Vektor is 'n belangrike geometriese voorwerp, met behulp van sy eienskappe is dit gerieflik om baie probleme op die vliegtuig en in die ruimte op te los. In hierdie artikel sal ons dit definieer, die hoofkenmerke daarvan oorweeg en ook wys hoe 'n vektor in die ruimte gebruik kan word om vlakke te definieer.
Wat is 'n vektor: tweedimensionele geval
Eerstens is dit nodig om duidelik te verstaan van watter voorwerp ons praat. In meetkunde word 'n gerigte segment 'n vektor genoem. Soos enige segment, word dit gekenmerk deur twee hoofelemente: die begin- en eindpunte. Die koördinate van hierdie punte bepaal uniek al die kenmerke van die vektor.
Kom ons kyk na 'n voorbeeld van 'n vektor op 'n vlak. Om dit te doen, teken ons twee onderling loodregte asse x en y. Kom ons merk 'n arbitrêre punt P(x, y). As ons hierdie punt verbind met die oorsprong (punt O), en dan die rigting na P spesifiseer, dan kry ons die vektor OP¯ (later in die artikel dui die balk oor die simbool aan dat ons 'n vektor oorweeg). Die vektortekening op die vlak word hieronder getoon.
Hier word 'n ander vektor AB¯ ook getoon, en jy kan sien dat sy kenmerke presies dieselfde is as OP¯, maar dit is in 'n ander deel van die koördinaatstelsel. Deur parallelle vertaling OP¯, kan jy 'n oneindige aantal vektore met dieselfde eienskappe kry.
Vektor in die ruimte
Alle werklike voorwerpe wat ons omring, is in driedimensionele ruimte. Die studie van die meetkundige eienskappe van driedimensionele figure handel oor stereometrie, wat met die konsep van driedimensionele vektore werk. Hulle verskil slegs van tweedimensionele deurdat hul beskrywing 'n bykomende koördinaat vereis, wat gemeet word langs die derde loodregte x- en y-as z.
Die figuur hieronder toon 'n vektor in die ruimte. Die koördinate van sy einde langs elke as word deur gekleurde segmente aangedui. Die begin van die vektor is geleë by die snypunt van al drie koördinaat-asse, dit wil sê, dit het koördinate (0; 0; 0).
Aangesien 'n vektor op 'n vlak 'n spesiale geval van 'n ruimtelik gerigte segment is, sal ons slegs 'n driedimensionele vektor in die artikel oorweeg.
Vektorkoördinate gebaseer op bekende koördinate van die begin en einde daarvan
Sê nou daar is twee punte P(x1; y1; z1) en Q(x2; y2; z2). Hoe om die koördinate van die vektor PQ¯ te bepaal. Eerstens is dit nodig om saam te stem watter van die punte die begin en watter die einde van die vektor sal wees. In wiskunde is dit gebruiklik om die betrokke voorwerp in sy rigting te skryf, dit wil sê P is die begin, Q- die einde. Tweedens word die koördinate van die vektor PQ¯ bereken as die verskil tussen die ooreenstemmende koördinate van die einde en die begin, dit is:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Let daarop dat deur die rigting van die vektor te verander, sy koördinate van teken sal verander, soos volg:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Dit beteken PQ¯=-QP¯.
Dit is belangrik om nog een ding te verstaan. Daar is hierbo gesê dat daar in die vlak 'n oneindige aantal vektore gelyk aan die gegewe een is. Hierdie feit is ook geldig vir die ruimtelike geval. Trouens, toe ons die koördinate van PQ¯ in die voorbeeld hierbo bereken het, het ons die bewerking van parallelle translasie van hierdie vektor op so 'n manier uitgevoer dat die oorsprong daarvan saamgeval het met die oorsprong. Vektor PQ¯ kan geteken word as 'n gerigte segment vanaf die oorsprong na punt M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vektoreienskappe
Soos enige meetkundige voorwerp, het 'n vektor 'n paar inherente eienskappe wat gebruik kan word om probleme op te los. Kom ons lys hulle kortliks op.
Vektormodulus is die lengte van die gerigte segment. As u die koördinate ken, is dit maklik om dit te bereken. Vir die vektor PQ¯ in die voorbeeld hierbo is die modulus:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektormodule aanvlak word deur 'n soortgelyke formule bereken, slegs sonder die deelname van die derde koördinaat.
Die som en verskil van vektore word volgens die driehoekreël uitgevoer. Die figuur hieronder wys hoe om hierdie voorwerpe op te tel en af te trek.
Om die somvektor te kry, voeg die begin van die tweede by die einde van die eerste vektor. Die verlangde vektor sal aan die begin van die eerste begin en aan die einde van die tweede vektor eindig.
Die verskil word uitgevoer met inagneming van die feit dat die afgetrekte vektor deur die teenoorgestelde een vervang word, en dan word die optelbewerking hierbo beskryf.
Behalwe optel en aftrek, is dit belangrik om 'n vektor met 'n getal te kan vermenigvuldig. As die getal gelyk is aan k, word 'n vektor verkry waarvan die modulus k keer verskil van die oorspronklike een, en die rigting is óf dieselfde (k>0) óf teenoorgestelde van die oorspronklike een (k<0).
Die werking van vermenigvuldiging van vektore onder mekaar word ook gedefinieer. Ons sal 'n aparte paragraaf daarvoor in die artikel uitsonder.
Skalêre en vektorvermenigvuldiging
Sê nou daar is twee vektore u¯(x1; y1; z1) en v¯(x2; y2; z2). Vektor met vektor kan op twee verskillende maniere vermenigvuldig word:
- Skalaar. In hierdie geval is die resultaat 'n getal.
