Die studie van die eienskappe van die gas-aggregaattoestand van materie is een van die belangrike areas van moderne fisika. As gasse op 'n mikroskopiese skaal in ag geneem word, kan 'n mens al die makroskopiese parameters van die sisteem verkry. Hierdie artikel sal 'n belangrike kwessie van die molekulêre kinetiese teorie van gasse openbaar: wat is die Maxwell-verspreiding van molekules in terme van snelhede.
Historiese agtergrond
Die idee van gas as 'n stelsel van mikroskopiese bewegende deeltjies het in antieke Griekeland ontstaan. Dit het meer as 1700 jaar geneem vir die wetenskap om dit te ontwikkel.
Die stigter van die moderne molekulêre-kinetiese teorie (MKT) van gas is regverdig om Daniil Bernoulli te oorweeg. In 1738 publiseer hy 'n werk genaamd "Hydrodynamics". Daarin het Bernoulli die idees van die MKT uiteengesit wat tot vandag toe gebruik is. Dus, die wetenskaplike het geglo dat gasse saamgestel is uit deeltjies wat lukraak in alle rigtings beweeg. Talle botsingsdeeltjies met vatwande word waargeneem as die teenwoordigheid van druk in gasse. Deeltjiesnelhede is nou verwant aan die temperatuur van die sisteem. Die wetenskaplike gemeenskap het nie Bernoulli se gewaagde idees aanvaar nie omdat die wet van behoud van energie nog nie vasgestel is nie.
Gevolglik was baie wetenskaplikes besig met die bou van 'n kinetiese model van gasse. Onder hulle moet gelet word op Rudolf Clausius, wat in 1857 'n eenvoudige gasmodel geskep het. Daarin het die wetenskaplike spesiale aandag gegee aan die teenwoordigheid van translasie-, rotasie- en vibrasiegrade van vryheid in molekules.
In 1859, deur die werk van Clausius te bestudeer, het James Maxwell die sogenaamde Maxwell-verspreiding oor molekulêre snelhede geformuleer. Trouens, Maxwell het die idees van die MKT bevestig en dit met 'n wiskundige apparaat gerugsteun. Vervolgens het Ludwig Boltzmann (1871) die gevolgtrekkings van die Maxwell-verspreiding veralgemeen. Hy het 'n meer algemene statistiese verspreiding van molekules oor snelhede en energieë gepostuleer. Dit staan tans bekend as die Maxwell-Boltzmann-verspreiding.
Ideale gas. Basiese postulate van die ILC
Om te verstaan wat die Maxwell-verspreidingsfunksie is, moet jy die stelsels waarop hierdie funksie van toepassing is, duidelik verstaan. Ons praat van 'n ideale gas. In fisika word hierdie konsep verstaan as 'n vloeibare stof, wat bestaan uit feitlik dimensielose deeltjies wat nie potensiële energie het nie. Hierdie deeltjies beweeg teen hoë spoed, dus word hul gedrag heeltemal deur kinetiese energie bepaal. Boonop is die afstande tussen die deeltjies te groot virin vergelyking met hul groottes, dus word laasgenoemde verwaarloos.
Ideale gasse word binne die MKT beskryf. Die hoofpostulate daarvan is soos volg:
- gasstelsels bestaan uit 'n groot aantal vrye deeltjies;
- partikels beweeg ewekansig teen verskillende spoed in verskillende rigtings langs reguit trajekte;
- partikels bots elasties met vaartuigwande (die waarskynlikheid dat partikels met mekaar sal bots is laag as gevolg van hul klein grootte);
- Die temperatuur van die sisteem word uniek bepaal deur die gemiddelde kinetiese energie van die deeltjies, wat betyds behoue bly as termodinamiese ewewig in die sisteem gevestig word.
