Dit is onwaarskynlik dat baie mense dink of dit moontlik is om gebeure te bereken wat min of meer willekeurig is. In eenvoudige terme, is dit realisties om te weet watter kant van die dobbelsteen in die dobbelsteen volgende sal uitval. Dit was hierdie vraag wat twee groot wetenskaplikes gevra het, wat die grondslag gelê het vir so 'n wetenskap soos die teorie van waarskynlikheid, waarin die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis redelik omvattend bestudeer word.
Oorsprong
As jy so 'n konsep as waarskynlikheidsteorie probeer definieer, kry jy die volgende: dit is een van die vertakkings van wiskunde wat die konstantheid van ewekansige gebeure bestudeer. Natuurlik openbaar hierdie konsep nie regtig die hele essensie nie, daarom is dit nodig om dit in meer besonderhede te oorweeg.
Ek wil graag by die skeppers van die teorie begin. Soos hierbo genoem, was daar twee van hulle, dit is Pierre Fermat en Blaise Pascal. Dit was hulle wat van die eerstes was wat probeer het om die uitkoms van 'n gebeurtenis met behulp van formules en wiskundige berekeninge te bereken. Oor die algemeen het die grondbeginsels van hierdie wetenskap so vroeg verskynMiddeleeue. Op daardie tydstip het verskeie denkers en wetenskaplikes probeer om dobbel, soos roulette, craps, ensovoorts te ontleed, en sodoende 'n patroon en persentasie van 'n bepaalde getal wat uitval, daar te stel. Die grondslag is in die sewentiende eeu deur die voorgenoemde wetenskaplikes gelê.
Aanvanklik kon hulle werk nie toegeskryf word aan die groot prestasies op hierdie gebied nie, want alles wat hulle gedoen het was bloot empiriese feite, en die eksperimente is visueel opgestel, sonder die gebruik van formules. Met verloop van tyd het dit geblyk om uitstekende resultate te behaal, wat verskyn het as gevolg van die waarneming van die gooi van dobbelstene. Dit was hierdie hulpmiddel wat gehelp het om die eerste verstaanbare formules af te lei.
Associates
Dit is onmoontlik om nie so 'n persoon soos Christian Huygens te noem, in die proses om 'n onderwerp genaamd "waarskynlikheidsteorie" te bestudeer (die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis word presies in hierdie wetenskap gedek). Hierdie persoon is baie interessant. Hy het, soos die wetenskaplikes wat hierbo aangebied is, probeer om die reëlmaat van willekeurige gebeure in die vorm van wiskundige formules af te lei. Dit is opmerklik dat hy dit nie saam met Pascal en Fermat gedoen het nie, dit wil sê, al sy werke het op geen manier met hierdie gedagtes gekruis nie. Huygens het die basiese konsepte van waarskynlikheidsteorie afgelei.
'n Interessante feit is dat sy werk uitgekom het lank voor die resultate van die pioniers se werk, of liewer, twintig jaar vroeër. Onder die aangewese konsepte is die bekendste:
- die konsep van waarskynlikheid as 'n grootheid van toeval;
- verwagting vir diskreetgevalle;
- stellings van vermenigvuldiging en optelling van waarskynlikhede.
Dit is ook onmoontlik om nie vir Jacob Bernoulli te onthou nie, wat ook 'n beduidende bydrae tot die studie van die probleem gemaak het. Deur sy eie toetse te doen, onafhanklik van enigiemand, het hy daarin geslaag om 'n bewys van die wet van groot getalle te lewer. Op hul beurt kon die wetenskaplikes Poisson en Laplace, wat aan die begin van die negentiende eeu gewerk het, die oorspronklike stellings bewys. Dit was vanaf hierdie oomblik dat waarskynlikheidsteorie gebruik is om foute in die loop van waarnemings te ontleed. Russiese wetenskaplikes, of eerder Markov, Chebyshev en Dyapunov, kon hierdie wetenskap ook nie omseil nie. Op grond van die werk wat deur die groot genieë gedoen is, het hulle hierdie vak as 'n tak van wiskunde vasgestel. Hierdie figure het reeds aan die einde van die negentiende eeu gewerk, en danksy hul bydrae het verskynsels soos:
- wet van groot getalle;
- Markov-kettingteorie;
- sentrale limietstelling.
