Om dit eenvoudig en kortliks te stel, die omvang is die waardes wat enige funksie kan neem. Om hierdie onderwerp volledig te verken, moet u die volgende punte en konsepte geleidelik uitmekaar haal. Kom ons verstaan eers die definisie van die funksie en die geskiedenis van sy voorkoms.
Wat is 'n funksie
Al die presiese wetenskappe verskaf vir ons baie voorbeelde waar die betrokke veranderlikes op een of ander manier van mekaar afhang. Byvoorbeeld, die digtheid van 'n stof word heeltemal bepaal deur sy massa en volume. Die druk van 'n ideale gas by konstante volume wissel met temperatuur. Hierdie voorbeelde word verenig deur die feit dat alle formules afhanklikhede het tussen veranderlikes, wat funksioneel genoem word.
'n Funksie is 'n konsep wat die afhanklikheid van een grootheid van 'n ander uitdruk. Dit het die vorm y=f(x), waar y die waarde van die funksie is, wat afhang van x - die argument. Ons kan dus sê dat y 'n veranderlike is wat afhanklik is van die waarde van x. Die waardes wat x saam kan neem isdie domein van die gegewe funksie (D(y) of D(f)), en dienooreenkomstig vorm die waardes van y die stel funksiewaardes (E(f) of E(y)). Daar is gevalle waar 'n funksie deur een of ander formule gegee word. In hierdie geval bestaan die definisiedomein uit die waarde van sulke veranderlikes, waarin die notasie met die formule sin maak.
Daar is ooreenstemmende of gelyke kenmerke. Dit is twee funksies wat gelyke reekse geldige waardes het, sowel as die waardes van die funksie self is gelyk vir almal dieselfde argumente.
Baie wette van die presiese wetenskappe word soortgelyk aan situasies in die werklike lewe genoem. Daar is so 'n interessante feit ook oor die wiskundige funksie. Daar is 'n stelling oor die limiet van 'n funksie "toegevoeg" tussen twee ander wat dieselfde limiet het - oor twee polisiemanne. Hulle verduidelik dit so: aangesien twee polisiemanne 'n gevangene tussen hulle na 'n sel lei, word die misdadiger gedwing om soontoe te gaan, en hy het eenvoudig geen keuse nie.
Historiese kenmerkverwysing
Die konsep van 'n funksie het nie dadelik finaal en presies geword nie, dit het 'n lang pad van wording ondergaan. Eerstens het Fermat se Introduction and Study of Plane and Solid Places, gepubliseer in die laat 17de eeu, die volgende gestel:
Wanneer daar twee onbekendes in die finale vergelyking is, is daar plek.
In die algemeen spreek hierdie werk van funksionele afhanklikheid en sy materiële beeld (plek=lyn).
Ook, ongeveer dieselfde tyd, het Rene Descartes die lyne volgens hul vergelykings bestudeer in sy werk "Geometry" (1637), waar weer die feitafhanklikheid van twee hoeveelhede van mekaar.
Die selfde vermelding van die term "funksie" het eers aan die einde van die 17de eeu met Leibniz verskyn, maar nie in sy moderne interpretasie nie. In sy wetenskaplike werk het hy gedink dat 'n funksie verskeie segmente is wat met 'n geboë lyn geassosieer word.
Maar reeds in die 18de eeu het die funksie meer korrek begin omskryf word. Bernoulli het die volgende geskryf:
'n Funksie is 'n waarde saamgestel uit 'n veranderlike en 'n konstante.
Euler se gedagtes was ook naby hieraan:
'n Veranderlike hoeveelheid funksie is 'n analitiese uitdrukking wat op een of ander manier uit hierdie veranderlike hoeveelheid en getalle of konstante hoeveelhede bestaan.
Wanneer sommige hoeveelhede van ander afhanklik is op so 'n manier dat wanneer laasgenoemde verander, hulle self verander, dan word eersgenoemde funksies van laasgenoemde genoem.
