Baie wat die konsep van "waarskynlikheidsteorie" in die gesig staar, is bang en dink dat dit iets oorweldigend, baie kompleks is. Maar dit is regtig nie so tragies nie. Vandag sal ons die basiese konsep van waarskynlikheidsteorie oorweeg, leer hoe om probleme op te los deur spesifieke voorbeelde te gebruik.
Wetenskap
Wat bestudeer so 'n tak van wiskunde soos "waarskynlikheidsteorie"? Dit let op patrone van ewekansige gebeure en hoeveelhede. Vir die eerste keer het wetenskaplikes in die agtiende eeu in hierdie kwessie belang gestel toe hulle dobbelary bestudeer het. Die basiese konsep van waarskynlikheidsteorie is 'n gebeurtenis. Dit is enige feit wat deur ervaring of waarneming vasgestel word. Maar wat is ervaring? Nog 'n basiese konsep van waarskynlikheidsteorie. Dit beteken dat hierdie samestelling van omstandighede nie toevallig geskep is nie, maar vir 'n spesifieke doel. Wat waarneming betref, hier neem die navorser self nie deel aan die eksperiment nie, maar is bloot 'n getuie van hierdie gebeure, hy beïnvloed geensins wat besig is om te gebeur nie.
Gebeure
Ons het geleer dat die basiese konsep van waarskynlikheidsteorie 'n gebeurtenis is, maar het nie die klassifikasie in ag geneem nie. Almal van hulle is in die volgende kategorieë verdeel:
- Betroubaar.
- Onmoontlik.
- Random.
Maak nie saak niewatter soort gebeurtenisse in die loop van ervaring waargeneem of geskep word, is almal onderhewig aan hierdie klassifikasie. Ons bied aan om met elkeen van die spesies afsonderlik kennis te maak.
Sekere gebeurtenis
Dit is 'n omstandigheid waarvoor die nodige stel maatreëls getref is. Om die essensie beter te verstaan, is dit beter om 'n paar voorbeelde te gee. Fisika, chemie, ekonomie en hoër wiskunde is onderhewig aan hierdie wet. Waarskynlikheidsteorie sluit so 'n belangrike konsep soos 'n sekere gebeurtenis in. Hier is 'n paar voorbeelde:
- Ons werk en kry vergoeding in die vorm van lone.
- Ons het die eksamens goed geslaag, die kompetisie geslaag, hiervoor ontvang ons 'n beloning in die vorm van toelating tot 'n opvoedkundige instelling.
- Ons het geld in die bank belê, ons sal dit terugkry indien nodig.
Sulke geleenthede is betroubaar. As ons aan al die nodige voorwaardes voldoen het, sal ons beslis die verwagte resultaat kry.
Onmoontlike gebeurtenisse
Nou oorweeg ons elemente van waarskynlikheidsteorie. Ons stel voor om oor te gaan na 'n verduideliking van die volgende tipe gebeurtenis, naamlik die onmoontlike. Kom ons spesifiseer eers die belangrikste reël - die waarskynlikheid van 'n onmoontlike gebeurtenis is nul.
Jy kan nie van hierdie bewoording afwyk wanneer jy probleme oplos nie. Ter verduideliking, hier is voorbeelde van sulke gebeurtenisse:
- Water het op plus tien gevries (dis onmoontlik).
- Die gebrek aan elektrisiteit beïnvloed geensins produksie nie (net so onmoontlik soos in die vorige voorbeeld).
Nog voorbeeldeDit is nie die moeite werd om aan te haal nie, aangesien die wat hierbo beskryf word, baie duidelik die essensie van hierdie kategorie weerspieël. Die onmoontlike gebeurtenis sal onder geen omstandighede tydens die ervaring plaasvind nie.
Ewekansige gebeurtenisse
Deur die elemente van waarskynlikheidsteorie te bestudeer, moet spesiale aandag aan hierdie spesifieke soort gebeurtenis gegee word. Dit is wat die wetenskap bestudeer. As gevolg van ervaring kan iets gebeur of nie mag gebeur nie. Daarbenewens kan die toets 'n onbeperkte aantal kere herhaal word. Aanskoulike voorbeelde is:
- Om 'n muntstuk te gooi is 'n ervaring, of 'n toets, opskrif is 'n gebeurtenis.