Dus, met die geskiedenis van die geboorte van die wetenskap en met die belangrikste mense wat dit beïnvloed het, is alles min of meer duidelik. Nou is dit tyd om al die feite te konkretiseer.
Basiese konsepte
Voordat wette en stellings aangeraak word, is dit die moeite werd om die basiese konsepte van waarskynlikheidsteorie te bestudeer. Die geleentheid neem die hoofrol daarin. Hierdie onderwerp is nogal lywig, maar daarsonder sal dit nie moontlik wees om alles anders te verstaan nie.
'n Gebeurtenis in waarskynlikheidsteorie is enige stel uitkomste van 'n eksperiment. Daar is nie soveel konsepte van hierdie verskynsel nie. So, wetenskaplike Lotman,werk in hierdie area, het gesê dat ons in hierdie geval praat van iets wat “gebeur het, hoewel dit dalk nie gebeur het nie.”
Ewekansige gebeurtenisse (waarskynlikheidsteorie gee spesiale aandag daaraan) is 'n konsep wat absoluut enige verskynsel impliseer wat die vermoë het om te voorkom. Of omgekeerd, hierdie scenario kan dalk nie gebeur as daar aan baie voorwaardes voldoen word nie. Dit is ook die moeite werd om te weet dat dit ewekansige gebeure is wat die hele volume verskynsels vasvang wat plaasgevind het. Waarskynlikheidsteorie dui aan dat alle toestande voortdurend herhaal kan word. Dit was hul gedrag wat "ervaring" of "toets" genoem is.
'n Sekere gebeurtenis is een wat 100% in 'n gegewe toets sal plaasvind. Gevolglik is 'n onmoontlike gebeurtenis een wat nie sal gebeur nie.
Kombinasie van 'n paar aksies (gewoonlik geval A en geval B) is 'n verskynsel wat gelyktydig voorkom. Hulle word as AB aangewys.
Die som van pare gebeurtenisse A en B is C, met ander woorde, as ten minste een van hulle gebeur (A of B), dan sal C verkry word. Die formule van die beskryfde verskynsel word soos volg geskryf: C=A + B.
Onsamehangende gebeure in waarskynlikheidsteorie impliseer dat twee gevalle mekaar uitsluit. Hulle kan nooit op dieselfde tyd gebeur nie. Gesamentlike gebeurtenisse in waarskynlikheidsteorie is hul teenpode. Dit impliseer dat as A gebeur het, dit nie met B inmeng nie.
Teenoorgestelde gebeurtenisse (waarskynlikheidsteorie behandel hulle in groot detail) is maklik om te verstaan. Dit is die beste om hulle in vergelyking te hanteer. Hulle is amper dieselfde asen onversoenbare gebeure in waarskynlikheidsteorie. Maar hulle verskil lê daarin dat een van die vele verskynsels in elk geval moet gebeur.
Ekwivalente gebeurtenisse is daardie aksies waarvan die moontlikheid gelyk is. Om dit duideliker te maak, kan ons ons die gooi van 'n munt voorstel voorstel: die val van een van sy kante is ewe geneig om van die ander te val.
Voorspoedige gebeurtenis is makliker om te sien met 'n voorbeeld. Kom ons sê daar is episode B en episode A. Die eerste is die rol van die dobbelsteen met die voorkoms van 'n onewe getal, en die tweede is die voorkoms van die nommer vyf op die dobbelsteen. Dan blyk dit dat A B bevoordeel.
Onafhanklike gebeure in waarskynlikheidsteorie word slegs op twee of meer gevalle geprojekteer en impliseer die onafhanklikheid van enige handeling van 'n ander. Byvoorbeeld, A is die verlies van sterte wanneer 'n muntstuk gegooi word, en B is die trekking van 'n domkrag uit die dek. Hulle is onafhanklike gebeurtenisse in waarskynlikheidsteorie. Met hierdie oomblik het dit duideliker geword.