Maxwell se verspreidingswet
As 'n persoon 'n instrument gehad het waarmee dit moontlik was om die spoed van 'n enkele gasmolekule te meet, dan, nadat hy 'n gepaste eksperiment uitgevoer het, sou hy verbaas wees. Die eksperiment sou wys dat elke molekule van enige gasstelsel teen 'n heeltemal arbitrêre spoed beweeg. In hierdie geval, binne die raamwerk van een sisteem in termiese ewewig met die omgewing, sal beide baie stadige en baie vinnige molekules opgespoor word.
Maxwell se wet van snelheidsverspreiding van gasmolekules is 'n instrument wat jou toelaat om die waarskynlikheid te bepaal om deeltjies met 'n gegewe snelheid v in die sisteem wat bestudeer word op te spoor. Die ooreenstemmende funksie lyk soos volg:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
In hierdie uitdrukking, m -deeltjie (molekule) massa, k - Boltzmann se konstante, T - absolute temperatuur. Dus, as die chemiese aard van die deeltjies (die waarde van m) bekend is, dan word die funksie f(v) uniek bepaal deur die absolute temperatuur. Die funksie f(v) word die waarskynlikheidsdigtheid genoem. As ons die integraal daaruit neem vir een of ander spoedgrens (v; v+dv), dan kry ons die aantal deeltjies Ni, wat spoed in die gespesifiseerde interval het. Gevolglik, as ons die integraal van die waarskynlikheidsdigtheid f(v) vir die snelheidsgrense van 0 tot ∞ neem, dan kry ons die totale aantal molekules N in die stelsel.
Grafiese voorstelling van die waarskynlikheidsdigtheid f(v)
Die waarskynlikheidsdigtheidfunksie het 'n ietwat komplekse wiskundige vorm, so dit is nie maklik om die gedrag daarvan by 'n gegewe temperatuur voor te stel nie. Hierdie probleem kan opgelos word as jy dit op 'n tweedimensionele grafiek uitbeeld. 'n Skematiese aansig van die Maxwell-verspreidingsgrafiek word hieronder in die figuur getoon.
Ons sien dat dit vanaf nul begin, aangesien die snelheid v van molekules nie negatiewe waardes kan hê nie. Die grafiek eindig iewers in die omgewing van hoë snelhede, en val glad na nul (f(∞)->0). Die volgende kenmerk is ook opvallend: die gladde kromme is asimmetries, dit neem skerper af vir klein snelhede.
'n Belangrike kenmerk van die gedrag van die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie f(v) is die teenwoordigheid van een uitgespreek maksimum daarop. Volgens die fisiese betekenis van die funksie stem hierdie maksimum ooreen met die mees waarskynlike waarde van die snelhede van molekules in die gasstelsel.
Belangrike snelhede vir die funksie f(v)
Die waarskynlikheidsdigtheidfunksie f(v) en sy grafiese voorstelling laat ons toe om drie belangrike tipes spoed te definieer.
Die eerste soort spoed wat voor die hand liggend is en wat hierbo genoem is, is die mees waarskynlike spoed v1. Op die grafiek stem die waarde daarvan ooreen met die maksimum van die funksie f(v). Dit is hierdie spoed en waardes naby daaraan wat die meeste van die deeltjies van die stelsel sal hê. Dit is nie moeilik om dit te bereken nie, hiervoor is dit genoeg om die eerste afgeleide te neem met betrekking tot die spoed van die funksie f(v) en dit gelyk te stel aan nul. As gevolg van hierdie wiskundige bewerkings kry ons die finale resultaat:
v1=√(2RT/M).
Hier is R die universele gaskonstante, M is die molêre massa van molekules.
Die tweede soort spoed is sy gemiddelde waarde vir alle N deeltjies. Kom ons noem dit v2. Dit kan bereken word deur die funksie vf(v) oor alle snelhede te integreer. Die resultaat van die genoteerde integrasie sal die volgende formule wees:
v2=√(8RT/(piM)).