- Om 'n bal blindelings uit 'n sak te trek is 'n toets, 'n rooi bal wat gevang word, is 'n gebeurtenis, ensovoorts.
Daar kan 'n onbeperkte aantal sulke voorbeelde wees, maar oor die algemeen moet die essensie duidelik wees. Om die kennis wat oor gebeure opgedoen is op te som en te sistematiseer, word 'n tabel gegee. Waarskynlikheidsteorie bestudeer slegs die laaste tipe van almal wat aangebied word.
| titel | definisie | voorbeeld |
| Betroubaar | Gebeure wat plaasvind met 'n 100% waarborg onder sekere voorwaardes. | Toelating tot 'n opvoedkundige instelling met 'n goeie toelatingseksamen. |
| Onmoontlik | Gebeure wat onder geen omstandighede sal gebeur nie. | Dit sneeu teen 'n temperatuur van plus dertig grade Celsius. |
| Random | 'n Gebeurtenis wat tydens 'n eksperiment/toets mag of nie mag plaasvind nie. | Slaan of mis wanneer jy 'n basketbal in die hoepel gooi. |
wette
Waarskynlikheidsteorie is 'n wetenskap wat die moontlikheid bestudeer dat 'n gebeurtenis sal plaasvind. Soos die ander, het dit 'n paar reëls. Daar is die volgende wette van waarskynlikheidsteorie:
- Konvergensie van rye van ewekansige veranderlikes.
- Die wet van groot getalle.
Wanneer jy die moontlikheid van 'n kompleks bereken, kan jy 'n kompleks van eenvoudige gebeurtenisse gebruik om die resultaat op 'n makliker en vinniger manier te bereik. Let daarop dat die wette van waarskynlikheidsteorie maklik met behulp van sommige stellings bewys kan word. Kom ons begin met die eerste wet.
Konvergensie van rye van ewekansige veranderlikes
Let op dat daar verskeie tipes konvergensie is:
- Die volgorde van ewekansige veranderlikes konvergeer in waarskynlikheid.
- Amper onmoontlik.
- RMS-konvergensie.
- Konvergensie in verspreiding.
So, op die vlug, is dit baie moeilik om tot die bodem daarvan te kom. Hier is 'n paar definisies om jou te help om hierdie onderwerp te verstaan. Kom ons begin met die eerste kyk. 'n Ry word konvergent in waarskynlikheid genoem as die volgende voorwaarde nagekom word: n neig na oneindig, die getal waarna die ry neig is groter as nul en naby aan een.
Gaan na die volgende aansig, amper seker. Hulle sê ditdie ry konvergeer byna seker na 'n ewekansige veranderlike met n wat na oneindigheid neig en P wat na 'n waarde naby aan een neig.
Die volgende tipe is wortel-gemiddelde-kwadraat-konvergensie. Wanneer SC-konvergensie gebruik word, word die studie van vektor-ewekansige prosesse verminder tot die studie van hul koördinaat-ewekansige prosesse.
Die laaste tipe bly, kom ons kyk kort daarna om direk voort te gaan om probleme op te los. Verspreidingskonvergensie het 'n ander naam - "swak", ons sal hieronder verduidelik hoekom. Swak konvergensie is die konvergensie van verspreidingsfunksies by alle kontinuïteitspunte van die limietverspreidingsfunksie.
Maak seker om die belofte na te kom: swak konvergensie verskil van al die bogenoemde deurdat die ewekansige veranderlike nie op die waarskynlikheidsruimte gedefinieer word nie. Dit is moontlik omdat die toestand uitsluitlik gevorm word deur verspreidingsfunksies te gebruik.
Wet van groot getalle
Uitstekende helpers om hierdie wet te bewys sal stellings van waarskynlikheidsteorie wees, soos:
- Chebyshev se ongelykheid.
- Chebyshev se stelling.
- Veralgemeen Chebyshev se stelling.
- Markov se stelling.
As ons al hierdie stellings oorweeg, kan hierdie vraag vir 'n paar dosyn velle voortduur. Ons hooftaak is om die teorie van waarskynlikheid in die praktyk toe te pas. Ons nooi jou uit om dit dadelik te doen. Maar voor dit, kom ons kyk na die aksiomas van waarskynlikheidsteorie, hulle sal die hoofassistente wees om probleme op te los.
