die genoemde figure is daar drie vlakke loodreg op mekaar.
Om uit te vind of die geagte vlakke loodreg is, is dit genoeg om die skalêre produk van hul normale vektore te bereken. 'n Voldoende voorwaarde vir loodregte in die ruimte van vlakke is die nulwaarde van hierdie produk.
Parallel word nie-kruisende vlakke genoem. Soms word daar ook gesê dat parallelle vlakke oneindig kruis. Die toestand van parallelisme in die ruimte van vlakke val saam met daardie toestand vir die rigtingvektore n1¯ en n2¯. Jy kan dit op twee maniere nagaan:
- Bereken die cosinus van die tweevlakkige hoek (cos(φ)) deur die skalaarproduk te gebruik. As die vlakke parallel is, sal die waarde 1. wees
- Probeer om een vektor deur 'n ander voor te stel deur met een of ander getal te vermenigvuldig, dit wil sê n1¯=kn2¯. As dit gedoen kan word, dan is die ooreenstemmende vlakkeparallel.
Die figuur toon twee parallelle vlakke.
Kom ons gee nou voorbeelde van die oplossing van twee interessante probleme deur die verkrygde wiskundige kennis te gebruik.
Hoe om 'n algemene vorm uit 'n vektorvergelyking te kry?
Dit is 'n parametriese vektoruitdrukking vir 'n vliegtuig. Om dit makliker te maak om die vloei van bewerkings en die wiskundige truuks wat gebruik word te verstaan, oorweeg 'n spesifieke voorbeeld:
(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)
Brei hierdie uitdrukking uit en druk die onbekende parameters uit:
x=1 + 2α;
y=2 - α + β;
z=α + 3β
Dan:
α=(x - 1)/2;
β=y - 2 + (x - 1)/2;
z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)
Deur die hakies in die laaste uitdrukking oop te maak, kry ons:
z=2x-2 + 3y - 6 of
2x + 3y - z - 8=0
Ons het die algemene vorm van die vergelyking vir die vlak wat in die probleemstelling gespesifiseer is in vektorvorm verkry
Hoe om 'n vliegtuig deur drie punte te bou?
Dit is moontlik om 'n enkele vlak deur drie punte te trek as hierdie punte nie aan een of ander enkele reguit lyn behoort nie. Die algoritme om hierdie probleem op te los bestaan uit die volgende volgorde van aksies:
- vind die koördinate van twee vektore deur paarsgewys bekende punte te verbind;
- bereken hul kruisproduk en kry 'n vektor normaal op die vlak;
- skryf die algemene vergelyking deur die gevind vektor enenige van die drie punte.
Kom ons neem 'n konkrete voorbeeld. Punte gegee:
R(1; 2; 0), P(0; -3; 4), Q(1; -2; 2)
Die koördinate van die twee vektore is:
RP¯(-1; -5; 4), PQ¯(1; 1; -2)
Hulle kruisproduk sal wees:
n¯=[RP¯PQ¯]=(6; 2; 4)
Neem die koördinate van punt R, kry ons die vereiste vergelyking:
6x + 2y + 4z -10=0 of
3x + y + 2z -5=0
Dit word aanbeveel om die korrektheid van die resultaat na te gaan deur die koördinate van die oorblywende twee punte in hierdie uitdrukking te vervang:
vir P: 30 + (-3) + 24 -5=0;
vir V: 31 + (-2) + 22 -5=0
Let daarop dat dit moontlik was om nie die vektorproduk te vind nie, maar skryf dadelik die vergelyking vir die vlak in 'n parametriese vektorvorm neer.