Afhanklike gebeurtenisse in waarskynlikheidsteorie is ook slegs vir hul stel toelaatbaar. Hulle impliseer die afhanklikheid van die een van die ander, dit wil sê die verskynsel B kan slegs voorkom as A reeds gebeur het of, inteendeel, nie gebeur het nie, wanneer dit die hoofvoorwaarde vir B is.
Die uitkoms van 'n ewekansige eksperiment wat uit een komponent bestaan, is elementêre gebeurtenisse. Waarskynlikheidsteorie verduidelik dat dit 'n verskynsel is wat net een keer gebeur het.
Basiese formules
Dus, die konsepte van "gebeurtenis", "waarskynlikheidsteorie",die definisie van die basiese terme van hierdie wetenskap is ook gegee. Nou is dit tyd om direk met die belangrike formules kennis te maak. Hierdie uitdrukkings bevestig wiskundig al die hoofbegrippe in so 'n moeilike vak soos waarskynlikheidsteorie. Die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis speel ook hier 'n groot rol.
Begin beter met die basiese formules van kombinatorika. En voordat u na hulle voortgaan, is dit die moeite werd om te oorweeg wat dit is.
Kombinatorika is hoofsaaklik 'n tak van wiskunde, dit handel oor die studie van 'n groot aantal heelgetalle, sowel as verskeie permutasies van beide die getalle self en hul elemente, verskeie data, ens., wat lei tot die verskyning van 'n aantal kombinasies. Benewens waarskynlikheidsteorie is hierdie tak belangrik vir statistiek, rekenaarwetenskap en kriptografie.
So nou kan ons voortgaan om die formules self aan te bied en dit te definieer.
Die eerste een sal die uitdrukking vir die aantal permutasies wees, dit lyk soos volg:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Vergelyking is slegs van toepassing as elemente slegs in volgorde verskil.
Nou sal die plasingsformule oorweeg word, dit lyk soos volg:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Hierdie uitdrukking is nie net van toepassing op die volgorde van die element nie, maar ook op die samestelling daarvan.
Die derde vergelyking uit kombinatorika, en dit is ook die laaste een, word die formule vir die aantal kombinasies genoem:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinasies is onderskeidelik keuses wat nie georden is nie, en hierdie reël is op hulle van toepassing.
Dit blyk maklik te wees om die formules van kombinatorika uit te vind, nou kan ons aanbeweeg na die klassieke definisie van waarskynlikhede. Hierdie uitdrukking lyk soos volg:
P(A)=m: n.
In hierdie formule is m die aantal toestande wat gunstig is vir gebeurtenis A, en n is die aantal absoluut alle ewe moontlike en elementêre uitkomste.
Daar is 'n groot aantal uitdrukkings, die artikel sal nie almal dek nie, maar die belangrikste daarvan sal aangeraak word, soos byvoorbeeld die waarskynlikheid van die som van gebeure:
P(A + B)=P(A) + P(B) - hierdie stelling is slegs vir die byvoeging van onversoenbare gebeurtenisse;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - en hierdie een is om slegs versoenbares by te voeg.
Waarskynlikheid om geleenthede te produseer:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – hierdie stelling is vir onafhanklike gebeurtenisse;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - en hierdie een is vir verslaafdes.
Die gebeurtenisformule eindig die lys. Waarskynlikheidsteorie vertel ons van Bayes se stelling, wat soos volg lyk:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
In hierdie formule is H1, H2, …, H die volledige groep hipoteses.
Kom ons stop hier, dan sal voorbeelde van die toepassing van formules om spesifieke probleme vanuit die praktyk op te los, oorweeg word.
Voorbeelde
As jy enige afdeling noukeurig bestudeerwiskunde, dit doen nie sonder oefeninge en voorbeeldoplossings nie. So is die teorie van waarskynlikheid: gebeure, voorbeelde hier is 'n integrale komponent wat wetenskaplike berekeninge bevestig.
Formule vir die aantal permutasies
Kom ons sê daar is dertig kaarte in 'n pak kaarte, wat begin met sigwaarde een. Volgende vraag. Hoeveel maniere is daar om die dek te stapel sodat kaarte met 'n sigwaarde van een en twee nie langs mekaar is nie?