Axiomas
Ons het reeds die eerste een ontmoet toe ons oor die onmoontlike gebeurtenis gepraat het. Kom ons onthou: die waarskynlikheid van 'n onmoontlike gebeurtenis is nul. Ons het 'n baie aanskoulike en onvergeetlike voorbeeld gegee: dit het teen 'n lugtemperatuur van dertig grade Celsius gesneeu.
Die tweede een klink so: 'n betroubare gebeurtenis vind plaas met 'n waarskynlikheid gelyk aan een. Kom ons wys nou hoe om dit te skryf deur wiskundige taal te gebruik: P(B)=1.
Derde: 'n Ewekansige gebeurtenis mag of mag nie plaasvind nie, maar die moontlikheid wissel altyd van nul tot een. Hoe nader die waarde aan een is, hoe groter is die kans; as die waarde nul nader, is die waarskynlikheid baie laag. Kom ons skryf dit in wiskundige taal: 0<Р(С)<1.
Kom ons kyk na die laaste, vierde aksioma, wat soos volg klink: die waarskynlikheid van die som van twee gebeurtenisse is gelyk aan die som van hul waarskynlikhede. Ons skryf in wiskundige taal: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Die aksiomas van waarskynlikheidsteorie is die eenvoudigste reëls wat maklik is om te onthou. Kom ons probeer om 'n paar probleme op te los, gebaseer op die kennis wat reeds opgedoen is.
Lotokaartjie
Beskou eers die eenvoudigste voorbeeld - die lotery. Stel jou voor dat jy een loterykaartjie gekoop het vir goeie geluk. Wat is die waarskynlikheid dat jy ten minste twintig roebels sal wen? In totaal neem duisend kaartjies deel aan die sirkulasie, waarvan een 'n prys van vyfhonderd roebels, tien van honderd roebels, vyftig van twintig roebels en honderd van vyf het. Probleme in waarskynlikheidsteorie is gebaseer op die vind van die moontlikheidSterkte. Nou sal ons saam die oplossing van die bogenoemde taak ontleed.
As ons met die letter A 'n wen van vyfhonderd roebels aandui, dan is die waarskynlikheid om A te kry 0,001. Hoe het ons dit gekry? Jy hoef net die aantal "gelukkige" kaartjies deur hul totale getal te deel (in hierdie geval: 1/1000).
B is 'n wen van honderd roebels, die waarskynlikheid sal 0.01 wees. Nou het ons opgetree volgens dieselfde beginsel as in die vorige aksie (10/1000)
C - die winste is gelyk aan twintig roebels. Vind die waarskynlikheid, dit is gelyk aan 0.05.
Die res van die kaartjies is van geen belang vir ons nie, aangesien hul prysfonds minder is as die een wat in die voorwaarde gespesifiseer word. Kom ons pas die vierde aksioma toe: Die waarskynlikheid om ten minste twintig roebels te wen is P(A)+P(B)+P(C). Die letter P dui die waarskynlikheid van die voorkoms van hierdie gebeurtenis aan, ons het hulle reeds in die vorige stappe gevind. Dit bly net om die nodige data by te voeg, in die antwoord kry ons 0, 061. Hierdie nommer sal die antwoord op die vraag van die opdrag wees.
Kaartdek
Probleme met waarskynlikheidsteorie kan meer kompleks wees, neem byvoorbeeld die volgende taak. Voor jy is 'n pak van ses-en-dertig kaarte. Jou taak is om twee kaarte in 'n ry te trek sonder om die stapel te meng, die eerste en tweede kaarte moet aces wees, die kleur maak nie saak nie.
Eers, kom ons vind die waarskynlikheid dat die eerste kaart 'n aas sal wees, hiervoor deel ons vier deur ses-en-dertig. Hulle het dit eenkant gesit. Ons haal die tweede kaart uit, dit sal 'n aas wees met 'n waarskynlikheid van drie vyf-en-dertigs. Die waarskynlikheid van die tweede gebeurtenis hang af van watter kaart ons eerste getrek het, waarin ons belangstelwas dit 'n aas of nie. Dit volg dat gebeurtenis B afhang van gebeurtenis A.