Omdat die verhouding 8/pi>2 is, is die gemiddelde spoed altyd effens hoër as die mees waarskynlike een.
Elke persoon wat 'n bietjie van fisika weet, verstaan dat die gemiddelde snelheid v2 van molekules van groot belang in 'n gasstelsel moet wees. Dit is egter 'n foutiewe aanname. Veel belangriker is die RMS-spoed. Kom ons dui dit aanv3.
Volgens die definisie is wortel-gemiddelde-kwadraatsnelheid die som van die vierkante van die individuele snelhede van alle deeltjies, gedeel deur die aantal van hierdie deeltjies, en geneem as die vierkantswortel. Dit kan vir die Maxwell-verspreiding bereken word as ons die integraal oor alle snelhede van die funksie v2f(v) definieer. Die formule vir die gemiddelde kwadratiese spoed sal die vorm aanneem:
v3=√(3RT/M).
Equality wys dat hierdie spoed groter is as v2 en v1 vir enige gasstelsel.
Dus, alle beskou tipes snelhede op die Maxwell-verspreidingsgrafiek lê óf op die uiterste óf regs daarvan.
Belangrikheid van v3
Daar is hierbo opgemerk dat die gemiddelde vierkante snelheid belangriker is om die fisiese prosesse en eienskappe van 'n gasstelsel te verstaan as die eenvoudige gemiddelde snelheid v2. Dit is waar, aangesien die kinetiese energie van 'n ideale gas presies afhang van v3, en nie van v2.
As ons 'n monatomiese ideale gas oorweeg, dan is die volgende uitdrukking waar daarvoor:
mv32/2=3/2kT.
Hier verteenwoordig elke deel van die vergelyking die kinetiese energie van een deeltjie met massa m. Hoekom bevat die uitdrukking presies die waarde v3, en nie die gemiddelde spoed v2 nie? Baie eenvoudig: wanneer die kinetiese energie van elke deeltjie bepaal word, word sy individuele snelheid v gekwadraat, dan alle snelhedeword opgetel en gedeel deur die aantal deeltjies N. Dit wil sê, die prosedure vir die bepaling van die kinetiese energie self lei tot die waarde van die gemiddelde vierkante snelheid.
Afhanklikheid van funksie f(v) van temperatuur
Ons het hierbo vasgestel dat die waarskynlikheidsdigtheid van molekulêre snelhede uniek van temperatuur afhang. Hoe sal die funksie verander as T verhoog of verlaag word? Die grafiek hieronder sal help om hierdie vraag te beantwoord.
Daar kan gesien word dat die verhitting van die geslote stelsel lei tot smeer van die piek en die verskuiwing daarvan na hoër snelhede. 'n Toename in temperatuur lei tot 'n toename in alle soorte snelhede en tot 'n afname in die waarskynlikheidsdigtheid van elk van hulle. Die piekwaarde neem af as gevolg van die behoud van die aantal deeltjies N in 'n geslote sisteem.
Volgende sal ons 'n paar probleme oplos om die teoretiese materiaal wat ontvang is, te konsolideer.
Probleem met stikstofmolekules in die lug
Dit is nodig om die snelhede te bereken v1, v2 en v3 vir lugstikstof by 'n temperatuur van 300 K (ongeveer 27 oC).
Die molêre massa van stikstof N2 is 28 g/mol. Deur die bogenoemde formules te gebruik, kry ons:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Suurstoftenkprobleem
Die suurstof in die silinder was by 'n sekere temperatuur T1. Toe is die ballon in 'n kouer kamer geplaas. Hoe sal die Maxwell-snelheidsverspreidingsplot vir suurstofmolekules verander wanneer die stelsel by termodinamiese ewewig kom?
Onthou die teorie, ons kan die vraag oor die probleem op hierdie manier beantwoord: die waardes van alle soorte snelhede van molekules sal afneem, die piek van die funksie f(v) sal na links skuif, word nouer en hoër.