Die taak is opgestel, kom ons gaan nou aan om dit op te los. Eerstens moet jy die aantal permutasies van dertig elemente bepaal, hiervoor neem ons die bogenoemde formule, dit blyk P_30=30!.
Gegrond op hierdie reël, sal ons uitvind hoeveel opsies daar is om die dek op verskillende maniere te vou, maar ons moet dié waarin die eerste en tweede kaart volgende is, daarvan aftrek. Om dit te doen, kom ons begin met die opsie wanneer die eerste bo die tweede is. Dit blyk dat die eerste kaart nege-en-twintig plekke kan neem - van die eerste tot die nege-en-twintigste, en die tweede kaart van die tweede tot die dertigste, dit blyk nege-en-twintig plekke vir 'n paar kaarte. Op sy beurt kan die res agt-en-twintig plekke inneem, en in enige volgorde. Dit wil sê, vir 'n permutasie van agt-en-twintig kaarte, is daar agt-en-twintig opsies P_28=28!
Gevolglik blyk dit dat as ons die oplossing oorweeg wanneer die eerste kaart oor die tweede is, daar 29 ⋅ 28 ekstra moontlikhede is!=29!
Deur dieselfde metode te gebruik, moet jy die aantal oortollige opsies vir die geval bereken wanneer die eerste kaart onder die tweede is. Dit blyk ook 29 ⋅ 28!=29!
Dit volg dat daar 2 ⋅ 29 ekstra opsies is!, terwyl daar 30 vereiste maniere is om 'n dek te bou! - 2 ⋅ 29!. Dit bly net om te tel.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Nou moet jy al die getalle van een tot nege-en-twintig saam vermenigvuldig, en dan aan die einde alles met 28 vermenigvuldig. Die antwoord is 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Oplossing van die voorbeeld. Formule vir plasingnommer
In hierdie probleem moet jy uitvind hoeveel maniere daar is om vyftien volumes op een rak te plaas, maar onder die voorwaarde dat daar altesaam dertig volumes is.
Hierdie probleem het 'n effens makliker oplossing as die vorige een. Deur die reeds bekende formule te gebruik, is dit nodig om die totale aantal liggings uit dertig volumes van vyftien te bereken.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 931 0 07 0
Die antwoord sal onderskeidelik 202 843 204 931 727 360 000 wees.
Kom ons neem die taak 'n bietjie moeiliker. Jy moet uitvind hoeveel maniere daar is om dertig boeke op twee boekrakke te rangskik, mits slegs vyftien volumes op een rak kan wees.
Voordat ek met die oplossing begin, wil ek dit duidelik maak dat sommige probleme op verskeie maniere opgelos word, so daar is twee maniere in hierdie een, maar dieselfde formule word in albei gebruik.
In hierdie probleem kan jy die antwoord van die vorige een neem, want daar het ons bereken hoeveel keer jy 'n rak met vyftien boeke kan vul vir-anders. Dit blyk A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Ons sal die tweede rak bereken deur die permutasieformule te gebruik, want vyftien boeke word daarin geplaas, terwyl net vyftien oorbly. Gebruik die formule P_15=15!.
Dit blyk dat die totaal A_30^15 ⋅ P_15 maniere sal wees, maar daarbenewens sal die produk van alle getalle van dertig tot sestien vermenigvuldig moet word met die produk van getalle van een tot vyftien, aangesien 'n resultaat, die produk van alle getalle van een tot dertig, dus is die antwoord 30!
Maar hierdie probleem kan op 'n ander manier opgelos word - makliker. Om dit te doen, kan jy jou voorstel dat daar een rak vir dertig boeke is. Almal van hulle word op hierdie vliegtuig geplaas, maar aangesien die toestand vereis dat daar twee rakke is, sny ons een lang een in die helfte, dit blyk twee vyftien elk. Hieruit blyk dit dat die plasingsopsies P_30=30 kan wees!.
Oplossing van die voorbeeld. Formule vir kombinasienommer
Nou sal ons 'n variant van die derde probleem uit kombinatorika oorweeg. Jy moet uitvind hoeveel maniere daar is om vyftien boeke te rangskik, mits jy uit dertig absoluut identies moet kies.