Funksiegrafiek
Die grafiek van die funksie bestaan uit alle punte wat aan die asse van die koördinaatvlak behoort, waarvan die absis die waardes van die argument neem, en die waardes van die funksie by hierdie punte is ordinate.
Die omvang van 'n funksie is direk verwant aan sy grafiek, want as enige absisse deur die reeks geldige waardes uitgesluit word, dan moet jy leë punte op die grafiek teken of die grafiek binne sekere perke teken. Byvoorbeeld, as 'n grafiek met die vorm y=tgx geneem word, dan is die waarde x=pi / 2 + pin, n∉R uitgesluit van die definisie-area, in die geval van 'n raaklyngrafiek, moet jy tekenvertikale lyne parallel met die y-as (dit word asimptote genoem) wat deur die punte ±pi/2 gaan.
Enige deeglike en noukeurige studie van funksies vorm 'n groot tak van wiskunde wat calculus genoem word. In elementêre wiskunde word elementêre vrae oor funksies ook aangeraak, byvoorbeeld om 'n eenvoudige grafiek te bou en 'n paar basiese eienskappe van 'n funksie vas te stel.
Watter funksie kan gestel word na
Funksie kan:
- wees 'n formule, byvoorbeeld: y=cos x;
- gestel deur enige tabel van pare van die vorm (x; y);
- het onmiddellik 'n grafiese aansig, hiervoor moet die pare van die vorige item van die vorm (x; y) op die koördinaat-asse vertoon word.
Wees versigtig wanneer jy sommige hoëvlakprobleme oplos, byna enige uitdrukking kan as 'n funksie beskou word met betrekking tot een of ander argument vir die waarde van die funksie y (x). Om die domein van definisie in sulke take te vind, kan die sleutel tot die oplossing wees.
Waarvoor is die omvang?
Die eerste ding wat jy oor 'n funksie moet weet om dit te bestudeer of te bou, is die omvang daarvan. Die grafiek moet slegs daardie punte bevat waar die funksie kan bestaan. Die domein van definisie (x) kan ook na verwys word as die domein van aanvaarbare waardes (afgekort as ODZ).
Om 'n grafiek van funksies korrek en vinnig te bou, moet jy die domein van hierdie funksie ken, omdat die voorkoms van die grafiek en getrouheid daarvan afhangkonstruksie. Byvoorbeeld, om 'n funksie y=√x te konstrueer, moet jy weet dat x slegs positiewe waardes kan neem. Daarom word dit slegs in die eerste koördinaatkwadrant gebou.
Omvang van definisie op die voorbeeld van elementêre funksies
In sy arsenaal het wiskunde 'n klein aantal eenvoudige, gedefinieerde funksies. Hulle het 'n beperkte omvang. Die oplossing vir hierdie probleem sal nie probleme veroorsaak nie, selfs al het u 'n sogenaamde komplekse funksie voor u. Dit is net 'n kombinasie van verskeie eenvoudiges.
- Dus, die funksie kan breuk wees, byvoorbeeld: f(x)=1/x. Dus, die veranderlike (ons argument) is in die noemer, en almal weet dat die noemer van 'n breuk nie gelyk aan 0 kan wees nie, daarom kan die argument enige waarde behalwe 0 neem. Die notasie sal so lyk: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). As daar 'n uitdrukking met 'n veranderlike in die noemer is, moet jy die vergelyking vir x oplos en die waardes uitsluit wat die noemer na 0 draai. Vir 'n skematiese voorstelling is 5 goed gekose punte genoeg. Die grafiek van hierdie funksie sal 'n hiperbool wees met 'n vertikale asimptoot wat deur die punt (0; 0) gaan en, in kombinasie, die Ox- en Oy-asse. As die grafiese beeld met die asimptote sny, sal so 'n fout as die ergste beskou word.
