Die opkoms van die konsep van die integraal was te wyte aan die behoefte om die anti-afgeleide funksie deur sy afgeleide te vind, sowel as om die hoeveelheid werk, die oppervlakte van komplekse figure, die afstand afgelê, met parameters uiteengesit deur krommes beskryf deur nie-lineêre formules.
Van kursus
en fisika weet dat werk gelyk is aan die produk van krag en afstand. As alle beweging teen 'n konstante spoed plaasvind of die afstand oorkom word met die toepassing van dieselfde krag, dan is alles duidelik, jy hoef hulle net te vermenigvuldig. Wat is 'n integraal van 'n konstante? Dit is 'n lineêre funksie van die vorm y=kx+c.
Maar die krag tydens die werk kan verander, en in een of ander natuurlike afhanklikheid. Dieselfde situasie vind plaas met die berekening van die afstand afgelê as die spoed nie konstant is nie.
Dus, dit is duidelik waarvoor die integraal is. Die definisie daarvan as die som van die produkte van funksiewaardes met 'n oneindige verhoging van die argument beskryf volledig die hoofbetekenis van hierdie konsep as die oppervlakte van 'n figuur wat van bo af begrens word deur die lyn van die funksie, en by die rande by die grense van die definisie.
Jean Gaston Darboux, Franse wiskundige, in die tweede helfte van die XIXeeu baie duidelik verduidelik wat 'n integraal is. Hy het dit so duidelik gemaak dat dit in die algemeen nie moeilik sou wees nie, selfs vir 'n junior hoërskoolleerling om hierdie kwessie te verstaan.
Kom ons sê daar is 'n funksie van enige komplekse vorm. Die y-as, waarop die waardes van die argument geplot word, word in klein intervalle verdeel, ideaal gesproke is hulle oneindig klein, maar aangesien die konsep van oneindigheid taamlik abstrak is, is dit genoeg om net klein segmente voor te stel, die waarde waarvan gewoonlik met die Griekse letter Δ (delta) aangedui word.
Die funksie blyk in klein bakstene "gesny" te wees.
Elke argumentwaarde stem ooreen met 'n punt op die y-as, waarop die ooreenstemmende funksiewaardes geplot is. Maar aangesien die geselekteerde area twee grense het, sal daar ook twee waardes van die funksie wees, meer en minder.
Die som van die produkte van groter waardes met die inkrement Δ word die groot Darboux-som genoem, en word as S aangedui. Gevolglik word die kleiner waardes in 'n beperkte area, vermenigvuldig met Δ, almal saam vorm 'n klein Darboux-som s. Die gedeelte self lyk soos 'n reghoekige trapesium, aangesien die kromming van die lyn van die funksie met sy oneindige inkrement verwaarloos kan word. Die maklikste manier om die oppervlakte van so 'n meetkundige figuur te vind, is om die produkte van die groter en kleiner waarde van die funksie met die Δ-inkrement by te tel en deur twee te deel, dit wil sê, dit as die rekenkundige gemiddelde te bepaal.
Dit is wat die Darboux-integraal is:
s=Σf(x) Δ is 'n klein bedrag;
S=Σf(x+Δ)Δ is 'n groot som.
So, wat is 'n integraal? Die area begrens deur die funksielyn en die definisiegrense sal wees:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Dit wil sê, die rekenkundige gemiddelde van groot en klein Darboux-somme.c is 'n konstante waarde wat tydens differensiasie op nul gestel word.
Op grond van die geometriese uitdrukking van hierdie konsep word die fisiese betekenis van die integraal duidelik. Die area van die figuur, uiteengesit deur die spoedfunksie, en beperk deur die tydinterval langs die abskis-as, sal die lengte van die pad wees wat gereis word.
L=∫f(x)dx op die interval van t1 tot t2, Where
f(x) – spoedfunksie, dit wil sê die formule waarmee dit oor tyd verander;
L – padlengte;
t1 – begintyd;
t2 – eindtyd van die reis.
Presies volgens dieselfde beginsel word die hoeveelheid werk bepaal, slegs die afstand sal langs die abskis geplot word, en die hoeveelheid krag wat op elke spesifieke punt toegepas word, sal langs die ordinaat geplot word.