- Vektor. Die resultaat is 'n nuwe vektor.
Die skalaarproduk van vektore u¯ en v¯ word soos volg bereken:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Waar α die hoek tussen die gegewe vektore is.
Dit kan aangetoon word dat, met die kennis van die koördinate u¯ en v¯, hul puntproduk bereken kan word deur die volgende formule te gebruik:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Die skalaarproduk is gerieflik om te gebruik wanneer 'n vektor in twee loodreg gerigte segmente ontbind word. Dit word ook gebruik om die parallelisme of ortogonaliteit van vektore te bereken, en om die hoek tussen hulle te bereken.
Die kruisproduk van u¯ en v¯ gee 'n nuwe vektor wat loodreg op die oorspronklikes is en modulus het:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Rigting af of op van die nuwe vektor word bepaal deur die reël van die regterhand (vier vingers van die regterhand is gerig vanaf die einde van die eerste vektor na die einde van die tweede, en die duim steek op dui die rigting van die nuwe vektor aan). Die figuur hieronder toon die resultaat van die kruisproduk vir arbitrêre a¯ en b¯.
Die kruisproduk word gebruik om die oppervlaktes van figure te bereken, asook om die koördinate van 'n vektor loodreg op 'n gegewe vlak te bepaal.
Vektore en hul eienskappe is gerieflik om te gebruik wanneer die vergelyking van 'n vlak gedefinieer word.
Normale en algemene vergelyking van die vliegtuig
Daar is verskeie maniere om 'n vliegtuig te definieer. Een daarvan is die afleiding van die algemene vergelyking van die vlak, wat direk volg uit die kennis van die vektor loodreg daarop en een of ander bekende punt wat aan die vlak behoort.
Veronderstel dat daar 'n vektor n¯ (A; B; C) en 'n punt P (x0; y0; z 0). Watter voorwaarde sal aan alle punte Q(x; y; z) van die vlak voldoen? Hierdie toestand bestaan uit die loodregteheid van enige vektor PQ¯ tot die normale n¯. Vir twee loodregte vektore word die puntproduk nul (cos(90o)=0), skryf dit:
(n¯PQ¯)=0 of
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Om die hakies oop te maak, kry ons:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 of
Ax + By + Cz +D=0 waar D=-Ax0-By0-Cz0.
Hierdie vergelyking word algemeen vir die vliegtuig genoem. Ons sien dat die koëffisiënte voor x, y en z die koördinate van die loodregte vektor n¯ is. Dit word 'n vliegtuiggids genoem.
Vektorparametriese vergelyking van die vlak
Die tweede manier om 'n vliegtuig te definieer, is om twee vektore wat daarin lê, te gebruik.
Veronderstel dat daar vektore is u¯(x1; y1; z1) en v¯(x2; y2; z2). Soos daar gesê is, kan elkeen van hulle in die ruimte voorgestel word deur 'n oneindige aantal identiese gerigte segmente, daarom is nog een punt nodig om die vlak uniek te bepaal. Laat hierdie punt P(x0;y0; z0). Enige punt Q(x; y; z) sal in die verlangde vlak lê as die vektor PQ¯ voorgestel kan word as 'n kombinasie van u¯ en v¯. Dit wil sê, ons het:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Waar α en β 'n paar reële getalle is. Uit hierdie gelykheid volg die uitdrukking:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Dit word 'n parametriese vektorvergelyking van die vlak genoem met betrekking tot 2 vektore u¯ en v¯. Deur arbitrêre parameters α en β te vervang, kan 'n mens alle punte (x; y; z) vind wat aan hierdie vlak behoort.
Uit hierdie vergelyking is dit maklik om die algemene uitdrukking vir die vliegtuig te kry. Om dit te doen, is dit genoeg om die rigtingvektor n¯ te vind, wat loodreg op beide vektore u¯ en v¯ sal wees, dit wil sê, hul vektorproduk moet toegepas word.
Die probleem om die algemene vergelyking van die vlak te bepaal
Kom ons wys hoe om die bogenoemde formules te gebruik om meetkundige probleme op te los. Gestel die rigtingvektor van die vlak is n¯(5; -3; 1). Jy moet die vergelyking van die vlak vind, met die wete dat die punt P(2; 0; 0) daaraan behoort.
Die algemene vergelyking word geskryf as:
Ax + By + Cz +D=0.
Aangesien die vektor loodreg op die vlak bekend is, sal die vergelyking die vorm aanneem:
5x - 3y + z +D=0.
Dit bly om die vrye term D te vind. Ons bereken dit uit die kennis van die koördinate P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Dus, die verlangde vergelyking van die vlak het die vorm:
5x - 3y + z -10=0.
Die figuur hieronder wys hoe die resulterende vliegtuig lyk.
Die aangeduide koördinate van die punte stem ooreen met die snypunte van die vlak met die x-, y- en z-asse.
Die probleem om die vlak deur twee vektore en 'n punt te bepaal
Sê nou die vorige vlak is anders gedefinieer. Twee vektore u¯(-2; 0; 10) en v¯(-2; -10/3; 0) is bekend, asook die punt P(2; 0; 0). Hoe om die vlakvergelyking in vektorparametriese vorm te skryf? Deur die geagte ooreenstemmende formule te gebruik, kry ons:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Let op dat die definisies van hierdie vergelyking van die vlak, die vektore u¯ en v¯ absoluut enige geneem kan word, maar met een voorwaarde: hulle moet nie parallel wees nie. Andersins kan die vlak nie uniek bepaal word nie, maar 'n mens kan 'n vergelyking vir 'n balk of 'n stel vlakke vind.
