Volume is 'n kenmerk van enige figuur wat nie-nul afmetings in al drie dimensies van ruimte het. In hierdie artikel, vanuit die oogpunt van stereometrie (die meetkunde van ruimtelike figure), sal ons 'n prisma oorweeg en wys hoe om die volumes van prismas van verskillende tipes te vind.
Wat is 'n prisma?
Stereometrie het die presiese antwoord op hierdie vraag. 'n Prisma daarin word verstaan as 'n figuur wat gevorm word deur twee identiese veelhoekige vlakke en verskeie parallelogramme. Die prent hieronder wys vier verskillende prismas.
Elkeen van hulle kan soos volg verkry word: jy moet 'n veelhoek (driehoek, vierhoek, ensovoorts) en 'n segment van 'n sekere lengte neem. Dan moet elke hoekpunt van die veelhoek met behulp van parallelle segmente na 'n ander vlak oorgeplaas word. In die nuwe vlak, wat parallel met die oorspronklike een sal wees, sal 'n nuwe veelhoek verkry word, soortgelyk aan die een wat aanvanklik gekies is.
Prisms kan van verskillende tipes wees. So, hulle kan reguit, skuins en korrek wees. As die laterale rand van die prisma (segment,verbind die hoekpunte van die basisse) loodreg op die basisse van die figuur, dan is laasgenoemde 'n reguit lyn. Gevolglik, as hierdie voorwaarde nie nagekom word nie, praat ons van 'n skuins prisma. 'n Gereelde figuur is 'n regte prisma met 'n gelykhoekige en gelyksydige basis.
Later in die artikel sal ons wys hoe om die volume van elk van hierdie tipe prismas te bereken.
Volume van gereelde prismas
Kom ons begin met die eenvoudigste saak. Ons gee die formule vir die volume van 'n reëlmatige prisma met 'n n-gonale basis. Die volume formule V vir enige figuur van die klas wat oorweeg word, is soos volg:
V=Soh.
Dit wil sê, om die volume te bepaal, is dit genoeg om die oppervlakte van een van die basisse So te bereken en dit met die hoogte h van die figuur te vermenigvuldig.
In die geval van 'n gereelde prisma, kom ons dui die lengte van die sy van sy basis aan met die letter a, en die hoogte, wat gelyk is aan die lengte van die syrand, met die letter h. As die basis van die n-gon korrek is, dan is die maklikste manier om sy oppervlakte te bereken om die volgende universele formule te gebruik:
S=n/4a2ctg(pi/n).
Deur die waarde van die aantal sye n en die lengte van een sy a in gelykheid te vervang, kan jy die oppervlakte van die n-gonale basis bereken. Let daarop dat die kotangensfunksie hier bereken word vir die hoek pi/n, wat in radiale uitgedruk word.
Gegewe die gelykheid geskryf vir S, kry ons die finale formule vir die volume van 'n reëlmatige prisma:
V=n/4a2hctg(pi/n).
Vir elke spesifieke geval kan jy die ooreenstemmende formules vir V skryf, maar hulle almaluniek volg uit die geskrewe algemene uitdrukking. Byvoorbeeld, vir 'n gereelde vierhoekige prisma, wat in die algemene geval 'n reghoekige parallelepiped is, kry ons:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 h.
As ons h=a in hierdie uitdrukking neem, kry ons die formule vir die volume van die kubus.
Volume van direkte prismas
Ons neem dadelik kennis dat daar vir reguit figure geen algemene formule is vir die berekening van volume nie, wat hierbo vir gereelde prismas gegee is. Wanneer die betrokke waarde gevind word, moet die oorspronklike uitdrukking gebruik word:
V=Soh.
Hier is h die lengte van die syrand, soos in die vorige geval. Wat die basisarea So betref, dit kan 'n verskeidenheid waardes aanneem. Die taak om 'n reguit prisma van volume te bereken, word verminder tot die oppervlakte van sy basis.
Die berekening van die waarde van Somoet uitgevoer word op grond van die eienskappe van die basis self. Byvoorbeeld, as dit 'n driehoek is, dan kan die oppervlakte soos volg bereken word:
So3=1/2aha.
Hier is ha die apotem van die driehoek, dit wil sê sy hoogte verlaag na die basis a.
As die basis 'n vierhoek is, dan kan dit 'n trapesium, 'n parallelogram, 'n reghoek of 'n heeltemal arbitrêre tipe wees. Vir al hierdie gevalle moet jy die toepaslike planimetrie-formule gebruik om die area te bepaal. Byvoorbeeld, vir 'n trapesium, lyk hierdie formule soos volg:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
Waar ha die hoogte van die trapesium is, is a1 en a2 die lengtes van sy parallelle sye.
Om die oppervlakte vir veelhoeke van 'n hoër orde te bepaal, moet jy hulle in eenvoudige vorms (driehoeke, vierhoeke) verdeel en die som van die oppervlaktes van laasgenoemde bereken.
Gekantelde prisma-volume
Dit is die moeilikste geval om die volume van 'n prisma te bereken. Die algemene formule vir sulke syfers geld ook:
V=Soh.
By die kompleksiteit om die oppervlakte van die basis te vind wat 'n arbitrêre tipe veelhoek verteenwoordig, word die probleem om die hoogte van die figuur te bepaal egter bygevoeg. Dit is altyd minder as die lengte van die syrand in 'n skuins prisma.
Die maklikste manier om hierdie hoogte te vind, is as jy enige hoek van die figuur ken (plat of tweehoekig). As so 'n hoek gegee word, moet 'n mens dit gebruik om 'n reghoekige driehoek binne die prisma te konstrueer, wat die hoogte h as een van die sye sal bevat en, met behulp van trigonometriese funksies en die Pythagoras-stelling, die waarde h vind.
Meetkundige volumeprobleem
Gegee 'n reëlmatige prisma met 'n driehoekige basis, met 'n hoogte van 14 cm en 'n sylengte van 5 cm. Wat is die volume van die driehoekige prisma?
Aangesien ons van die korrekte syfer praat, het ons die reg om die bekende formule te gebruik. Ons het:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151.55 cm3.
'n Driehoekige prisma is 'n redelik simmetriese figuur, in die vorm waarvan verskeie argitektoniese strukture dikwels gemaak word. Hierdie glasprisma word in optika gebruik.