- Maar wat is die domein van die wortel? Die domein van 'n funksie met 'n radikale uitdrukking (f(x)=√(2x + 5)), wat 'n veranderlike bevat, het ook sy eie nuanses (geld net vir die wortel van 'n ewe graad). Soosdie rekenkundige wortel is 'n positiewe uitdrukking of gelyk aan 0, dan moet die worteluitdrukking groter as of gelyk aan 0 wees, ons los die volgende ongelykheid op: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, dus die domein van hierdie funksie: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Die grafiek is een van die vertakkings van 'n parabool, 90 grade gedraai, geleë in die eerste koördinaatkwadrant.
- As ons met 'n logaritmiese funksie te doen het, dan moet jy onthou dat daar 'n beperking is ten opsigte van die basis van die logaritme en die uitdrukking onder die teken van die logaritme, in hierdie geval kan jy die definisiedomein vind as volg. Ons het 'n funksie: y=loga(x + 7), ons los die ongelykheid op: x + 7 > 0, x > -7. Dan is die domein van hierdie funksie D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Gee ook aandag aan trigonometriese funksies van die vorm y=tgx en y=ctgx, aangesien y=tgx=sinx/cos/x en y=ctgx=cosx/sinx, daarom moet jy waardes uitsluit waarby die noemer gelyk aan nul kan wees. As jy vertroud is met die grafieke van trigonometriese funksies, is dit 'n eenvoudige taak om hul domein te verstaan.
Hoe verskil dit om met komplekse funksies te werk
Onthou 'n paar basiese reëls. As ons met 'n komplekse funksie werk, is dit nie nodig om iets op te los, te vereenvoudig, breuke by te tel, te verminder tot die laagste gemene deler en wortels te onttrek nie. Ons moet hierdie funksie ondersoek, want verskillende (selfs identiese) bewerkings kan die omvang van die funksie verander, wat lei tot 'n verkeerde antwoord.
Byvoorbeeld, ons het 'n komplekse funksie: y=(x2 - 4)/(x - 2). Ons kan nie die teller en noemer van die breuk verminder nie, aangesien dit slegs moontlik is as x ≠ 2, en dit is die taak om die domein van die funksie te vind, dus faktoriseer ons nie die teller nie en los geen ongelykhede op nie, want die waarde waarteen die funksie nie bestaan nie, sigbaar met die blote oog. In hierdie geval kan x nie die waarde 2 aanneem nie, aangesien die noemer nie na 0 kan gaan nie, sal die notasie soos volg lyk: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Wederkerige funksies
Om mee te begin, is dit die moeite werd om te sê dat 'n funksie slegs omkeerbaar kan word met 'n interval van toename of afname. Om die inverse funksie te vind, moet jy x en y in die notasie omruil en die vergelyking vir x oplos. Definisiedomeine en waardedomeine word eenvoudig omgekeer.
Die hoofvoorwaarde vir omkeerbaarheid is 'n eentonige interval van 'n funksie, as 'n funksie intervalle van toename en afname het, dan is dit moontlik om die inverse funksie van enige een interval saam te stel (toenemend of verminderend).
Byvoorbeeld, vir die eksponensiële funksie y=exdie wederkerige is die natuurlike logaritmiese funksie y=logea=lna. Vir trigonometrie sal dit funksies wees met die voorvoegsel arc-: y=sinx en y=arcsinx ensovoorts. Grafieke sal simmetries geplaas word met betrekking tot sommige asse of asimptote.
Gevolgtrekkings
Soek na die reeks aanvaarbare waardes kom daarop neer om die grafiek van funksies te ondersoek (as daar een is),opteken en oplos van die nodige spesifieke stelsel van ongelykhede.
Dus, hierdie artikel het jou gehelp om te verstaan waarvoor die omvang van 'n funksie is en hoe om dit te vind. Ons hoop dat dit jou sal help om die basiese skoolkursus goed te verstaan.