Vir die oplossing sal die formule vir die aantal kombinasies natuurlik toegepas word. Uit die voorwaarde word dit duidelik dat die volgorde van die identiese vyftien boeke nie belangrik is nie. Daarom moet jy aanvanklik die totale aantal kombinasies van dertig boeke van vyftien uitvind.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: vyftien!=155 117 520
Dit is dit. Deur hierdie formule te gebruik, was dit in die kortste moontlike tyd moontlikso 'n probleem op te los, is die antwoord onderskeidelik 155 117 520.
Oplossing van die voorbeeld. Die klassieke definisie van waarskynlikheid
Met die formule hierbo kan jy die antwoord op 'n eenvoudige probleem vind. Maar dit sal help om die verloop van aksies visueel te sien en te volg.
Dit word in die probleem gegee dat daar tien absoluut identiese balle in die urn is. Hiervan is vier geel en ses is blou. Een bal word uit die urn geneem. Jy moet uitvind wat die waarskynlikheid is om blou te word.
Om die probleem op te los, is dit nodig om die kry van die blou bal as gebeurtenis A aan te wys. Hierdie ervaring kan tien uitkomste hê, wat op hul beurt elementêr en ewe waarskynlik is. Terselfdertyd is ses uit tien gunstig vir gebeurtenis A. Ons los op volgens die formule:
P(A)=6: 10=0, 6
Deur hierdie formule toe te pas, het ons uitgevind dat die waarskynlikheid om die blou bal te kry 0,6 is.
Oplossing van die voorbeeld. Waarskynlikheid van die som van gebeure
Nou sal 'n variant aangebied word, wat opgelos word deur die formule vir die waarskynlikheid van die som van gebeure te gebruik. Dus, in die toestand dat daar twee bokse is, bevat die eerste een grys en vyf wit balle, en die tweede bevat agt grys en vier wit balle. Gevolglik is een van hulle uit die eerste en tweede bokse geneem. Jy moet uitvind wat die kans is dat die balle wat jy kry grys en wit sal wees.
Om hierdie probleem op te los, moet jy die gebeurtenisse byskrifte gee.
- Dus, A - neem 'n grys bal uit die eerste boks: P(A)=1/6.
- A’ – neem ook 'n wit bal uit die eerste boks: P(A')=5/6.
- B – die grys bal is reeds uit die tweede boks gehaal: P(B)=2/3.
- B’ – neem 'n grys bal uit die tweede boks: P(B')=1/3.
Volgens die toestand van die probleem moet een van die verskynsels gebeur: AB' of A'B. Deur die formule te gebruik, kry ons: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Nou is die waarskynlikheidsvermenigvuldigingsformule gebruik. Volgende, om die antwoord uit te vind, moet jy die vergelyking vir hul optelling toepas:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Dit is hoe jy, deur die formule te gebruik, soortgelyke probleme kan oplos.
Resultaat
Die artikel het inligting verskaf oor die onderwerp "Waarskynlikheidsteorie", waarin die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis 'n deurslaggewende rol speel. Natuurlik is nie alles in ag geneem nie, maar op grond van die teks wat aangebied word, kan 'n mens teoreties met hierdie afdeling van wiskunde kennis maak. Die betrokke wetenskap kan nuttig wees nie net in professionele werk nie, maar ook in die alledaagse lewe. Met sy hulp kan jy enige moontlikheid van enige gebeurtenis bereken.
Die teks het ook beduidende datums in die geskiedenis van die vorming van waarskynlikheidsteorie as 'n wetenskap aangeraak, en die name van mense wie se werke daarin belê is. Dit is hoe menslike nuuskierigheid daartoe gelei het dat mense geleer het om selfs willekeurige gebeure te bereken. Eens het hulle net daarin belang gestel, maar vandag weet almal reeds daarvan. En niemand sal sê wat in die toekoms op ons wag nie, watter ander briljante ontdekkings wat verband hou met die teorie wat oorweeg word, gemaak sal word. Maar een ding is seker - navorsing staan nie stil nie!