Die volgende stap is om die waarskynlikheid van gelyktydige implementering te vind, dit wil sê ons vermenigvuldig A en B. Hulle produk word soos volg gevind: die waarskynlikheid van een gebeurtenis word vermenigvuldig met die voorwaardelike waarskynlikheid van 'n ander, wat ons bereken, as ons aanvaar dat die eerste gebeurtenis plaasgevind het, dit wil sê, met die eerste kaart het ons 'n aas getrek.
Om alles duidelik te maak, kom ons gee 'n aanduiding aan so 'n element soos die voorwaardelike waarskynlikheid van 'n gebeurtenis. Dit word bereken met die veronderstelling dat gebeurtenis A plaasgevind het. Word soos volg bereken: P(B/A).
Gaan voort om ons probleem op te los: P(AB)=P(A)P(B/A) of P (AB)=P(B)P(A/B). Die waarskynlikheid is (4/36)((3/35)/(4/36). Bereken deur tot honderdstes af te rond. Ons het: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Die waarskynlikheid dat ons twee aces in 'n ry trek, is nege honderdstes Die waarde is baie klein, dit volg dat die waarskynlikheid dat die gebeurtenis sal plaasvind uiters klein is.
Vergete nommer
Ons stel voor om nog 'n paar opsies te ontleed vir take wat deur waarskynlikheidsteorie bestudeer word. U het reeds voorbeelde van die oplossing van sommige van hulle in hierdie artikel gesien, kom ons probeer die volgende probleem oplos: die seun het die laaste syfer van sy vriend se telefoonnommer vergeet, maar aangesien die oproep baie belangrik was, het hy alles om die beurt begin skakel. Ons moet die waarskynlikheid bereken dat hy nie meer as drie keer sal bel nie. Die oplossing vir die probleem is die eenvoudigste as die reëls, wette en aksiomas van waarskynlikheidsteorie bekend is.
Voordat jy kykoplossing, probeer om dit self op te los. Ons weet dat die laaste syfer van nul tot nege kan wees, dit wil sê, daar is tien waardes in totaal. Die waarskynlikheid om die regte een te kry is 1/10.
Volgende, ons moet opsies vir die oorsprong van die gebeurtenis oorweeg, veronderstel dat die seun reg geraai het en dadelik die regte een behaal het, die waarskynlikheid van so 'n gebeurtenis is 1/10. Die tweede opsie: die eerste oproep is 'n mis, en die tweede is op die teiken. Ons bereken die waarskynlikheid van so 'n gebeurtenis: vermenigvuldig 9/10 met 1/9, gevolglik kry ons ook 1/10. Die derde opsie: die eerste en tweede oproepe blyk by die verkeerde adres te wees, eers vanaf die derde het die seun gekom waar hy wou. Ons bereken die waarskynlikheid van so 'n gebeurtenis: ons vermenigvuldig 9/10 met 8/9 en met 1/8 kry ons 1/10 as gevolg. Volgens die toestand van die probleem stel ons nie belang in ander opsies nie, so dit bly vir ons om die resultate bymekaar te tel, gevolglik het ons 3/10. Antwoord: Die waarskynlikheid dat die seun nie meer as drie keer bel nie, is 0.3.
Kaarte met nommers
Daar is nege kaarte voor jou, op elkeen waarvan 'n getal van een tot nege geskryf is, die nommers word nie herhaal nie. Hulle is in 'n boks geplaas en deeglik gemeng. Jy moet die waarskynlikheid bereken dat
- 'n ewe getal sal verskyn;
- twee-syfer.
Voordat ons met die oplossing voortgaan, kom ons bepaal dat m die aantal suksesvolle gevalle is, en n die totale aantal opsies is. Vind die waarskynlikheid dat die getal ewe is. Dit sal nie moeilik wees om te bereken dat daar vier ewe getalle is nie, dit sal ons m wees, daar is nege opsies in totaal, dit wil sê m=9. Dan die waarskynlikheidis gelyk aan 0, 44 of 4/9.
Oorweeg die tweede geval: die aantal opsies is nege, en daar kan glad nie suksesvolle uitkomste wees nie, dit wil sê, m is gelyk aan nul. Die waarskynlikheid dat die getrekte kaart 'n tweesyfergetal sal bevat, is ook nul.
